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浅谈高中数学不等式的证明方法


浅谈高中数学不等式的证明方法
摘要:不等式是中学数学的重要知识,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一 步加强对各种不等式的理解。 关键字:比较法,分析法,综合法,反证法,放缩法,数学归纳法,换元法,均值不等 式,柯西不等式,导数法

不等式在中学数学中占有重要地位,因此在历年高考中颇为重视。由于不等 式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循,

技巧多样,方法灵活,因此有关 不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研 究。 一.比较法 所谓比较法, 就是通过两个实数 a 与 b 的差或商的符号 (范围) 确定 a 与 b 大 小关系的方法,即通过“ a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ,a ? b ? 0 ;或
a a a ? 1, ? 1, ? 1” b b b

来确定 a , b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法。 例 1 已知: a ? 0 , b ? 0 ,求证:
a?b ? ab . 2

分析:两个多项式的大小比较可用作差法 证明 故得 例2
a?b a ? b ? 2 ab ( a ? b ) 2 ? ab ? ? ? 0, 2 2 2
a?b ? ab . 2

设 a ? b ? 0 ,求证: a a b b ? a b b a .

分析:对于含有幂指数类的用作商法 证明 所以 而 故 因为
a ? b ? 0,

a ? 1, a ? b ? 0 . b

a abb ? a ? ?? ? a bb a ? b ?

a ?b

? 1,

a abb ? a bb a

二.分析法 从求证的不等式出发, 分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式 的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备, 那么就可以判定所证的不等式成立,这种方法叫做分析法。 例 3:求证 3 ? 6 ? 2 2 ? 7

证明:? 9 ? 6 ? 0, 8 ? 7 ? 0

?为了证明原不等式成立,只需证明 (
即 15 ? 2 54 ? 15 ? 2 56 , 只需证明 54 ? 56,54 ? 56
? 54 ? 56 成立

9 ? 6)2 ? ( 8 ? 7)2

?原不等式成立
运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无 目的的乱碰,从而加强针对性,较快地探明解题途。 三.综合法 从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等 式,这种证明方法叫做综合法。
1 1 25 例 4:已知 a, b ? R? , a ? b ? 1 ,求证: (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? a b 2

证明:∵ a ? b ? 1 ∴ a 2 ? b2 ? 又 ∵ ∴
1 2

∴ 1= (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 )

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (a ? b)2 ( 2 ? 2 ) ? (2 ab )2 ? 2 2 ? 2 ? 8 2 a b a b a b

王新敞
奎屯

新疆

1 25 1 1 1 1 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? 4 ? ( 2 ? 2 ) ? ? 4 ? 8 ? . 2 2 a b a b 四.反证法

从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从 而肯定原结论是正确的,这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时,必 须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤: 1) 假定命题的结论不成立; 2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛 盾; 3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的; 4) 肯定原来命题的结论是正确的。

例 5:已知 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1 ,求证: (1 ? a)b, (1? b)c, (1? c )a 至少有 一个小于等
1 4

分析:本题从正面考虑情况较多,可考虑选用反证法, “小于等于”的反面 是“大于” “至少有一个”的反面是“一个也没有” 。 证明:假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于
1 ,则 4

∵ 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1 ∴ 1 ? a ? 0,1 ? b ? 0,1 ? c ? 0 根据平均值不等 式,有
(1 ? b) ? c 1 (1 ? c) ? a 1 (1 ? a) ? b 1 1 ? , ? ? (1 ? a)b ? ? ,同理 2 2 2 2 2 4 2

? (1 ? a) ? b ? (1 ? b) ? c ? (1 ? c) ? a ? 1 ? 1 ? 1 ? 3
2 2 2 2 3 3 ∴ ? 2 2 ,显然矛盾.所以结论成立。 2 2

2

五.放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明 比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明 .放缩法的目的性强,必须恰到 好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.否则 不能达到目的。 例 6:设 a 、 b 、 c 是三角形的边长,求证
a b c ? ? ?3 b?c ?a c ? a ?b a ?b ?c

证明:由不等式的对称性,不妨设 a ? b ? c ,则 b ? c ? a ? c ? a ? b ? a ? b ? c 且 2c ? a ? b ? 0 , 2a ? b ? c ? 0
a b c a b c ? ? ?3 ? ?1? ?1? ?1 b?c ?a c ? a ?b a ?b?c b?c?a c ? a ?b a ?b?c 2a ? b ? c 2b ? a ? c 2c ? a ? b 2a ? b ? c 2b ? c ? a 2c ? a ? b ? ? ? ? ? ? ?0 c ? a ?b c ? a ?b c ? a ?b b?c?a c ? a ?b a?b?c a b c ? ? ?3 ∴ b?c ?a c ? a ?b a ?b ?c



六.数学归纳法 对于含有 n(n ? N ) 的不等式,当 n 取第一个值时不等式成立,如果使不等式 在 n ? k (n ? N ) 时成立的假设下,还能证明不等式在 n ? k ? 1 时也成立,那么肯

定这个不等式对 n 取第一个值以后的自然数都能成立. 例7 已知: a, b ? R ? , n ? N , n ? 1 ,求证: a n ? b n ? a n?1b ? abn?1 .

证明 (1)当 n ? 2 时, a 2 ? b 2 ? ab ? ab ? 2ab ,不等式成立; (2)若 n ? k 时, a k ? b k ? a k ?1b ? abk ?1 成立,则

a k ?1 ? b k ?1 ? a(a k ? b k ) ? abk ? b k ?1 ? a(a k ?1b ? abk ?1 ) ? abk ? b k ?1
= a k b ? abk ? (a 2b k ?1 ? 2abk ? b k ?1 ) ? a k b ? abk ? b k ?1 (a ? b) 2 ? a k b ? abk , 即 a k ?1 ? b k ?1 ? a k b ? abk 成立. 根据(1) 、 (2) , a n ? b n ? a n?1b ? abn?1 对于大于 1 的自然数 n 都成立. 七.换元法 在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明 达到简化. 例 8: 已知: a ? b ? c ? 1 ,求证: ab ? bc ? ca ? 证明 设a ?
1 . 3

1 1 1 ? t , b ? ? at (t ? R) ,则 c ? ? (1 ? a)t , 3 3 3

? 1 ?? 1 ? ?1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ab ? bc ? ca ? ? ? t ?? ? at ? ? ? ? at ?? ? (1 ? a)t ? ? ? ? t ?? ? (1 ? a)t ? ? 3 ?? 3 ? ?3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ?
? 1 1 ? (1 ? a ? a 2 )t 2 ? , 3 3 ab ? bc ? ca ? 1 3

所以

例 9:已知 a 2 ? b2 ? 1 ,求证: (a 2 ?

1 1 25 )(b 2 ? 2 ) ? 。 2 a b 4

本题在前面综合法中证明过,但观察到已知条件中的 a 2 ? b2 ? 1 ,可考虑用换 元法,设 a ? sin ? , b ? cos ? . 证明:∵ a 2 ? b2 ? 1 , ab ? 0 (求证式中分母含 a 2、b 2 ) 可设 a ? sin ? , b ? cos ? ,其中 0 ? ? ? 2? ,其中 ? ?

?

3 , ? , ? ,于是: 2 2

(a 2 ?

1 1 )(b 2 ? 2 ) 2 a b 1 1 ? (sin 2 ? ? 2 )(cos 2 ? ? ) sin ? cos 2 ? sin 4 ? cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ? sin 4 ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ? (sin 2 ? cos 2 ? ? 1) 2 ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ?
1 ( sin 2 2? ? 1) 2 ? 1 ? 4 1 2 sin 2? 4

∴当 sin 2 2? 时,分子取最小值,分母取最大值.

1 ( ? 1)2 ? 1 1 1 25 ∴ (a 2 ? 2 )(b 2 ? 2 ) ? 4 ? 1 a b 4 4 八.利用均值不等式
均值不等式公式:① a2 ? b2 ? 2ab ? ab ? ab,(a, b ? R) (当且仅当 a ? b 时取 “?” ) ; ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ab ,(a, b ? R? ) (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) 。 均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“ (一正、二 定,三相等) 。 例10: 已知a, b, c为不全相等的正数, 求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 分析:观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式,左侧6项,右侧6 项,左和右积,具备均值不等式的特征。 证明: ∵ b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理,b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 因为a,b,c不全相等, 所以上述三个不等式中等号不能同时成立, 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。
1 1 例 11.若 x, y ? 0, x ? y ? 2 ,求证: ? ? 2 x y

1 1 1 1 1 证明:因为 x, y ? 0, 所以 ? ? ( x ? y )( ? ) x y 2 x y ? 1 y x (1 ? 1 ? ? ) ? 2 2 x y

当且仅当

y x ? ,即 x ? 1, y ? 1 时等号成立 x y

九.导数法 当 x 属于某区间,有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 单调递增;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 单 调递减.推广之,若证 f ( x) ? g ( x) ,只须证 f (a) ? g (a) 及 f ?( x) ? g ?( x), ( x ? (a, b)) 即可. 例 12 证明 证明不等 e x ? 1 ? x , x ? 0. 设 f ( x) ? e x ? 1 ? x, 则 f ?( x) ? e x ? 1.故当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f 递增;

当 x ? 0, f ?( x) ? 0, f 递减. 则当 x ? 0 时, 从而证得
f ( x) ? f (0) ? 0,

e x ? 1 ? x, x ? 0.

十.利用柯西不等式 设 a, b, c, d 均为实数, 则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ,当且 ad ? bc 仅当时成 立.
1 1 例 13.若 x, y ? 0, x ? y ? 2 ,求证: ? ? 2 x y

此题在前面用均值不等式解的,也可以用柯西不等式解答。
1 1 1 1 1 证明: ? ? ( x ? y )( ? ) x y 2 x y

?( x?

1 1 2 ? y? ) ?2 x y

当且仅当

y x

?

x ,即 x ? 1, y ? 1 时等号成立 y

不等式知识在高中尤为重要,在学术上也有很大的研究的余地,本文只是浅 显的举例说明了一些关于不等式的内容更深层的知识有待学者继续研究。 参考文献
[1] [2] [3] [4] 傅荣强,于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社,2007:58—88 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9). 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11). 普片多,例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院


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