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2016届四川省高考数学模拟试卷(理科)解析版


2016 年四川省高考数学模拟试卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2016?四川模拟)已知 i 为虚数单位,a∈R,若(a +2a﹣3)+(a+3)i 为纯虚数, 则 a 的值为( ) A.1 B.﹣3 C.﹣3 或 1 D.3 或 1 2. (5

分) (2016?四川模拟)已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x||x﹣1|≤a,a∈R}, 若 N? M,则 a 的取值范围为( ) A.0≤a≤1 B.a≤1 C.a<1 D.0<a<1 3. (5 分) (2016?四川模拟)设命题 p:存在四边相等的四边形不是正方形;命题 q:若 cosx=cosy,则 x=y,则下列判断正确的是( ) A.p∧q 为真B.p∨q 为假 C.¬p 为真 D.¬q 为真 2 4. (5 分) (2016?四川模拟)已知抛物线 x =﹣2py(p>0)经过点(2,﹣2) ,则抛物线的 焦点坐标为( ) A. B. C. D.

5. (5 分) (2016?四川模拟)小明、小王、小张、小李 4 名同学排成一纵队表演节目,其中 小明不站排头,小张不站排尾,则不同的排法共有( )种. A.14 B.18 C.12 D.16 6. (5 分) (2016?四川模拟)执行如图所示的程序框图,输出 P 的值为( )

A.﹣1 B.1

C.0

D.2016

7. (5 分) (2016?四川模拟)设 x,y 满足约束条件

,则

的最

大值为( ) A.1024 B.256 C.8

D.4 ,记△ABC, )

8. (5 分) (2016?四川模拟)已知 O 为△ABC 内一点,且有 △BCO,△ACO 的面积分别为 S1,S2,S3,则 S1:S2:S3 等于(

A.3:2:1 B.3:1:2 C.6:1:2 D.6:2:1 9. (5 分) (2016?四川模拟)若椭圆 和圆 ) 为椭

圆的半焦距) ,有四个不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. C. D.

10. (5 分) (2016?太原校级二模)已知函数

,若存在 x1,x2, )

当 0≤x1<x2<2 时,f(x1)=f(x2) ,则 x1f(x2)﹣f(x2)的取值范围为( A. D. B. C.

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11. (5 分) (2016?四川模拟)若样本数据 x1,x2,…,x10 的平均数为 8,则数据 2x1﹣1, 2x2﹣1,…,2x10﹣1 的平均数为 . 12. (5 分) (2016?四川模拟) 在二项式
5

的展开式中, 所有二项式系数之和为 128,

则展开式中 x 的系数为 . 13. (5 分) (2016?四川模拟)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,P 为棱 AA1 的中 点,在面 BB1D1D 上任取一点 E,使得 EP+EA 最小,则最小值为 . 14. (5 分) (2016?四川模拟)在平面直角坐标系中,以(0,﹣1)为圆心且与直线 ax+y+ +1=0 (a∈R) 相切的所有圆中, 最大圆面积与最小圆面积的差为
2 2



15. (5 分) (2016?四川模拟)已知 a>0,f(x)=a lnx﹣x +ax,若不等式 e≤f(x)≤3e+2 对任意 x∈[1,e]恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分) (2016?四川模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 = (I)求角 A; (Ⅱ)若 =(0,﹣1) , =(cosB,2cos
2

) ,求| + |的取值范围.

17. (12 分) (2016?四川模拟)为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况.现从 某班全体学生中,随机抽取 12 名,测试的满意度分数(百分制)如下:65,52,78,90, 86,86,87,88,98,72,86,87 根据学校体制标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)从这 12 名学生中任选 3 人进行测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅱ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ξ 表示测试成绩“优良”的学生人数,求 ξ 的分布 列及期望.

18. (12 分) (2016?四川模拟) 如图所示, 在三棱锥 P﹣ABQ 中, PB⊥平面 ABQ, BA=BP=BQ, D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH. (Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求异面直线 DP 与 BQ 所成的角; (Ⅲ)求直线 AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值.

19. (12 分) (2016?四川模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣4,数列{bn}满足 bn+1﹣bn=1,其 n 项和为 Tn,且 T2+T6=32. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; * (Ⅱ)若不等式 nlog2(Sn+4)≥λbn+3n﹣7 对任意的 n∈N 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 20. (13 分) (2016?四川模拟)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为
2 2

A1,A2,且|A1A2|=4,上顶点为 B,若直线 BA1 与圆 M: (x+1) +y = 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l:x=2 与 x 轴交于 D,P 是椭圆 C 上异于 A1、A2 的动点,直线 A1P、A2P 分 别交直线 l 于 E、F 两点,求证:|DE|?|DF|为定值. 21. (14 分) (2016?四川模拟)设函数 f(x)=x ﹣x+t,t≥0,g(x)=lnx. 2α (Ⅰ)若对任意的正实数 x,恒有 g(x)≤x 成立,求实数 α 的取值范围; (Ⅱ)对于确定的 t,是否存在直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切?若存在,讨论直 线 l 的条数,若不存在,请说明理由.
2

2016 年四川省高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?四川模拟)已知 i 为虚数单位,a∈R,若(a +2a﹣3)+(a+3)i 为纯虚数, 则 a 的值为( ) A.1 B.﹣3 C.﹣3 或 1 D.3 或 1 【分析】直接由实部等于 0 且虚部不为 0 列式求得 a 值. 【解答】解:∵(a +2a﹣3)+(a+3)i 为纯虚数, ∴ ,解得:a=1.
2 2

故选:A. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查复数是纯虚数的条件,是基础题. 2. (5 分) (2016?四川模拟)已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x||x﹣1|≤a,a∈R}, 若 N? M,则 a 的取值范围为( ) A.0≤a≤1 B.a≤1 C.a<1 D.0<a<1 【分析】分别化简集合 M,N,对 a 分类讨论,利用集合之间的关系即可得出. 【解答】解:集合 M={x||x|≤2,x∈R}=[﹣2,2],N={x||x﹣1|≤a,a∈R}, ∴当 a<0 时,N=?,满足 N? M. 当 a≥0 时,集合 N=[1﹣a,1+a]. ∵N? M,∴ ,解得 0≤a≤1.

综上可得:a 的取值范围为 a≤1. 故选:B. 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、集合之间的运算性质,考查了分类讨论方法、推 理能力与计算能力,属于中档题. 3. (5 分) (2016?四川模拟)设命题 p:存在四边相等的四边形不是正方形;命题 q:若 cosx=cosy,则 x=y,则下列判断正确的是( ) A.p∧q 为真B.p∨q 为假 C.¬p 为真 D.¬q 为真 【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可. 【解答】解:菱形的四边形的边长相等,但不一定是正方形,故命题 p 是真命题, 当 x=﹣y 时,满足 cosx=cosy,但 x=y 不成立,即命题 q 是假命题, 故¬q 为真,其余都为假命题, 故选:D 【点评】本题主要考查复合命题真假的关系,根据条件判断命题 p,q 的真假是解决本题的 关键.

4. (5 分) (2016?四川模拟)已知抛物线 x =﹣2py(p>0)经过点(2,﹣2) ,则抛物线的 焦点坐标为( ) A. B.
2

2

C.

D.

【分析】抛物线 x =﹣2py(p>0)经过点(2,﹣2) ,代值计算即可求出 p,能求出焦点坐 标. 【解答】解:抛物线 x =﹣2py(p>0)经过点(2,﹣2) , ∴4=4p, ∴p=1, ∴抛物线的焦点坐标为(0,﹣ ) , 故选:C. 【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法及应用,是基础题,解题时要熟练掌握抛物线的 简单性质. 5. (5 分) (2016?四川模拟)小明、小王、小张、小李 4 名同学排成一纵队表演节目,其中 小明不站排头,小张不站排尾,则不同的排法共有( )种. A.14 B.18 C.12 D.16 【分析】小明不站排头,小张不站排尾,可按小明在排尾与不在排尾分为两类,根据分类计 数原理可得. 【解答】解:小明不站排头,小张不站排尾排法计数可分为两类, 3 第一类小明在排尾,其余 3 人全排,故有 A3 =6 种, 1 1 第二类小明不在排尾,先排小明,有 A2 种方法,再排小张有 A2 种方法,剩下的 2 人有 2 A2 种排法,故有 2×2×2=8 种 根据分类计数原理可得,共有 6+8=14 种, 故选:A. 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,关键是分类,属于基础题. 6. (5 分) (2016?四川模拟)执行如图所示的程序框图,输出 P 的值为( )
2

A.﹣1 B.1 C.0 D.2016 【分析】模拟执行程序框图的运行过程,写出每次循环得到的 P,i 的值,当 i=2017>2016 时,满足条件,终止循环,输出 P 的值.

【解答】解:执行程序框图,有 p=0,i=1,P=0+cosπ=﹣1, i=2,不满足条件 i>2016?,有 P=﹣1+cos2π=0, i=3,不满足条件 i>2016,有 P=0+cos3π=﹣1, ,…, i=2016,不满足条件 i>2016,有 P=﹣1+cos2016π=0, i=2017,满足条件 i>2016,输出 P 的值为 0. 故选:C. 【点评】本题考查了程序框图和算法的应用问题,也考查了分析问题与解答问题的能力,是 基础题.

7. (5 分) (2016?四川模拟)设 x,y 满足约束条件

,则

的最

大值为( ) A.1024 B.256 C.8 D.4 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 【解答】解:由 z= =2
2x﹣y

,令 u=2x﹣y,

作出约束条件

,对应的平面区域如图(阴影部分) :

平移直线 y=2x﹣u 由图象可知当直线 y=2x﹣u 过点 A 时,直线 y=2x﹣u 的截距最小,此时 u 最大, 由 ,解得 ,即 A(5,2) .

代入目标函数 u=2x﹣y, 得 u=2×5﹣2=8, ∴目标函数 z= 故选:B. =2
2x﹣y

,的最大值是 2 =256.

8

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法.

8. (5 分) (2016?四川模拟)已知 O 为△ABC 内一点,且有 △BCO,△ACO 的面积分别为 S1,S2,S3,则 S1:S2:S3 等于( A.3:2:1 B.3:1:2 C.6:1:2 D.6:2:1 【分析】如图所示,延长 OB 到点 E,使得 OAFE.则 得 =2 +2 .于是 = = + = ,由于 +2 =2 +3 ,分别以 , )

,记△ABC,

为邻边作平行四边形 =3 .又 =2 ,可

= ,可得﹣

,得到 S△ ABC=2S△ AOB.同理可得:S△ ABC=3S△ AOC,

S△ ABC=6S△ BOC.即可得出. 【解答】解:如图所示, 延长 OB 到点 E,使得 则 ∵ 又 于是 +2 +2 =2 = = +3 + = =2 , =3 . . ,分别以 , 为邻边作平行四边形 OAFE.

= ,∴﹣ =2

,可得 ,

∴S△ ABC=2S△ AOB. 同理可得:S△ ABC=3S△ AOC,S△ ABC=6S△ BOC. ∴ABC,△BOC,△ACO 的面积比=6:1:2. 故选:C.

【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、三角形的面积计算公式.

9. (5 分) (2016?四川模拟)若椭圆

和圆 )

为椭

圆的半焦距) ,有四个不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. C. D.

【分析】由题设知

,由

,得 2c>b,再平方,4c >b ,

2

2

;由

,得 b+2c<2a,

.综上所述,



【解答】解:∵椭圆 中心都在原点, 且它们有四个交点,

和圆

为椭圆的半焦距)的

∴圆的半径





,得 2c>b,再平方,4c >b ,
2 2 2 2

2

2

在椭圆中,a =b +c <5c , ∴ 由
2

; ,得 b+2c<2a,
2 2

再平方,b +4c +4bc<4a , 2 2 ∴3c +4bc<3a , 2 ∴4bc<3b , ∴4c<3b, 2 2 ∴16c <9b , 2 2 2 ∴16c <9a ﹣9c , 2 2 ∴9a >25c , ∴ ,



. .

综上所述,

故选 A. 【点评】本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性 质等基础知识. 考查运算求解能力, 推理论证能力; 考查函数与方程思想, 化归与转化思想.

10. (5 分) (2016?太原校级二模)已知函数

,若存在 x1,x2, )

当 0≤x1<x2<2 时,f(x1)=f(x2) ,则 x1f(x2)﹣f(x2)的取值范围为( A. D. B. C.

【分析】先作出函数图象然后根据图象,根据 f(x1)=f(x2) ,确定 x1 的取值范围然后再 根据 x1f(x2)﹣f(x2) ,转化为求在 x1 的取值范围即可. 【解答】解:作出函数的图象: ∵存在 x1,x2,当 0≤x1<x2<2 时,f(x1)=f(x2) ∴0≤x1< , ∵x+ 在[0, )上的最小值为 ; 2
x﹣1

在[ ,2)的最小值为 ,x1≥ ≤x1< . ,



∴x1+ ≥ ∴

∵f(x1)=x1+ ,f(x1)=f(x2) ∴x1f(x2)﹣f(x2)=x1f(x1)﹣f(x1)2 =
2

﹣(x1+ )=x1 ﹣ x1﹣ ,
2

2

设 y=x1 ﹣ x1﹣ =(x1﹣ ) ﹣ 则对应抛物线的对称轴为 x= , ∴当 x= 时,y=﹣ 当 x= 时,y= , ,

, (

≤x1< ) ,

即 x1f(x2)﹣f(x2)的取值范围为[﹣ 故选:B.



) .

【点评】本题主要考查分段函数的应用,以及函数零点和方程之间的关系,利用二次函数的 单调性是解决本题的关键,综合性强,难度较大. 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11. (5 分) (2016?四川模拟)若样本数据 x1,x2,…,x10 的平均数为 8,则数据 2x1﹣1, 2x2﹣1,…,2x10﹣1 的平均数为 15 . 【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据 2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1 的平均数. 【解答】解:∵样本数据 x1,x2,…,x10 的平均数是 10, ∴ = (x1+x2+…+x10)=8;

∴数据 2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1 的平均数是: = =2× [(2x1﹣1)+(2x2﹣1)+…+(2x10﹣1)] (x1+x2+…+x10)﹣1=2×8﹣1=15.

故答案为:15. 【点评】本题考查了计算数据的平均数问题,解题时应根据公式进行计算,也可以利用平均 数的性质直接得出答案.

12. (5 分) (2016?四川模拟) 在二项式
5

的展开式中, 所有二项式系数之和为 128,

则展开式中 x 的系数为 35 . 5 【分析】由条件利用二项式系数的性质求得 n=7,再利用二项展开式的通项公式求得 x 的 系数. 【解答】解:由题意可得 2 =128,n=7,∴ 它的通项公式为 Tr+1= 故展开式中 x 的系数为
5 n

=



?x

21﹣4r

,令 21﹣4r=5,求得 r=4,

=35,

故答案为:35. 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于基础题.

13. (5 分) (2016?四川模拟)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,P 为棱 AA1 的中 点,在面 BB1D1D 上任取一点 E,使得 EP+EA 最小,则最小值为 a .

【分析】由图形可知 AC⊥平面 BB1D1D,且 A 到平面 BB1D1D 的距离与 C 到平面 BB1D1D 的距离相等,故 EA=EC,所以 EC 就是 EP+EP 的最小值; 【解答】解:连接 AC 交 BD 于 N,连接 EN,EC, 则 AC⊥BD, ∵BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AC, ∴AC⊥平面 BB1D1D, ∴AC⊥EN, ∴△AEN≌△CEN, ∴EA=EC, 连接 EC, ∴线段 EC 的长就是 EP+EA 的最小值. 在 Rt△EAC 中,AC= ∴EC= 故答案为: a. a,EA= a,

= a.

【点评】本题考查了空间几何中的最值问题,找到 EP 与 EP 的相等关系是本题的关键,属 于中档题. 14. (5 分) (2016?四川模拟)在平面直角坐标系中,以(0,﹣1)为圆心且与直线 ax+y+ 【分析】圆半径 r= +1=0(a∈R)相切的所有圆中,最大圆面积与最小圆面积的差为 2π . ,a=﹣1 时,rmin= =1,a=1 时,rmax= = ,由此

能求出最大圆面积与最小圆面积的差. 【解答】解:∵圆以(0,﹣1)为圆心且与直线 ax+y+ +1=0(a∈R)相切,

∴圆半径 r=

=

=
2



∴a=﹣1 时,rmin=

=1,最小圆面积 Smin=π×1 =π,

a=1 时,rmax=

=

,最大圆面积 Smax=

=3π,

∴最大圆面积与最小圆面积的差为:3π﹣π=2π. 故答案为:2π. 【点评】 本题考查以定点为圆心与定直线相切的所有圆中, 最大圆面积与最小圆面积的差的 求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用. 15. (5 分) (2016?四川模拟)已知 a>0,f(x)=a lnx﹣x +ax,若不等式 e≤f(x)≤3e+2 对任意 x∈[1,e]恒成立,则实数 a 的取值范围为 [e+1, ] .
2 2

【分析】利用导数可求得 f(x)的单调区间,由 f(1)=﹣1+a≥e 可得 a≥e+1,从而可判断 f(x)在[1,e]上的单调性,得到 f(x)的最大值,令其小于等于 3e+2 可得答案. 【解答】解:f′(x)= ﹣2x+a= ,

∵x>0,又 a>0, ∴x∈(0,a)时 f′(x)>0,f(x)递增; x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)递减. 又 f(1)=﹣1+a≥e, ∴a≥e+1, ∴f(x)在[1,e]上是增函数, 2 2 ∴最大值为 f(e)=a ﹣e +ae≤3e+2, 解得:a≤ ,

又 a≥e+1,而 e+1<



∴a 的取值集合是[e+1,

],

故答案为:[e+1,

].

【点评】该题考查函数恒成立问题、利用导数研究函数的单调性及最值,考查转化思想,利 用 f(1)=﹣1+a≥e 得 a 的范围是解题关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分) (2016?四川模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 = (I)求角 A; (Ⅱ)若 =(0,﹣1) , =(cosB,2cos
2

) ,求| + |的取值范围.

【分析】 (I)将切化弦,利于和角公式和正弦定理化简得出 cosA; (II)求出 + 的坐标,计算| + | ,根据 B 的范围解出| + |的范围.
2

【解答】 解: (I) ∵

=

, ∴

, 整理得 cosA= . ∴A=



(II)∵2cos cosB+ ∴ ∴(

2

=1+cosC=1﹣cos(B+

)=1﹣ cosB+

sinB,∴ =(cosB,1﹣

sinB) . sinB) , sinB) = + .∴﹣1≤cos(2B+
2

=(cosB,﹣ cosB+
2 2

) =cos B+(﹣ cosB+ ,∴ <2B+ . <



sin2B=1+ cos(2B+
2

) .

∵0<B< ∴

)< ,∴ ≤(

)< .

≤| + |<

【点评】本题考查了三角函数化简,平面向量的数量积运算,三角函数的恒等变换,属于中 档题. 17. (12 分) (2016?四川模拟)为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况.现从 某班全体学生中,随机抽取 12 名,测试的满意度分数(百分制)如下:65,52,78,90, 86,86,87,88,98,72,86,87 根据学校体制标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)从这 12 名学生中任选 3 人进行测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅱ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ξ 表示测试成绩“优良”的学生人数,求 ξ 的分布 列及期望. 【分析】 (Ⅰ)12 名学生中成绩是“优良”的学生人数为 9 人,至少有 1 人成绩是“优良”的对 立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”,由此能求出至少有 1 人成绩是“优良”的概率. (Ⅱ)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列 和 Eξ. 【解答】解: (Ⅰ)∵随机抽取 12 名,测试的满意度分数(百分制)如下:65,52,78,90, 86,86,87,88,98,72,86,87, 根据学校体制标准,成绩不低于 76 的为优良, ∴12 名学生中成绩是“优良”的学生人数为 9 人, 从这 12 名学生中任选 3 人进行测试,基本事件总数 n= =220,

至少有 1 人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”, ∴至少有 1 人成绩是“优良”的概率: p=1﹣ = .

(Ⅱ)由已知得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,

P(ξ=0)=

=



P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



P(ξ=3)=

=



∴ξ 有的分布列为: ξ 0 P Eξ=

1

2

3

= .

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 18. (12 分) (2016?四川模拟) 如图所示, 在三棱锥 P﹣ABQ 中, PB⊥平面 ABQ, BA=BP=BQ, D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH. (Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求异面直线 DP 与 BQ 所成的角; (Ⅲ)求直线 AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值.

【分析】 (I)根据中位线及平行公理可得 CD∥EF,于是 CD∥平面 EFQ,利用线面平行的 性质得出 CD∥GH,从而 GH∥AB; (II)由 AQ=2BD 可得 AB⊥BQ,以 B 为原点建立空间直角坐标系,求出 计算 , 的夹角得出异面直线 DP 与 BQ 所成的角; , 的坐标,

(III)求出 >|.

和平面 PDC 的法向量 ,则直线 AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值为|cos<

【解答】证明: (I)∵CD 是△ABQ 的中位线,EF 是△PAB 的中位线, ∴CD∥AB,EF∥AB, ∴CD∥EF,又 EF? 平面 EFQ,CD?平面 EFQ, ∴CD∥平面 EFQ, 又 CD? 平面 PCD,平面 PCD∩平面 EFQ=GH, ∴GH∥CD,又 CD∥AB, ∴GH∥AB. (II)∵D 是 AQ 的中点,AQ=2BD,∴AB⊥BQ. ∵PB⊥平面 ABQ,∴BA,BP,BQ 两两垂直. 以 B 为原点以 BA,BQ,BP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图: 设 BA=BP=BQ=1,则 B(0,0,0) ,P(0,0,1) ,D( , ,0) ,Q(0,1,0) . ∴ ∴ ∴cos< =(﹣ ,﹣ ,1) , =﹣ ,| |= =(0,1,0) . ,| . . |=1,

>=﹣

∴异面直线 DP 与 BQ 所成的角为 arccos

(III)设 BA=BP=BQ=1,则 A(1,0,0) ,Q(0,1,0) ,P(0,0,1) ,D( , ,0) , C(0, ,0) . =(﹣1,1,0) , =( ,0,0) , =(0,﹣ ,1) . , =0,

设平面 CDP 的一个法向量为 =(x,y,z) ,则



,令 z=1,得 =(0,2,1) .

∴ ∴cos<

=2,| |= >=

,|

|= =

, ,

∴直线 AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值为



【点评】 本题考查了线面平行的判定与性质, 空间角的计算, 空间向量的应用, 属于中档题. 19. (12 分) (2016?四川模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣4,数列{bn}满足 bn+1﹣bn=1,其 n 项和为 Tn,且 T2+T6=32. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; * (Ⅱ)若不等式 nlog2(Sn+4)≥λbn+3n﹣7 对任意的 n∈N 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 【分析】 (I)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系即可得出. (Ⅱ)Sn=2×4 ﹣4.不等式 nlog2(Sn+4)≥λbn+3n﹣7,化为:λ≤
n

,利用单

调性求出

的最小值即可得出.

【解答】解: (I)∵Sn=2an﹣4, ∴n=1 时,a1=2a1﹣4,解得 a1=4;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣4﹣(2an﹣1﹣4) ,化为: an=2an﹣1. n﹣1 n+1 ∴数列{an}是等比数列,首项为 4,公比为 2,∴an=4×2 =2 . ∵数列{bn}满足 bn+1﹣bn=1, ∴数列{bn}是等差数列,公差为 1. ∵T2+T6=32,∴2b1+1+6b1+ ∴bn=2+(n﹣1)=n+1. n+1 (Ⅱ)Sn=2×2 ﹣4. ∴不等式 nlog2(Sn+4)≥λbn+3n﹣7,化为:λ≤ , ×1=32,解得 b1=2.



=(n+1)+

﹣3≥2

﹣3=3,

当 n=2 时,

取得最小值 3,

∴实数 λ 的取值范围是 λ≤3. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系、数列的 单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (13 分) (2016?四川模拟)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为
2 2

A1,A2,且|A1A2|=4,上顶点为 B,若直线 BA1 与圆 M: (x+1) +y = 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l:x=2 与 x 轴交于 D,P 是椭圆 C 上异于 A1、A2 的动点,直线 A1P、A2P 分 别交直线 l 于 E、F 两点,求证:|DE|?|DF|为定值. 【分析】 (Ⅰ)由条件可得到 A1(﹣2,0) ,B(0,b) ,从而可以写出直线 BA1 的方程,这 样即可得出圆心(﹣1,0)到该直线的距离为 ,从而可以求出 b,这便可得出

椭圆 C 的标准方程为



(Ⅱ)可设 P(x1,y1) ,从而有

,可写出直线 A1P 的方程为



从而可以求出该直线和直线 x= 的交点 E 的坐标,同理可得到点 F 的坐标,这样即可得 出|DE|,|DF|,然后可求得|DE|?|DF|=3,即得出|DE|?|DF|为定值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 A1(﹣2,0) ,B(0,b) ; ∴直线 BA1 的方程为 ;

∴圆心(﹣1,0)到直线 BA1 的距离为
2



解得 b =3; ∴椭圆 C 的标准方程为 ;

(Ⅱ)证明:设 P(x1,y1) ,则





∴直线 A1P 的方程为







同理得,







∴|DE|?|DF|为定值. 【点评】考查椭圆的标准方程,椭圆的顶点坐标,以及圆的标准方程,直线和圆相切时,圆 心到直线的距离等于半径, 根据两点坐标求过这两点的直线的斜率的计算公式, 直线的点斜 式方程. 21. (14 分) (2016?四川模拟)设函数 f(x)=x ﹣x+t,t≥0,g(x)=lnx. 2α (Ⅰ)若对任意的正实数 x,恒有 g(x)≤x 成立,求实数 α 的取值范围; (Ⅱ)对于确定的 t,是否存在直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切?若存在,讨论直 线 l 的条数,若不存在,请说明理由. 2α 2α 【分析】 (1)由题意可得 lnx﹣x ≤0 恒成立,讨论当 α≤0 时,h(x)=lnx﹣x 递增,无 最大值;当 α>0 时,求出导数,求得单调区间,可得极大值,也为最大值,由恒成立思想 解不等式即可得到所求范围; (2)分别设出切点,再根导数的几何意义求出切线方程,构造方程组,消元,再构造函数 F(x)=lnx+ ﹣(t+1) ,利用导数求出函数 F(x)的最小值,再分类讨论,得到方
2

程组的解得个数,继而得到切线的条数. 2α 【解答】解: (1)对任意的正实数 x,恒有 g(x)≤x 成立, 2α 即为 lnx﹣x ≤0 恒成立, 2α 当 α≤0 时,h(x)=lnx﹣x 递增,无最大值; 当 α>0 时,h′(x)= ﹣2α?x
2α﹣1



当 x>

时,h′(x)<0,h(x)递减;

当 0<x<

时,h′(x)>0,h(x)递增.

即有 x= 由 ln ﹣

时,h(x)取得最大值,且为 ≤0,可得 α≥ , ,+∞) ;

ln





综上可得,实数 α 的取值范围是[

(2)记直线 l 分别切 f(x) ,g(x)的图象于点(x1,x1 ﹣x1+t) , (x2,lnx2) , 2 由 f′(x)=2x﹣1,得 l 的方程为 y﹣(x1 ﹣x1+t)=(2x1﹣1) (x﹣x1) ,即 y=(2x1﹣1)x﹣ 2 x1 +t. 由 g′(x)= ,得 l 的方程为 y﹣lnx2= (x﹣x2) ,即 y= ?x+lnx2﹣1.

2

所以

(*)

消去 x1 得 lnx2+

﹣(t+1)=0

(**) .

令 F(x)=lnx+

﹣(t+1) ,

则 F′(x)= ﹣

=

=

,x>0.

由 F'(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,F'(x)<0,当 x>1 时,F'(x)>0, 所以 F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 从而 F(x)min=F(1)=﹣t. 当 t=0 时,方程(**)只有唯一正数解,从而方程组(*)有唯一一组解, 即存在唯一一条满足题意的直线; t+1 t+1 当 t>0 时,F(1)<0,由于 F(e )>ln(e )﹣(t+1)=0, 故方程(**)在(1,+∞)上存在唯一解; 令 k(x)=lnx+ ﹣1(x≤1) ,由于 k' (x)= ﹣ 故 k (x)在(0,1]上单调递减, 故当 0<x<1 时,k (x)>k (1)=0,即 lnx>1﹣ ,
2

=

≤0,

从而 lnx+

﹣(t+1)>(

﹣ ) ﹣t.
2

所以 F( 又 0<

)>( <1,

+ ) ﹣t=

+ >0,

故方程(**)在(0,1)上存在唯一解. 所以当 t>0 时,方程(**)有两个不同的正数解,方程组(*)有两组解.即存在两条满足 题意的直线. 综上,当 t=0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 1; 当 t>0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 2. 【点评】 本题考查了导数和函数的单调性质以及最值的关系, 以及导数的几何意义方程组的 解的个数问题,考查了学生得转化能力,运算能力,属于难题.


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