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高考几何概型复习


高考几何概型复习
几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型, 是概率考查中的重点, 下面就几何概 型的知识与常见题型做一梳理,以期能使对于这一知识点做到脉络清晰,条理分明。 一 基本知识梳理 1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型。 2.几何概型的概率公式: P(A)=<

br />
构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

3.几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本 事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较:一方面,古典概型具有有限性,即试验结果是可数的;而 几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关, 即试验结果具有无限性,是不可数的。这是二者的不同之处;另一方面,古典概型与几何概 型的试验结果都具有等可能性,这是二者的共性。 二 基本题型剖析 题型 1.与长度有关的几何概型 例 1.在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos A.

?x

1 3

B.

2

?

C.

1 2

2 2 D. 3

的值介于 0 到

1 之间的概率为( 2

).

分析: 在区间 [ ?1,1] 上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间 [ ?1,1] 的任意一 个数,基本事件是无限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的 概率只与自变量 x 的取值范围的区间长度有关,符合几何概型的条件. 解:在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x ,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos

?x 1 的值介于 0 到 之间, 2 2 2 ? ?x ? ? ?x ? 2 2 ?? 或 ? ? ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 , 需使 ? ? 3 2 2 3 3 2 2 3 3 ?x 1 由几何概型知使 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2
2 符合条件的区间长度 1 P? ? 3 ? . 故选 A. 所有结果构成的区间长 度 2 3

题型 2.与面积有关的几何概型 例 2.若 ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1 , O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取 一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )

1

A.

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

分析:由于是随机的取点,点落在长方形内每一个点的机会是等可能的,基本事件是无限多 个,所以符合几何概型. 解:长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到 O 的距离大于 1 的面积为 2 ? 则取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为

?
2

? 2
C



D
A
O

B

P( A) ?
. 故选 B.

取到的点到O的距离大于 1的面积 ? 长方形ABCD的面积

2?

2 ? 1? ? 2 4

?

图1

题型 3.与角度有关的几何概型 例 3.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心为起点做射线 OC ,求使得 ?AOC 和 ?BOC 都不 小于 30°的概率? 分析: 此题关键是搞清过 O 作射线 OC 可以在扇形的任意位置, 而且是等 可能的,因此基本事件的发生是等可能的. 解:记事件 A 是“做射线 OC ,使得 ?AOC 和 ?BOC 都不小于 30°”,

B

O C N

M
A

图2

?AON ? ?BOM ? ?MON ? 300 ,则符合条件的射线 OC 应落在扇形 MON 中,
所以 P( A) ?

?MON的度数 300 1 ? ? . ?AOB的度数 900 3

题型 4.与体积有关的几何概型 例 4.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大? 分析: 病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的, 取得的 1 升水可以看作构成事件的区域, 5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可以用体积比公式计算其概率. 解:“取出 1 升水,其中含有病毒”这一事件记作事件 A, 则 P( A) ?

取出的水的体积 1 . ? ? 0.2. 从而所求的概率为 0.2. 所有水的体积 5

题型 5.与线性规划有关的几何概型 例 5.小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家在 下午 6: 00~7: 00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的

2

概率是多少? 分析:该题题意明确,但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由 于晚报送到和晚饭开始都是随机的, 设晚报送 到和晚饭开始的时间分别为 x、y ,然后把这 两个变量所满足的条件写成集合的形式, 把问 题转化为线性规划问题进行求解. 解:设晚报送到和晚饭开始的时间分别为

(x,y) 表示每次试验的结果,则所 x、y .用
有 可 能 结 果 为 :

??? ( x, y) 5 : 30 ? x ? 6 : 30,6 ? y ? 7?,
即为图 3 中正方形 ABCD 的面积;记晚报在 晚 餐 开 始 之 前 被 送 到 为 事 件

A , 则 事 件 A 的 结 果 为 :

A?? ( x, y) 5 : 30 ? x ? 6 : 30,6 ? y ? 7, x ? y? , 即 为 图 2 中 阴 影 部 分 区 域 .
1 1 1 7 S ABCD ? 1?1 ? 1, S阴影 ? 1 ? ? ? ? . 2 2 2 8
所以所求概率为: P ?

S阴影 S ABCD

7 7 7 ? 8 ? .故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是 . 8 1 8
2

题型 6. 与其他章节知识综合类 例 6.已知两数 m 则关于 x 的一元二次方程 x ? nx ? m ? 0 ,n 是某事件发生的概率取值, 有实根的概率是( ) A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

1] ,故 [0, 1] 即为两数 m 解析:事件发生的概率取值为 [0, ,n 的取值范围。在平面直角坐标
系中,以 x 轴和 y 轴分别表示 m ,n 的值,因为( m ,n )与图中正方形内的点一一对应, 即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件 A 表示方程 x ? nx ? m ? 0 有实
2

3

? ? n ? 4m ? 0 ? ? ? ? 根,则事件 A ? ?(m,n) | ?0 ? m ? 1 ? ,所对应的区域为图 ? ?0 ? n ? 1 ? ? ? ?
阴影部分,且阴影部分的面积为

中的

S 1 1 .故由几何概型公式得 P( A) ? 阴影 ? ,即关于 x 的 8 S正方形 8
1 . 8
答案:C.

一元二次方程 x ? nx ? m ? 0 有实根的概率为
2

反思总结:此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系,其求解的步骤为: (1)找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x, y ; (2) 集合表示.用 ( x, y ) 表示每次试验结果, 则可用相应的集合分别表示出全部结果 ? 和事 件 A 所包含的试验结果.一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出,并求出集合 ?, A 对应的区域的面积. (4)计算求解.由几何概型公式求出概率. 强化训练 1.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则 点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ).

A. B. C. 考查目的:考查几何概型的意义及其概率计算.答案:C.

D.

解析:所求概率为

,故答案选 C.

2.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,其边长分别等于线段 AC,CB 的 长,则该矩形面积小于 32 的概率为( ).

A. B. C. D. 考查目的:考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能 力.答案:C.
4

解:设线段 AC 长为 cm,则线段 CB 长为 解得 或 .又∵

cm,矩形的面积为

,由

,该矩形面积小于 32

的概率为 ,故选 C.

3.设不等式组 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是 ( ). A. B. C. 考查目的:不等式组表示平面区域以及几何概型的计算.答案:D. D.

解析:题目中

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正方

形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此

,故选 D.

4.在区间[-1,2]上随机取一个数 ,则 的概率为 考查目的:考查与长度有关的几何概型问题的概率计算. 答案: . 解析:区间[0,1]的两端点之间长是 1,区间[-1,2]的长度是 3,故 的概率是 .

5.已知下图所示的矩形,其长为 12,宽为 5.在矩形内随机地撒 1 000 颗黄豆,数得落 在阴影部分的黄豆数为 550 颗,则可以估计出阴影部分的面积约为 .

考查目的:了解随机数的概念,与面积有关的几何概型概率问题. 答案:33. 解析:设阴影部分的面积为 S,由条件知矩形面积为 60,则 ,解得 .

6.将一条 5 米长的绳子随机地切断成两条, 事件 T 表示所切两段绳子都不短于 1 米的事 件,事件 T 发生的概率 . 考查目的:考查随机事件是否为几何概型的判断.

5

答案: . 解析:类似于古典概型,先找到基本事件组,既找到其中每一个基本事件.注意到每一 个基本事件都与唯一一个断点一一对应, 故基本事件组中的基本事件就与线段上的点一一对 应,若把离绳首尾两端距离为 1 的点记作 M、N,则显然事件 T 所对应的基本事件所对应的 点在线段 MN 上.由于在古典概型中事件 T 的概率为 T 包含的基本事件个数/总的基本事件个 数,但这两个数字(T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数)是无法找到的,所以用线段 MN 的长除以线段 AB 的长表示事件 T 的概率,即 .

7.如图,在单位圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q,求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长 度不超过 1 的概率.

考查目的:考查几何概型问题的概率计算,以及对立事件概率计算等. 答案: . , 而 Q 点在直径 AB 上是随机的, 事件 .

解析:弦长不超过 1,即

由几何概型的概率公式得

.∴弦长不超过 1 的概率为

.

8.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟, 过时即可离去,求两人能会面的概率. 考查目的:考查将实际问题转化为几何概型概率问题解决的能力. 答案: .

解析:以 轴和 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面满足的条件 是 .在如图所示平面直角坐标系下,( , )的所有可能结果是边长为 60 的正方形

区域,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公

式得

.
6

7


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