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湖北省黄冈中学2012届高三5月模拟考试数学(文)试题


湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试
数学(文科)

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
?x 1.已知集合 A ? y | y ? 2 , x ? 0 , B ? ? x | y ? x 2 ? ,则 A ? B ? (

?

?

? ?

1

? ?

) D.

A. ?1, ?? ?

B. ?1, ?? ?

C.

? 0, ?? ?


? 0, ?? ?

2.已知向量 a ? (2, ?1) , a ? b ? 10 , a ? b ? A.20 3.如果复数 A.0 B. 40

?

? ?

?

?

? 5 ,则 b ? (
C. 2 10

D. 2 5 )

2 ? bi (b ? R, i为虚数单位) 的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于( 1? i
B.1
2

C.2

D.3 ) D. a ? 5

4.命题“ ?x ? [1, 2], x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( ....... A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5

5.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( ) A. 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图可能是平行四边形 ? 6.先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变, 4
1 ,得到函数 g (x) 的图像.则 g (x) 的 2 一个增区间可能是( )

横坐标压缩为原来的

开始

A. (?? ,0)

B. (0,

?
2

)

C. (

?
2

,? )

D. (

? ?

n ? 1, S ? 1

, ) 4 2
n ? n ?1
S ? S ? ? ?1? n
n

7.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为( ) A. 3 B. ?2 C. 4 D. 8
[来源:Zxxk.Com]

n?5
否 输出 S



结束

8.已知 a ? b, 函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象如右图所示,

则函数 g ( x) ? log a ? x ? b ? 的图象可能为(



9.直线 4kx ? 4 y ? k ? 0( k ? R ) 与抛物线 y 2 ? x 交于 A 、B 两点, | AB |? 4 , 若 则弦 AB 的中点到直线 x ? A.

1 ? 0 的距离等于( 2
B. 2

) C.

7 4

9 4

D. 4

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ? (0, ) 时,

3 2

3 f ( x) ? sin ? x , f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x) 在区间 ? 0, 6 ? 上的零点个数是( 2 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9



第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11.如图是 2012 年某高校自主招生面试环节中,7 位评委对某考生打 出的分数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的 平均数为____,方差 为____.
[来源:学科网 ZXXK]

12. 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 a 2 b2

y?

2 x ,则它的离心率 e ? ____. 2

13 .2012 年黄冈中学春季球类运动会的篮球决赛需要两名学生裁判, 经过两轮筛选后有来自 高二的 3 名同学和高三的 3 名同学入围。 从这 6 名同学中抽取 2 人为最终人选, 至少有一名 高二的同学的概率是____.

? y2 ? x ? 0 14.已知实数 x, y 满足 ? ,则 2x ? y 的最小值为____,最大值为____. ? x? y ?2

15.已知如下等式:

3? 4 ?

1 2 3 ? 42 , 7

?

?

32 ? 3 ? 4 ? 42 ?

1 3 3 3 ?4 7 , 1 4 3 ? 44 7 , 1 5 5 3 ?4 7 ,

?

?

33 ? 32 ? 4 ? 3 ? 42 ? 43 ?

?

?

34 ? 33 ? 4 ? 32 ? 42 ? 3 ? 43 ? 44 ?
??

?

?

则由上述等式可归纳得到: 3n ? 3n ?1 ? 4 ? 3n ? 2 ? 42 ? ? ? ? ?1? 4 n ? ____( n ? N* ).
n

16.若直线 y ? kx ? 1 和圆 O : x ? y ? 1 相交于 A 、 B 两点(其中 O 为坐标原点) ,且
2 2

?AOB ? 60? ,则实数 k 的值为____.
17.有 10 台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.现有两种工作方案:第一种方 案,同时投入并连续工作至收割完毕;第二种方案,每隔相同时间先后逐台投入,每一 台投入后都连续工作 至收割完毕.若采用第一种方案需要 24 小时,而采用第二种方案 时,第一台投入工作的时间恰好为最后一 台投入工作时间的 5 倍,则采用第二种方案时 第一台收割机投入工作的时间为 小时. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分)
[来源:学*科*网]

已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a, b) ,

??

? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) . ?? ? (Ⅰ)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; ?? ?? ? (Ⅱ)若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ?C ? ,求 ?ABC 的面积. 3
19. (本小题满分 12 分)

2 n ?1 an 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ( n ? N ? ). an ? 2 n
(Ⅰ)证明:数列 ?

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅲ)设 bn ?

? 2n ? ? 是等差数列; ? an ?

1 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . n ? 2n ?1
D1 C1 B1 E

20.(本小题满分 13)
A1

D F A B

C

如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? EFB1 的体积. 21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e . a 2 b2
3 ,求椭圆的方 程; 2
???? ???? ? ?

(Ⅰ)若 e ?

(Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点,若 AF2 ? BF2 ? 0 ,且 的取值范围. 22.(本小题满分 14 分)
2 x 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3)e .

2 3 ,求 k ?e? 2 2

(Ⅰ)如果 f ( x) 定义在区间 [ ?2, t ](t ? ?2) 上,那么 ①当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; ②设 m ? f ( ?2), n ? f (t ) .试证明: m ? n ;
x (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 2)e ,当 x ? 1 时,试判断方程 g ( x ) ? x 根的个数.

数学(文)三模试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
1 ? ? 1.已知集合 A ? ? y | y ? 2 , x ? 0? , B ? ? x | y ? x 2 ? ,则 A ? B ? ( ? ?
?x

) D.

A. ?1, ?? ?

B. ?1, ?? ?

C.

? 0, ?? ?

? 0, ?? ?

【答案】B,解:集合 A ? ?1, ?? ? , B ? ? 0, ?? ? ,故答案为 B. 2.已知向量 a ? (2, ?1) , a ? b ? 10 , a ? b ? A.20 B. 40

?

? ?

?

?

? 5 ,则 b ? (
C. 2 10

) D. 2 5

【答案】D,解: a ? b ? (a ? b)2 ? 3.如果复数 A.0

? ?

? ?

? ?2 ? ? ?2 a ? 2a ? b ? b ? 5 ,解得 b ? 2 5 .


2 ? bi (b ? R, i为虚数单位) 的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于( 1? i
B.1 C.2 D.3

2 ? bi (2 ? bi)(1 ? i) 2 ? b ? (2 ? b)i 【答案】A,解: ,则 2 ? b ? 2 ? b ,故选 A. ? ? 1? i 2 2
2 4.命题“ ?x ? [1, 2], x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是(

) D. a ? 5

A. a ? 4

B. a ? 4
2

C. a ? 5

【答案】C,解:若命题为真,则 a ? x ,故 a ? 4 ,故答案为 C. 5.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( ) A. 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是 平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图可能是平行四边形 【答案】D,解:由斜二测画法的规则可知答案为 D. 6.先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 横坐标压缩为原来的 一个增区间可能是( A. (?? ,0) B. (0,
? 个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变 4
开始

1 ,得到函数 g (x) 的图像.则 g (x) 的 2



?
2

)

C. (

?
2

,? )

D. (

? ?

n ? 1, S ? 1

, ) 4 2
n ? n ?1
S ? S ? ? ?1? n
n

1 解 : g ( x) ? c o x s , 它 的 递 增 区 间 为 4 2 k? ? k? [ ? , ]( k ? Z ) .故D真. 2 4 2

n?5
否 输出 S



结束

7.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为( ) A. 3 B. ?2 C. 4 D. 8 【答案】-2,解: S ? 1 ? (?1) ? 2 ? (?3) ? 4 ? (?5) ? ?2 . 8.已知 a ? b, 函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x) ? log a ? x ? b ? 的图象可能为( )

【答案】 解: B, 根据 f ( x) 的图像知 0 ? b ? 1 ,a ? 1 , g ( x) 单调递增, 则 且由 h( x) ? log a x 向左平移了 b 的单位,故选 B. 9.直线 4kx ? 4 y ? k ? 0( k ? R ) 与抛物线 y 2 ? x 交于 A 、B 两点, | AB |? 4 , 若 则弦 AB 的中点到直线 x ? A.

1 ? 0 的距离等于( 2
B. 2

) C.

7 4

9 4

D. 4

【答案】C,解:直线 4kx ? 4 y ? k ? 0 过定点 F ( , 0) 恰好为抛物线 y 2 ? x 的焦点,根据 抛物线的定义知,弦 AB 的中点到准线 x ? ?

1 4

1 1 的距离 d ? AB ? 2 ,故到直线 4 2

x?

1 1 9 ? 0 的距离为 2 ? ? . 2 4 4

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ? (0, ) 时,

3 2

3 f ( x) ? sin ? x , f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x) 在区间 ? 0, 6 ? 上的零点个数是( 2 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9



第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.如图是 2012 年某高校自主招生面试环节中,7 位评委对某考生 打出的分数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的平均数为____,和方差为____.
[来源:学科网]

【答案】85,1.6 解:平均数为 (84 ? 84 ? 86 ? 84 ? 87) ? 85 , 方差为

1 5

1 ?(84 ? 85)2 ? (84 ? 85)2 ? (86 ? 85)2 ? (84 ? 85)2 ? (87 ? 85)2 ? ? 1.6 ? 5?
x2 y2 2 x ,则它的离心率 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的一条渐近线方程为 y ? 2 2 a b

12. 双曲线

e ? ____.
c a 2 ? b2 6 6 b 2 ? 【答案】 ,解:依题意知 ? ,所以 e ? ? . 2 a a 2 2 a 2
13.2012 年黄冈中学春季球类运动会的篮球决赛需要两名学生裁判,经过两轮筛选后有来自 高二的 3 名同学和高三的 3 名同学入围。 从这 6 名同学中抽取 2 人为最终人选, 至少有一名 高二的同学的概率是____.

4 ,解:从 6 个人中抽取 2 人得到的基本事件总 数为 15,而含 1 名高二的同学的 5 12 4 情况有 9 种,含 2 名高二同学的情况有 3 种情况,故所求的概率 p ? ? . 15 5
【答案】 14.已知实数 x, y 满足 ?

? y2 ? x ? 0 ? x? y ?2

,则 2x ? y 的最小值为____,最大值为____.

2 【答案】 ? , 6 ,解:作出可行域,联立 y ? x ? 0 和 x ? y ? 2 解得两交点分别为 A(1,1) ,

1 8

B(4, ?2) ,平移直线 2 x ? y ? 0 ,当经过 B(4, ?2) 时,有 (2 x ? y)max ? 6 ;当平移至
与抛物线 y ? x ? 0 相切时,有 (2 x ? y)min ? ?
2

1 。故最小值、最大值分别为. 8

15.已知如下等式:

3? 4 ?

1 2 3 ? 42 , 7

?

?

32 ? 3 ? 4 ? 42 ?

1 3 3 3 ?4 7 ,

?

?

33 ? 32 ? 4 ? 3 ? 42 ? 43 ?

1 4 3 ? 44 7 ,

?

?

34 ? 33 ? 4 ? 32 ? 42 ? 3 ? 43 ? 44 ?

1 5 5 3 ?4 7 ,

?

?

??
则由上述等式可归纳得到 3n ? 3n ?1 ? 4 ? 3n ? 2 ? 42 ? ? ? ? ?1? 4 n ? ____( n ? N* ).
n

【解析】由归纳推理,可得原式= [3n?1 ? (?4) n?1 ]( n ? N * ) . 16.若直线 y ? kx ? 1 和圆 O : x ? y ? 1 相交于 A 、 B 两点(其中 O 为坐标原点) ,且
2 2

1 7

?AOB ? 60? ,则实数 k 的值为____.
【答案】 k ? ?

3 3 ? , 解 : 圆 心 O 到 直 线 y ? k x? 1 的 距 离 d ? 1 ? s i n 6 0 ? ,则 3 2

1 1? k
2

?

3 3 ,解得 k ? ? . 2 3

17.有 10 台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.现有两种工作方案:第一种方 案,同时投入并连续工作至收割完毕;第二种方案,每隔相同时间先后逐台投入,每一 台投入后都连续工作至收割完毕.若采用第一种方案需要 24 小时,而采用第二种方案 时,第一台投入工作的时间恰好 为最后一台投入工作时间的 5 倍,则采用第二种方案时 第一台收割机投入工作的时间为 小时. 【答案】40 解:设相同时间间隔为 t1 小时,第 10 台投入工作至收割完成为 t 2 小时,则第

1,2,3,4,5,6,7,8,9 台投入工作的时间依次为 9t1 ? t 2 ,8t1 ? t 2 ,?, t1 ? t 2 小时.因采用第一种方
案总 共 用 24 小时完 成,所 以,每台 收割机每小时 完成收割 任务的

1 .依题 意有 240

9t1 ? t 2 ? 5t 2 ,
时) .

1 [(9t1 ? t 2 ) ? (8t1 ? t 2 ) ? ? ? t 2 ] ? 1 ,解得 t 2 ? 8 .故共需 5t 2 ? 40 (小 240

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a, b) ,

??

? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) . ?? ? (1)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; ?? ?? ? (2) 若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ?C ? ,求 ?ABC 的面积 . 3 u v v 【解析】 (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, a b 即a? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b ????5 分 ? b? 2R 2R ????? ????????????6 分 ??ABC 为等腰三角形 u u v v (2)由题意可知 m // p ? 0, 即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,? a ? b ? ab ??8 分
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ? ab ? 4(舍去ab ? ?1) ??????????10 分 1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 ???????????????12 分 2 2 3
19. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2 n ?1 an ( n ? N ? ). an ? 2 n

? 2n ? (Ⅰ)证明:数列 ? ? 是等差数列; ? an ? (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

1 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . n ? 2n ?1 an ?1 an 2n ?1 2n 2n ?1 2n ? ? 1 ,即 ? ?1 【解析】 (Ⅰ)由已知可得 n ?1 ? ,即 an ?1 an an ?1 an 2 an ? 2n
(Ⅲ)设 bn ? ∴ 数列 ?

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列 ? an ?

????????4 分

2n 2 2n ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ,∴ an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an a1 n ?1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn ?

?????????8 分

1 1 1 1 ? ( ? ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

1? 1 1 1 1 ? ( ? Sn ? ?( 1? ) ( ? ?)? ? ? 2? 2 2 3 n n?
学+科+网]

n 1? ) ? ? 2 ( ? 1 .) 1 n ?

????????12 分

[来源:

D1

C1 B1

20.(本小题满分 13)

A1 E

D F A B

C

如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中 点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? EFB1 的体积. 【解析】证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(Ⅱ)

D1 A1 E B1

C1

? ? B1C ? BC1 ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?

B1C ? AB

D F A B

C

B1C ? BD1 ? B1C ? 平面ABC1 D1 ? ?? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ?
(Ⅲ)? CF ? 平面BDD1 B1

? CF ? 平面EFB1
? EF ?



C F? B F 2 ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90?

1 1 1 1 1 ? VC ? EFB1 ? CF ? S? EFB1 = ? ? EF ? B1F ? CF = ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 3 3 2 3 2
21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e . a 2 b2
3 ,求椭圆的方程; 2

(Ⅰ)若 e ?

(Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点,若 AF2 ? BF2 ? 0 ,且 的取值范围. 【解析】

???? ???? ? ?

2 3 ,求 k ?e? 2 2

22.(本小题满分 14 分)
2 x 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3)e .

(Ⅰ)如果 f ( x) 定义在区间 [ ?2, t ](t ? ?2) 上,那么 ①当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; ②设 m ? f ( ?2), n ? f (t ) .试证明: m ? n ;

x (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 2)e ,当 x ? 1 时,试判断方程 g ( x ) ? x 根的个数.



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