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从几何证法到向量解法


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 从几何证法到向量解法 作者:文/李哲 来源:《新课程· 中旬》2014 年第 05 期 问题:如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,点 M 在 BC 上,且 BM=AC,N 在 AC 上,且 AN=MC,AM 与 BN 相交于 P. 求证:∠BPM=45° .(2006 年杭州市“求是杯”竞赛题) 证法一

:如图 2,过 M 点作 MH 平行于 AN,且等于 AN; 则四边形 AMHN 是平行四边形,AM 平行且等于 HN, ∠MHN=∠MAN; 又∵BM=AC,MH=AN=MC, ∴Rt△ BMH≌Rt△ ACM, ∴∠MHB=∠AMC,BH=AM; 又∵∠MAN+∠AMC=90° , ∴∠MHN+∠MHB=90° , 又∵BH=AM=HN;∴△BHN 是等腰直角三角形. ∴∠HNB=45° ;又∵AM//NH,∴∠BPM=∠BNH=45° . 证法二:建立坐标用向量方法来解此题,更显得方便快捷: 如图 3,把 C 点放在坐标原点,则 A(0,b),B(a,0), ∵MB=A,C=b,CM=A,N=a-b, CN=A,C-A,N=b-(a-b)=2b-a, ∴M(a-b,0),N(0,2b-a) 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ■=(b-a,b),■=(-a,2b-a) ∴根据两个向量的夹角计算公式: cos∠MPB=■ =■ =■ ∴∠MPB=45° . 由此可见,初中阶段不宜挖得太难,注重对学生数学思维方法的培养才是重中之重,随着 认知水平的不断提高,复杂的问题也就变得容易多了. 编辑 鲁翠红

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