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2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含解析)


2015—2016 学年度第二学期期中考试

高二数学试题(理科)
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题 纸的相应位置上 1.复数 z ? ?1 ? i ( i 是虚数单位)的虚部为___▲___. 答案:1 解析:考查复数的概念 解析:反证法中假设的内容应是原命题的否定 2. 若 C28 ? C28
x 2 x ?1

,则 x 的值为___▲___.

答案:1 3.用反证法证明“已知 x ? y ,证明: x 3 ? y 3 ”假设的内容应是___▲___. 答案: x 3 ? y 3

解析: (选修 2-3 课本第 24 页习题 1.3 第 1 题)由 x ? 2 x ? 8 或 x ? 2 x ? 8 ? 28 得 x ? 8 或 x ? 12 4.两张卡片的正、反两面分别写有 1,2 ; 3, 4 ,将这两张卡片排成一排,可以构成___▲___个不同的两位 数. 答案:8
1 1 解析: C 4 C2 ? 8

5.用数学归纳法证明 1 ? 答案: 1 ?

1 1 1 ? ??? n ? n(n ? N ? , 且n ? 2) ,第一步要证的不等式是___▲___. 2 3 2 ?1

1 1 ? ?2 2 3

解析:选修 2-2 课本第 89 页例 2 改编
1

6.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点 a2 在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中 4 一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部公的体积恒为___▲___. a3 答案: 8 a a a2 解析:如图,易证△OAB≌△OCD,则两个正方形重叠部分的面积为 S= × = , 2 2 4 a a a a3 类比到正方体,两个重叠部分的体积 V= × × = . 2 2 2 8 7.在(x2+ 答案: 5
r 解析: Tr ?1 ? C5 x 5 10 ? r 2 ,r

1 5 ) 展开式中,常数项为___▲___. x

? 0,1,2,3,4,5 ,当 r ? 4 时, T5 ? 5

8.观察下列各式: a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 5, a4 ? b4 ? 7, ?,则 a11 ? b11 ? __▲__. 答案:2n-1 9.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是___▲___.(填写序号) 答案:③ 1 2 解析:若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出;若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1,反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾,因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 10.将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班,要求每个班至少分到一名老师,且甲、乙两名老 师不能分到同一个班,则不同分法的种数为___▲___. (用数字作答) 答案:30 解析:法一:分成两种情况,①甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共
1 3 3 有 2C2 A3=24 种分法;②丙和丁两人被分到同一个班共有 A3 =6 种分法.于是所求的分法总数为 24+6=

30.
1 2 1 2 法二:将 4 名老师分到 3 个不同的班,有 C2 4C3A2,甲、乙两名老师分到同一个班有 C3A2. 1 2 1 2 ∴满足要求的分法有 C2 4C3A2-C3A2=30.

11.已知 2×1010+a (0≤a<11)能被 11 整除,则实数 a 的值为________.
2

答案:9 解析: (选修 2-3 课本第 35 页例 2 改编)根据题意,由于 2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于 2×1010+ a(0≤a<11)能被 11 整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)10 被 11 除的余数为 2,从而可知 2+a 能被 11 整除,可知 a=9. 12.将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有 ▲ 种(用 数字作答). 答案:480
1 2 3 解析:先选出 3 个位置安排 A,B,C,再将 D,E,F 全排列:C3 6C2A2A3=480.

13.已知 f(x)=(1+x)m+(1+2x)n (m,n∈N*)的展开式中 x 的系数为 11,当 x2 的系数取得最小值时,f(x) 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为___▲___. 答案:30
1 解析 由已知得 C1 m+2Cn=11,∴m+2n=11, m(m-1) m2-m 21 2 351 11-m ? ? 2 2 x2 的系数为 C2 + 2 C = + 2 n ( n - 1) = +(11-m)? -1 =?m- 4 ? m n ? + 16 . 2 2 ? 2 ?

∵m∈N*,∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3.∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33, 令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得 2(a1+a3+a5)=60,故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30. 14.用红、黄、蓝等 6 种颜色给如下图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,且红色至 少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为 答案: 630 解析:整体采用分类原理,局部采用分步原理 第 一 类 : 涂 两 个 红 色 圆 ▲ (用数字作答).

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 ? C5 ? C5 ? C4 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? (C4 ? C4 ? C3 ) ? 605 1 1 第二类:涂三个红色圆 C5 ? C5 ? 25

故共有 630 种涂色方案

3

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步奏 15. (本题满分 14 分) 已知复数 z1 ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数. (1)求实数 m 的值; (2)若 (3 ? z1 ) z ? 4 ? 2i ,求复数 z . (选修 2-2 课本第 112 页练习第 4 题改编)
?m(m-1)=0, 解: (1)由题意得? ? m-1≠0.

???????????????????????6 分 ????????????????????????????8 分

解得 m=0. (2)当 m=0 时, z1 ? ?i

由 (3 ? z1 ) z ? 4 ? 2i ,即 (3 ? i) z ? 4 ? 2i 得z?

4 ? 2i 3?i

???????????????????????10 分 ???????????????????????????????14 分

?1? i
16. (本题满分 14 分)

? 1 ? 若? ? x? 4 ? ? 展开式中前三项系数成等差数列,求: 2? x ? ?
(1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中的所有有理项.
2 1 1 1 解:(1)由已知可得 C0 n+Cn· 2=2Cn· ,????2 分 2 2

n

解得 n=8 或 n=1(舍去).
k Tk ?1 ? C8 ( x ) 8? k (

???????????????????????????4 分
3 4? k 4

1 24 x

k ?k ) k ? C8 2 x



?????????????????????6 分

3 令 4- k=1,得 k=4. 4 35 -4 所以 x 的一次项为 T5=C4 82 x= x. 8 ????????????????????????7 分

3 (2)令 4- k∈Z,且 0≤k≤8,则 k=0,4,8…………..8 分 4 35 1 所以含 x 的有理项分别为 T1=x4,T5= x,T9= . 8 256x2 17. (本题满分 14 分)
4

(每一项 2 分) ?????????14 分

若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c,求证: a+ d< b+ c. 证明:要证 d+ a< b+ c 只要证( d+ a)2<( b+ c)2 ????????????????????????????2 分

只要证 a+d+2 ad<b+c+2 bc??????4 分 因为 a+d=b+c 只要证 ad< bc 只要证 ad<bc ?????????????????????????????????6 分

只要证 a(b ? c ? a) ? bc ???????????????????????????????8 分 只要证 ab ? a 2 ? ac ? bc ? 0 只要证 a(b ? a) ? c(b ? a) ? 0 ??????10 分 只要证 (a ? c)(b ? a) ? 0 ??????????????????????????????12 分

因为 a ? c, a ? b ,所以上式显然成立 故原不等式成立 18. (本题满分 16 分) 有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒子内. (1)若恰有 1 个盒子不放球,求不同放法的种数; (2)若恰有 2 个盒子不放球,求不同放法的种数.
3 解:(1) 先选出放球的三个盒子,共 C 4 种选法;????2 分 2 再把 4 个球分成 2,1,1 的三组,共 C 4 种分法;????4 分 3 最后将三个盒子和三组球全排列,共 A3 排法,????6 分 3 2 3 由分步计数原理,共有 C4 C4 A3 ? 144 种不同放法. ?????8 分 2 (2)先选出放球的两个盒子,共 C 4 种选法;????10 分 1 2 3 再将 4 个球放入选中的两个盒子,共有 C4 种放法,????14 分 ? C4 ? C4 2 1 2 3 由分步与分类计数原理,共有 C4 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 84 种不同放法.??????????????16 分

???????????????????????????????14 分

19. (本题满分 16 分) 对于定义域为 D 的函数 f ( x) ,如果满足存在区间 ?a, b? ? D 使得 f ( x) 在区间 ?a, b? 上的值域为

?ka, kb?(k ? N ? ) ,那么函数 f ( x) 叫做 ?a, b? 上的“ k 级矩形”函数.
(1)设函数 f ( x) ? x 3 ( x ? R) 是 ?a, b? 上的“ 1 级矩形”函数,求常数 a , b 的值;

1 ( x ? ?2) 不是“ k 级矩形”函数. x?2 解: (1)因为 f ( x) 是“ 1 级矩形”函数,所以 f ( x) 在区间 ?a, b? 上的值域也为 ?a, b?
(2)证明:函数 g ( x) ?
5

???????2 分

? f (a) ? a 又因为 f ( x) 在 R 上单调递增,所以 ? ,即 a , b 为方程 f ( x) ? x 的两个不等实数根 ? f (b) ? b
由 f ( x) ? x 3 ? x 知 x ? ?1, x ? 0, x ? 1 ,又因为 a ? b

????4 分

????????????????????6 分

?a ? ?1 ?a ? ?1 ?a ? 0 所以 ? ,? ,? ?b ? 0 ?b ? 1 ?b ? 1

??????????????????????????????8 分

(2)证明:假设函数 g ( x) 是“ k 级矩形”函数 即存在区间 ?a, b? ? (?2,?? ) ,使得 g ( x) 的值域为 ?ka, kb?(k ? N ? ) ???????????????10 分

? 1 ? kb①① ? ? f (a) ? kb ?a ? 2 易知 g ( x) 在 (?2,?? ) 单调递减,所以 ? ,即 ? ??????????????12 分 ? f (b) ? ka ? 1 ? ka ?b ? 2 ?
因为 g ( x) ?

1 ? 0 ,所以 ab ? 0 x?2 b?2 b ? ,即 ab ? 2a ? ab ? 2b ,得 a ? b ,????14 分 a?2 a

两式相除得:

与 a ? b 相矛盾所以假设不成立,原命题成立 ???????????????16 分 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f 0 ( x) ? x sin x ,其中 x ? R ,记 f n ( x ) 为 f n ?1 ( x) 的导函数, n ? N ? ⑴求 f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) ; ⑵猜想 f n ( x)(n ? N ? ) 的解析式并证明. 解:⑴ f1 ( x) ? f 0 ( x) ? sin x ? x cos x
/

???????????????????????????2 分

/ f 2 ( x) ? f1 ( x) ? c o s x?cos x ? xs i n x ? 2c o s x ? xs i n x ?????????????????4 分

f 3 ( x) ? f 21 ( x) ? ?2 sin x ? sin x ? x cos x ? ?3 sin x ? x cos x
⑵归纳: f1 ( x) ? sin x ? x cos x ? 1 ? sin(x ?

/

??????????????6 分

1 ?1 1 ?1 ? ) ? x cos( x ? ?) 2 2 2 ?1 2 ?1 f 2 ( x) ? 2 cos x ? x sin x ? 2 ? sin(x ? ? ) ? x cos( x ? ?) 2 2 3 ?1 3 ?1 f 3 ( x) ? ?3 sin x ? x cos x ? 3 ? sin(x ? ? ) ? x cos( x ? ?) 2 2 n ?1 n ?1 猜想: f n ( x) ? n sin(x ? ? ) ? x cos(x ? ? ) , n ? N ? ??????????????8 分 2 2
证明:①当 n ? 1 时, f1 ( x) ? sin x ? x cos x ,结论成立; ???????????????10 分

②假设 n ? k (k ? N ? ) 时,结论成立,即 f k ( x) ? k sin(x ?
6

k ?1 k ?1 ? ) ? x cos(x ? ?) 2 2

?12 分

当n ? k ?1时

f k ?1 ( x) ? f k ( x) ? k cos( x ?

/

k ?1 k ?1 k ?1 ? ) ? cos( x ? ? ) ? x sin(x ? ?) 2 2 2 k ?1 k ?1 ? (k ? 1) cos( x ? ? ) ? x sin(x ? ?) 2 2 k ?1 ? k ?1 ? ???????14 分 ? (k ? 1) sin(x ? ? ? ) + x cos( x ? ?? ) 2 2 2 2
(k ? 1) ? 1 ? (k ? 1) ? 1 ? ? ? ? (k ? 1) sin? x ? ? ? + x cos ? x ? ?? 2 2 ? ? ? ?

所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立 由①②可知,当 n ? N ? 时, f n ( x) ? n sin(x ?

n ?1 n ?1 ? ) ? x cos(x ? ? ) ??????16 分 2 2

7


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