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2013各地解析分类汇编导数2


各地解析分类汇编:导数 2
1【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln x ? a (a ? R) x .

(1)求 f (x) 的极值; (2)若函数 f (x) 的图象与函数 g ( x) ? 1 的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点,求实数

a 的 取值范围. 【答案】 (1) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 得 x ? e 当 x ? (0, e
1?a
1? a

1 ? (ln x ? a ) ……2 分 x2 ,



) 时, f ' ( x) ? 0, f (x) 是增函数;

当 x ? (e1?a ,??) 时, f ' ( x) ? 0, f (x) 是减函数, ∴ f (x) 在 x ? e 无极小值. (2)①当 e
1? a 1? a

处取得极大值, f ( x)极大值 ? f (e

1?a

) ? e a?1 ,

………………5 分

? e 2 时,即 a ? ?1 时,

由(1)知 f (x) 在 (0, e1?a ) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数,

? f ( x) max ? f (e1?a ) ? e a?1 ,
?a 又当 x ? e 时, f ( x) ? 0 ,

当 x ? (0, e ] 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (e , e ] 时, f ( x) ? 0 ;
2

?a

?a

? f (x) 与图象 g ( x) ? 1 的图象在 (0, e 2 ] 上有公共点,
? e a ?1 ? 1 ,解得 a ? 1 ,又 a ? ?1 ,所以 a ? 1 . ………9 分
②当 e
1? a

? e 2 时,即 a ? ?1 时, f (x) 在 (0, e 2 ] 上是增函数,

2 2 ∴ f (x) 在 (0, e ] 上的最大值为 f (e ) ?

2?a , e2

所以原问题等价于 又 a ? ?1 ,∴无解.

2?a ? 1 ,解得 a ? e 2 ? 2 . 2 e

综上,实数 a 的取值范围是 [1,??) .

……13 分

1

2.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 (本小题满分 14 分)已知函数 f (x) 的导数 f ' ( x) ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数, 1 ? a ? 2 . (Ⅰ)若 f (x) 在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求 a、b 的值;

) (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P(2,1 且与曲线 f (x) 相切的直线 l 的方程;
(Ⅲ)设函数 F ( x) ? [ f ' ( x) ? 6x ? 1] ? e2 x ,试判断函数 F (x) 的极值点个数。
3 【答案】解: (Ⅰ)由已知得, f ( x ) ? x ?

3 2 ax ? b ,……………………1 分 2

由 f ' ( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? a .

Q x ?[?1,1],1 ? a ? 2 ,当 x ?[?1,0) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 递增;
当 x ? (0,1] 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 递减.
[来源:学科网]

? f (x) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0) ? b,? b ? 1 .………………3 分

3 3 3 3 a ? 1 ? 2 ? a, f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a,? f (?1) ? f (1) . 2 2 2 2 3 4 4 由题意得 f (?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? , 故a ? , b ? 1 为所求。 ………………5 2 3 3
又 f (1) ? 1 ? 分 (Ⅱ)解:由(1)得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 1, f ' ( x) ? 3x2 ? 4x ,点 P(2,1)在曲线 f (x) 上。 (1)当切点为 P(2,1)时,切线 l 的斜率 k ? f ' ( x) x?2 ? 4 ,

? l 的方程为 y ?1 ? 4( x ? 2),即4 x ? y ? 7 ? 0 .………………6 分
(2)当 切 点 P 不 是 切 点 时 , 设 切 点 为 Q( x0 , y0 )(x0 ? 2), 切 线 l 的 余 率
2 k ? f ' ( x) x? x0 ? 3x0 ? 4 x0 ,

2 ? l 的 方 程 为 y ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(x ? x0 ) 。 又 点 P ( 2 , 1 ) 在 l 上 , 2 ?1? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 3 2 2 2 2 ?1? ( x0 ? 2x0 ?1) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ),? x0 (2 ? x0 ) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 ? x0 ? 3x0 ? 4x0 ,即2x0 ( x0 ? 2) ? 0,? x0 ? 0 .? 切线 l 的方程为 y ? 1 .

2

故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 .…………………… ………………8 分 (Ⅲ)解: F ( x) ? (3x2 ? 3ax ? 6x ?1) ? e2 x ? [3x2 ? 3(a ? 2) x ? 1] ? e2 x .

? F ' ( x) ? [6x ? 3(a ? 2)]? e2 x ? 2[3x2 ? 3(a ? 2) x ?1] ? e2 x . ? [6x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a] ? e2 x . ……………………10 分
二次函数 y ? 6x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为

? ? 36(a ? 3)2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a2 ?12a ?11) ? 12[3(a ? 2)2 ?1],令? ? 0 得:
1 3 3 3 3 .令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ? ,或 a ? 2 ? 。 (a ? 2) 2 ? ,2 ? ? a ? 2? 3 3 3 3 3

? e2 x ? 0,1 ? a ? 2 ,
?当2 ?
12 分 当1 ? a ? 2 ?

[来源:学科网 ZXXK]

3 函数 F (x) 为单调递增, 极值点个数 0; ……………… ? a ? 2 时,F ' ( x) ? 0 , 3

3 时,此时方程 F ' ( x) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义, 3

可知函数 F (x) 有两个极值点. ……………………………………14 分 3.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】本题满分 12 分)已知 x ? 1 是函
x 数 f ? x ? ? ? ax ? 2? e 的一个极值点. ( a ? R )

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e 【答案】(Ⅰ)解: 由已知得 当 所以 时, . , ,解得 , . ,在 处取得极小值. ----------------4 分 . --------------------2 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,

3

当 当

时, 时, 上, , 上, ,有 . ,

, , 的最小值为

在区间 在区间 .---- --

单调递减; 单调递增. 8分

所以在区间 又 所以在区间 对于 所以

的最大值为

.

----------10 分 .

-------------------12 分

4.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】(本题满分 14 分)已知函数

f ? x ? ? ln( x ? 1) ?

2a ?a ? R? x

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)如果当 x ? 1, 且 x ? 2 时,

ln ? x ? 1? a ? 恒成立,求实数 a 的范围. x?2 x

【答案】 (1) 定义域为 分 设 ① 当 时,对称轴 , ,所以

-----------2





是增函数 ② 当 时,

-----------------------------4 分 , 所以 在 上

是增函数 ----------------------------------------6 分 ③ 当 令 所以 时,令 解得 的单调递增区间 得 ;令 和 ; 解得 的单调递减区间

------------------------------------8 分

4

(2) 设 ① 当

可化为 ,由(1)知: 时, 在 上是增函数

(※)



时,

;所以

若 所以,当 ② 当 时,

时,

。所以

时,※式成立--------------------------------------12 分 在 是减函数,所以 ※式不成立

综上,实数 的取值范围是

.----------------------------14 分

解法二 :

可化为

设 令

,

所以 在

由洛必达法则 所以 5.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本题满分 12 分)设函数
5

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 为奇函数,且在 x ? ?1 时取得极大值.
(I)求 b,c; (II)求函数 f ( x ) 的单调区间; (III)解不等式 f ? x ? ? 2 . 【答案】

6. 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】本题满分 12 分) ( 设函数 f ? x ? ? e .
x

(I)求证: f ? x ? ? ex ; (II)记曲线 y ? f ? x ? 在点P t , f ?t ? 其中t ? 0 处的切线为 l ,若 l 与 x 轴、 y 轴所围成 的三角形面积为 S,求 S 的最大值.

?

??

?

【 答 案 】

6

7.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln

1 ? ax 2 ? x ? a ? 0 ? . x

(I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)若 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 ? 2ln 2.









7

8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 2 4 ,当 x ? 时,函数 f ( x) 有极大值 . 3 27 ?a ln x, x ? 1

(Ⅰ)求实数 b 、 c 的值; (Ⅱ)若存 在 x0 ? [?1, 2] ,使得 f ( x0 ) ? 3a ? 7 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】

8

2 ①当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ?3 x ? 2 x ? ?3 x( x ? ) ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0或x ?

2 3

2 3

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x

[来源:Zxxk.Com]

(?1,0)
单调递减

0
0
极小值

2 (0, ) 3
+ 单调递增

2 3

2 ( ,1) 3
单调递减

f ?(x) f (x)

0
极大值

根据表格,又 f (?1) ? 2 , f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0 27

9.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)( 本小题满分 14 分) 】 已知:函数 f ( x) ? x ?

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)解: f ?( x) ? 解得 a ?

x(1 ? a ? ax) , x ? (?1, ??) . x ?1

依题意,令 f ?(2) ? 0 ,

1 . 3 1 经检验, a ? 时,符合题意. 3
(Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时, f ?( x) ?

……4 分

x . x ?1
…………………5 分

故 f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) .

9

② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 与 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

1 ?1 . a

(?1, x1 )
?

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ? ?)

0
f ( x1 )

?

0
f ( x2 )

?







所以, f ( x) 的单调增区间是 (0,

1 1 ? 1) ;单调减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) . a a

当 a ? 1 时, f (x) 的单调减区间是 (?1,??) . 当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 , f ( x) 与 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(?1, x2 )
?

x2

( x2 , x1 )

x1

( x1 , ? ?)

0
f ( x2 )

?

0
f ( x1 )

?



[来源:学科网 ZXXK]





所以, f ( x) 的单调增区间是 (

1 1 ? 1, 0) ;单调减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . a a

③ 当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . 综上,当 a ? 0 时, f (x) 的增区间是 (0, ??) ,减区间是 (?1,0) ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的增区间是 (0,

1 1 ? 1) ,减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) ; a a

当 a ? 1 时, f (x) 的减区间是 (?1,??) ; 当 a ? 1 时, f ( x) 的增区间是 (

1 1 ? 1, 0) ;减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . a a
……11 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ??) 上单调递增,由 f (0) ? 0 ,知不合题意.

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) , 由 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,知不合题意. 当 a ? 1 时, f (x) 在 (0, ??) 单调递减,
10

1 a

1 a

可得 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 f (0) ? 0 ,符合题意. 所以, f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 时, a 的取值范围是 [1, ??) . …………14 分 10.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)(本小题满分 13 分) 】

已知 函数 (1)若 (2)若函数 的取值范围. (3)若 ,试确定函数



).

的单调区间; 处切线的斜率都小于 ,求实数

在其图象上任意一点

,求 的取值范围.

【答案】

(Ⅰ)解:当 由 由 所以函数 ,解得 ,解得

时, , 或 ,

,所以



的单调增区间为 ,

,减区间为



.

(Ⅱ)解:因为 由题意得: 即 设 所以当 因为对任意 时, , 对任意 ,所以

对任意 恒成立,

恒成立,



有最大值为 , 恒成立,

所以

,解得





所以,实数 的取值范围为 (III) .
11



.

11.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 (本题满分 12 分). 某地有 三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB =10km , 为了处理三家工厂的污水, 现要在矩形 ABCD 的区域 上 (含边界) 且与 A,B 等距离的一点 O 处建造一个 , 污水处理厂, 并铺设排污管道 AO,BO,OP , 设排污管 道的总长为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ )请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总 长度最短. 【答案】 (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

D O

P

C

A

B

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? ┅┅┅3 分 cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? ┅┅┅6 分 (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? ? ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? cos ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

1 ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = ,┅┅┅9 分 6 2 4

当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函 6? ?6 4?

数,所以当 ? =

? 时, ymin ? 10 ?10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 6

10 3 km 处。┅┅┅12 分 3
12

12.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 (本题满分 14 分)定义:若

? x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为函数 y ? f (x) 的一个不动点
(1)下列函数不存在不动点的是( . A. C. )---(单选) B. f ( x) ? x 2 ? (b ? 2) x ? 1 (b>1) D. f ( x) ? x

f ( x) ? 1 ? loga x ( a ? 1 )
f ( x) ? ln x

(2)设 f ( x) ? 2 ln x ? ax2 ( a ? R ),求 f (x) 的极值 (3)设 g ( x) ? 2 ln x ? ax ? x ?
2

e 1 ? ( e为自然对数的底数).当 a >0 时,讨论函数 g (x) a 2

是否存在不动点,若存在求出 a 的范围,若不存在说明理由。 【答案】 (1)C┅┅4 分 (2) f ?( x) ?

2 2 ? 2ax2 ? 2ax ? ( x ? 0) x x
2 ? 0 , f (x) 在 ?0,??? 上位增函数,无极值; x

①当 a=0 时, f ?( x ) ?

②当 a<0 时, f ?(x) >0 恒成立, f (x) 在 ?0,??? 上位增函数,无极值; ③当 a>0 时, f ?(x) =0,得 x ? X

1 ,列表如下: a 1 a
0 极大值

? 1? ? 0, ? ? a? ? ?

? 1 ? ? ,?? ? ? a ? ? ?
_ 减

f ?(x) f (x)
当x?

?


1 1 ) ? ? ln a ? 1 时, f (x) 有极大值= f ( a a 1 ) ? ? ln a ? 1 .┅┅10 分 a
e 1 ? ? 0 有解。 a 2

综上,当 a ? 0 时无极值 ,当 a>0 时 f (x) 有极大值= f (

2 (3)假设存在不动点,则方程 g ( x) ? x 有解,即 2 ln x ? ax ?

设 h(x) ?

2 ln x ? ax 2 ?

e 1 ? , ( a>0 ) 有 ( 2 ) 可 知 h(x) 极 大 值 a 2

13

? ? ln a ? 1 ?

e 1 e 1 ? ? ? ln a ? ? , 下 面 判 断 h(x) 极 大 值 是 否 大 于 0 , 设 a 2 a 2 e 1 1 e e?a p ( x) ? ? ln a ? ? , (a>0), p ?( a ) ? ? ? 2 ? ,列表如下: a 2 a a a2

A

?0, e)?
?


e 0 极大值

(e,??)
— 减

p ?(a )
P(a)

当 a=e 时, p (a ) 极大值=p(e)= ?

5 e 1 <0,所以 p ( a ) ? ? ln a ? ? ? 0 恒成立, h(x) 极大 即 2 a 2

值小于零,所以 g (x) 无不动点。┅┅14 分 13.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】本题满分 13 分) 设函数错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求函数错误!未找到引用源。的单调递增区间; (Ⅱ)若关于错误!未找到引用源。的方程错误!未找到引用源。在区间错误!未找到 引用源。内恰有两个相异的实根,求实数错误!未找到引用源。的取值范围. 【答案】方法 2:∵错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 .…………………………6 分 即错误!未找到引用源。 , 令错误!未找到引用源。 ∵错误!未找到引用源。 , ,且错误!未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。 . ∴错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。内单调递增,在区间错误!未找到 引用源。内单调递减.……………………9 分 ∵错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 又错误!未找到引用源。 , 故错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。内恰有两个相异实根错误!未找到 引用源。 . ……………………………………11 分 即错误!未找到引用源。 . 综上所述,错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用 源。 ……………………………13 分 . 所以错误!未找到引用源。…………………………………………………………12 分
14

14.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】本小题满分 13 分) 某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为 3 元, 并且每件产品需向总公司交错误! 未找到引用源。元(错误!未找到引用源。)的管理费,预计当每件产品的售价为错误! 未找到引用源。元(错误!未找到引用源。)时,一年的销售量为错误!未找到引用源。 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价错误!未找到引用源。(元)的 函数关系式; (2) 当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润 L 最大?并求出 L 的最大值错误! 未找到引用源。
15

【答案】1)分公司一年的利润 L(万元)与售价错误!未找到引用源。的函数关系式为: 错误!未找到引用源。……………………………………4 分(少定义域去 1 分) (2)错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 (不合题意, 舍去)…………………………6 分 ∵错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。的值由正变负.......8 分 所以(1)当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。 ………………………………10 分 (2)当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 …………………………………………12 分 在错误!未找到引用源。两侧

15.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 (本小题满分 14 分)已知 函数 f ( x) ? ( x ? k ) e .
2 x k

(1)求 f (x) 的单调区间;

(2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有
/

f ( x) ?

1 e ,求 k 的取值范围。

x 1 2 2 k f ( x ) ? ( x ? k )e / k 【答案】解:(1) ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ? k …………………………….3

分 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ?k ) 和 ( k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 ( ??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ?k ) 上递增…………………8 分

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 1 f ( x) ? e; e ;所以不可能对 ?x ? (0 , ? ?) 都有
16

当 k ? 0 时有(1)知 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最大值为

f (?k ) ?

4k 2 e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?)

f ( x) ?
都有

1 1 4k 2 1 1 f ( x) ? ? ?? ?k ?0 e即 e e 时, k 的取 e 2 ,故对 ?x ? (0 , ? ?) 都有

1 [ ? , 0) 值范围为 2 。…………………………………………………………………….14 分

17


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