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2015高考数学二轮复习热点题型专题三十六 一元二次不等式及其解法


专题三十六 一元二次不等式及其解法 【高频考点解读】 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 【热点题型】 题型一 一元二次不等式的解集 )

例 1、不等式 x2-3x+2<0 的解集为( A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析:∵(x-1)(x-2)<0∴1<x<2, 即不等式的解集为(1,2). 答案:D 【提分秘籍】

B.(-2.-1) D.(1,2)

1.含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论 (1)若二次项系数为常数,首先需将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行 分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式 还是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 2.由二次函数图象与一元二次不等式的关系,可以得到两个常用的结论
?a=b=0 ?a>0 ? (1)不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立?? 或? . ?Δ<0 ?c>0 ? ?a=b=0 ?a<0 ? (2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x 恒成立?? 或? . ?Δ<0 ?c<0 ?

【举一反三】 1 1? 2 已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是( A.(2,3) 1 1? C.? ?3,2? B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 -∞, ?∪? ,+∞? D.? 3? ?2 ? ? )

【热点题型】 题型二 一元二次不等式的解法 )

x-1 例 2、 (1)不等式 ≥0 的解集为( 2x+1 1 ? A.? ?-2,1? 1 - ,1? B.? ? 2 ? 1? C.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) 1? D.? ?-∞,-2?∪[1,+∞)

1 (2)(2013 年高考安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x> },则 f(10x)>0 2 的解集为( )

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}

【提分秘籍】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+ c<0(a>0); (2)计算相应的判别式;

(3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 【热点题型】 题型三 含参数的一元二次不等式的解法

例 3、 解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R).

【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为二次项 系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确 定解集形式. 提示:二次项系数中含有参数时,参数的符号影响着不等号的方向.

【举一反三】 解关于 x 的不等式 x2-2ax+2≤0.

【热点题型】 题型四 一元二次不等式的应用

例 4、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆,年销售 量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车 投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加 的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)× 年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

【提分秘籍】 解不等式应用题,一般可按如下四步进行 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题. 【举一反三】 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离 叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关 系,s= nv v2 + (n 为常数,且 n∈N*),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中 100 400

?6<s1<8, ? ? ?14<s2<17. ?

(1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?

【高考风向标】 1. (2014· 全国卷)设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( A.(0,4] B.[0,4) )

C.[-1,0) D.(-1,0] 【答案】B 【解析】因为 M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以 M∩N={x|- 1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}. πx 2 2. (2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x2 0+[f(x0)] m <m2,则 m 的取值范围是( A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

3. (2013· 安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 1 x<-1 或 x> ,则 f(10x)>0 的解集为( 2 A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} )

4. (2013· 广东卷)不等式 x2+x-2<0 的解集为________. 【答案】{x|-2<x<1} 【解析】x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1.故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 5. (2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不 等式 f(x+2)<5 的解集是________.

【答案】(-7,3) 【解析】当 x+2≥0 时,f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)=x2-4,由 f(x+2)<5,得 x2-4<5, 即 x2<9,解得-3<x<3,又 x+2≥0,故-2≤x<3 为所求.又因为 f(x)为偶函数,故 f(x+2) 的图像关于直线 x=-2 对称,于是-7<x<-2 也满足不等式.
2 ? ?-x +2x,x≤0, 6.(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取 ? x+ ,x>0. ?

值范围是(

) B.(-∞,1] D.[-2,0]

A.(-∞,0] C.[-2,1]

【随堂巩固】 x-2 1.不等式 2 <0 的解集为( x -1 A.{x|1<x<2} C.{x|-1<x<2 且 x≠1} ) B.{x|x<2 且 x≠1} D.{x|x<-1 或 1<x<2}

2.设函数 f(x)=?

?x2-4x+6,x≥0 ? ? ?x+6,x<0

,则不等式 f(x)>f(1)的解集是(

)

A.(-3,1)∪(3,+∞)

B.(-3,1)∪(2,+∞)

C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

3.不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个必要不充分条件是(

)

A.x≥0 B.x<0 或 x>2 1 C.x<- 2 1 D.x≤- 或 x≥3 2

1 解析:原不等式等价于(2x+1)(x-3)≥0,解得 x≤- 或 x≥3,根据题意,该解集为选项中 2 集合的真子集,因此选 B. 答案:B 4.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是( 3 3 A.a<- 或 a>1 B.- <a<1 5 5 3 C.- <a≤1 或 a=-1 5 3 D.- <a≤1 5 )

5.已知命题 p:存在 x∈R,使得 mx2+1≤0;q:对任意 x∈R,均有 x2+mx+1>0,若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A.m≤-2 C.m≥2 或 m≤-2 B.m≥2 D.-2≤m≤2 )

6. 在 R 上定义运算?: x?y=x(1-y). 若不等式(x-a)?(x-b)>0 的解集是[2,3], 则 a+b=( A.1 C .4 B. 2 D.8

)

7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间 表示为________.

8.已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,则不等式 f(x-1)<|x|的解集为________.

9.已知不等式 xy≤ax2+2y2,若对任意 x∈[1,2],且 y∈[2,3],该不等式恒成立,则实数 a 的取 值范围是________.

1?n 1 10.若关于 x 的不等式 x2+ x-? ≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞,λ]恒成立,求实常数 λ 的取 2 ?2? 值范围. 1 1?n 1 解析:由题意得 x2+ x≥? = , 2 ?2?max 2 1 ∴x≥ 或 x≤-1, 2 又 x∈(-∞,λ],∴λ∈(-∞,-1]. 11.一个服装厂生产风衣,日销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为 p=160-2x,生 产 x 件的成本 R=500+30x 元. (1)该厂日产量多大时,日利润不少于 1 300 元? (2)当日产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?

所以当日产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1 612 元. 12.已知函数 f(x)=(x+2)|x-2|. (1)若不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解不等式 f(x)>3x.


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