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13.奇数与偶数


第十三讲 奇数与偶数 思考 1:少年宫阅览室里,有一个七层书架,共存放图书 777 本,管理员把这些 图书分类存放,说来也巧,自下而上每一层都比上一层多 7 本。请你算一算,每 每层各放书多少本?90、97、104、111、118、125、132 思考 2:有九个连续偶数,最大的数是最小的数的 3 倍。求这九个连续偶数。 思考 3:有七个连续奇数,第二个数与第六个数的和是 38,

求各数。 一张画面向上的扑克牌,将它翻动一次,扑克牌就会变成画面向下。再翻动 一次,它的画面又会向上。不停地翻动,就会发现,当翻动的次数是 2,4,6, 8…时,扑克牌的画面向上;当翻动的次数是 1,3,5,7,9……时,扑克牌的 画面向下。这样,就把整数分成了两类:一类是 2,4,6,8,10…叫作偶数; 另一类是 1,3,5,7,9…叫作奇数。 特别地,0 也是偶数。 偶数中只有 2 是质数,其余都是合数。也就是说,质数中只有 2 一个偶数, 其余都是奇数。 自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数,必然是一个奇数,一个 偶数。 奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。一个数在与奇数进行加减运算时, 必会改变其奇偶性。 即一个奇数加上 (或减去) 一个奇数, 其得数将是一个偶数; 一个偶数加上(或减去)一个奇数,其得数将是一个奇数。一个数在与偶数进行 加减运算时,必会保持其奇偶性。即一个奇数加上(或减去)一个偶数,其得数 将是一个奇数;一个偶数加上(或减去)一个偶数,其得数将是一个偶数。而在 进行乘法运算时则不同,任何一个数乘以偶数,都得偶数;而只有奇数乘以奇数 时,才得奇数。 我们将以上性质总结如下: (1)奇数±奇数=偶数 奇数±偶数=奇数 偶数±偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数 进一步,我们还可以得到: (3)奇数个奇数相加,和为奇数; 偶数个奇数相加,和为偶数; 任意个偶数相加,和为偶数。 (4)如果两个整数的和为奇数,那么这两个数一定是一奇一偶; 如果两个整数的积为奇数,那么这两个数一定都是奇数。 例 1 有 5 张扑克牌,画面向上。小明每次翻转其中的 4 张,那么,他能在翻动 若干次后,使 5 张牌的画面都向下吗? 解:只有将一张牌翻动奇数次,才能使它的画面由向上变为向下。要使 5 张牌的 画面都向下,那么每张牌都要翻动奇数次。5 个奇数的和为奇数。所以翻动的总

张数为奇数时才能使 5 张牌的牌面都向下。 而小明每次翻动 4 张, 不管翻多少次, 翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次,都不能使 5 张牌画面都向下。 例 2 有 6 张扑克牌,画面都向上。小明每次翻转其中的 5 张,那么,要使 6 张 牌的画面都向下,他至少需要翻动多少次? 解: 同上题一样, 只有将一张牌翻动奇数次, 才能使它由画面向上变为画面向下。 要使 6 张牌的画面都向下,那么每张牌都要翻动奇数次。6 个奇数的和为偶数。 所以翻动的总张数为偶数时才能使 6 张牌的牌面都向下。 小明每次翻动 5 张,只有翻动偶数次时,翻动的总张数才为偶数。 翻动两次时,一张牌最多被翻两次。而要使每张牌画面向下,就要使每张牌 翻动的次数是奇数。小于 2 的奇数只有 1。从而要使每张牌画面向下只能翻动 6 张。而小明翻了 5×2=10 张。所以翻两次不能使 6 张牌画面向下。 翻动 4 次时,每张牌最多翻 4 次。而要使每张牌画面向下,就要使每张牌翻 动的次数是奇数。小于 4 的奇数有 1 和 3。即使每张牌都翻动 3 次,也只翻动了 6×3=18 张。 而小明翻了 5×4=20 张。 所以翻 4 次也不能使 6 张牌画面都向下。 翻动 6 次时,可以使 6 张牌画面都向下。下面给出一种方法: 第一次翻动第 1、2、3、4、5 张; 第二次翻动第 1、2、3、4、6 张; 第三次翻动第 1、2、3、5、6 张; 第四次翻动第 1、2、4、5、6 张; 第五次翻动第 1、3、4、5、6 张; 第六次翻动第 2、3、4、5、6 张。 这样,每张牌都翻动了 5 次,所以每张牌的画面都向下。 例 3 博物馆有并列的 5 间展室,保安人员在里面巡逻。他每经过一间,就要拉 一下这间展室的电灯开关。 他从第一间展室开始, 走到第二间, 再走到第三间…, 走到第五间后往回走,走到第四间,再走到第三间…。如果开始时五间展室都亮 着灯,那么他走过 100 个房间后,还有几间亮着灯? 分析:当一个房间的开关被拉动偶数次时,这间房间的灯亮着,反之则熄灭。警 卫经过第 1、2、3、4、5、4、3、2 展室,又从第 1 展室开始重复这个过程。在 这个过程中,2、3、4 展室的电灯开关被拉动 2 次,第 1、5 展室的开关被拉动 1 次。 解:100=8×12+4 即警卫走了 12 个来回,并重新走过第 l、2、3、4、展室。这时有如下情形: 第 1 展室的电灯开关被拉动了 12+1=13(次); 第 2 展室的电灯开关被拉动了 12×2+1=25(次); 第 3 展室的电灯开关被拉动了 12×2+1=25(次); 第 4 展室的电灯开关被拉动了 12×2+1=25(次); 第 5 展室的电灯开关被拉动了 12 次。 所以,第 1、2、3、4 展室的灯熄灭了,第 5 展室的灯亮着。 例 4 甲盒中放有 180 个白色围棋子和 181 个黑色围棋子,乙盒中放有 181 个白 色围棋子。李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子,如果两个棋子同色,他就从乙

盒中拿出一个白子放入甲盒;如果两个棋子不同色,他就把黑子放回甲盒。那么 他拿多少次后,甲盒中只剩下一个棋子,这个棋子是什么颜色的? 解:不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子,他总会放一个棋子回甲盒。所以 他每拿一次,甲盒中的棋子数就减少一个。所以他拿 180+181-1=360 次后, 甲盒里只剩下一个棋子。 如果他拿出的是两个黑子, 那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒中的 黑子数不变。 就是说, 李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。 由于 181 是奇数, 奇数减偶数等于奇数。所以,甲盒中剩下的黑子数应是奇数,不大于 1 的奇数只 有 1,所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。 例 5 图 5-1 是一张 8×8 的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉, 剩下的部分能否剪成若干个 1×2 的长方形纸片?

解:如图 5-2 我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现,要从上长 方形纸片,不论怎样剪,都会包含一个奇,一个偶。我们再数一下奇字和偶字的 个数,奇字有 30 个,偶字有 32 个。所以这张纸不能剪成若干个 1×2 的长方形 纸片。 习题五 1.1+3+5+…+1993 的得数是奇数还是偶数? 2.两个数的和,减去这两个数的差,其得数是奇数还是偶数? 3.相邻两个整数的和是奇数还是偶数? 4.一串数排成一行,它们的规律是:前两个数都是 1,从第三个数开始, 每一个数都是前两个数的和,也就是: 1,1,2,3,5…… 那么这串数的第 100 个是奇数还是偶数? 5.30 个连续自然数的乘积是奇数还是偶数? 6.一个小于 200 的奇数,它的各位数字之和是奇数,并且它可表示成两个 两位数的积,那么这个数是几? 7.小红将 99 个球放入十几个盒子,其中有些盒子中放了 12 个球,其余的 各盒放 5 个。问他共有多少个盒子? 8.将 1-9 这 9 个数字填入 3×3 的方格中,每格填一个数字。要求满足以 下两个条件:

(1)如把每行看成一个三位数,那么第一行加上第二行,恰好等于第三行; (2)相邻两个数字所在的格子也相邻。 参考答案:1.共有 997 个奇数,它们的和为奇数。 2.两个数的和与差同奇同偶,所以它们的和为偶数。 3.相邻两个自然数为一奇一偶,和为奇数。 4.规律为两奇一偶,第 100 个为奇数。 5.30 个连续自然数中有 15 个奇数,15 个偶数,和为奇数。 6.195。 7.17 个。2 个盒各放 12 个球,15 个盒各放 5 个球。 8.


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