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导数复习导数大题练习(含详解答案)


1、已知函数 f(x)=(2x2―kx+k)·e-x (Ⅰ)当 k 为何值时, f ( x ) 无极值;(Ⅱ)试确定实数 k 的值,使 f ( x ) 的极小值为 0

(Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.

5、已知函数 2、已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 2

,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g (x) ?x 2 ?2x ?2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在 x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.

f ( x) ? (ax2 ? 2x ? 1) ? e? x (a ? R,e 为自然对数的底数 ).

(I)当时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在[-1,1]上单调递减,求 a 的取值范围.

6、已知函数 3、设函数

f ? x ? ? x ? aex?1 。
a1 ? a2 ? ???an n

f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3) ? ex ,设 t ? ?2 , f (?2) ? m, f (t ) ? n . (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ? ?2, t ? 上为单调函数;
(Ⅱ)试判断 m, n 的大小并说明理由;

(I)求函数 f ? x ? 单调区间; (II)若 f ? x ? ? 0对x ? R 恒成立,求 a 的取值范围; (III)对任意 n 的个正整数 a1 , a2 ???, an记A ?

(Ⅲ)求证:对于任意的 t ? ? 2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 的 x0 的个数.

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样 x0 e 3

ai ?1 ai A ? e ? i ? 1, 2, ???n ? (2)求证: A ? n a1a2 ??? an (1)求证: A

7、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x .
2

a 3 a ?1 2 x ? x ? b ,其中 a, b ? R. 4、已知函数 f ( x) ? x ? 3 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 5 x ? 4 ,求函数 f ( x) 的解析式;

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;
2 (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值.

8、已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ?
2

1 2 ax ? x . (a ? R) . 2

(I)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程( e ? 2.718... ) ; (II)求函数 f ( x ) 的单调区间.

? 1? f ? ?1? ? f ? ? ? ? ? 2?

? 1? f ? ? ? ??? ? 3?

? 1? f ? ? ? ? n ? 2011 恒成立,若存在,找出一个满足条件 ? n?

的 N ,并证明;若不存在,说明理由。

12、设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln( x ? 1)(a ? ?1). 9、已知函数 f ( x) ? (1 ? )e ( x ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

a x

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,设 f ( x ) 的最小值为 g (a), 若g (a) ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围。
5

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点, 且极大值与极小值的积为 e , 求a的 值.

13、设函数 f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中 a>0,b,c∈R.

3 10、已知函数 f ( x) ? ax ?

3 ( a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 . 2 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极小值;
(2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴的公共点的个数。

1 (1)若 f ?( ) =0,求函数 f(x)的单调增区间; 3
(2)求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .(注:max{a,b}表示 a,b 中的最大 值)

11、已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ax ?1 ( a 是不为零的常数且 a ? R ) 。
x

14、已知函数 f ( x) ? p ln x ? ? p ? 1?x ? 1 .
2

(1)讨论函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调性;

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 p ? 1 时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围;

(2)当 a ? ?1 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? t 在区间 ??1,1? 上有两个解,求实数 t 的取值范围;
? ( 3 ) 是 否 存 在 正 整 数 N , 使 得 当 n? N 且 n ? N 时 , 不 等 式

(Ⅲ)证明: ln( n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n

15、已知 f ( x) 是二次函数, f ?( x) 是它的导函数,且对任意的 x ? R , f ?( x) ? f ( x ? 1) ? x 2 恒 成立. (Ⅰ)求 f ( x) 的解析表达式; (Ⅱ)设 t ? 0 ,曲线 C : y ? f ( x) 在点 P(t , f (t )) 处的切线为 l , l 与坐标轴围成的三角形 面积为 S (t ) .求 S (t ) 的最小值.

16、 设函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 与 g ( x) ?

1 B, 且曲线 y ? f ( x) x ? x 的图象分别交直线 x ? 1 于点 A, a

在点 A 处的切线与曲线 y ? g ( x) 在点 B 处的切线平行。 (1)求函数 f ( x), g ( x) 的表达式; (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值; (3)当 a ?

2 、 已 知 三 次 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 y 轴 上 的 截 距 是 2 , 且 在
(??,?1), (2,??) 上单调递增,在(-1,2)上单调递减.

(Ⅰ)求函数 f (x)的解析式;

2

1 1 1 时,不等式 f ( x) ? m ? g ( x) 在 x ?[ , ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。 2 4 2

0

1.设函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
21 世纪教育网

1 3

f ?( x) ? (m ? 1) ln(x ? m) ,求 h( x) 的单调区 (Ⅱ)若 m >-1,设函数 h( x) ? 3( x ? 2)
0 7 0

间.

3

2

8

3、已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? 1)( x ? a) . (1) 若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ?
f ( x) 在[-

3 2

,1]上的最大值和最小值; 5、已知向量 a ? ( x2 ? 3,1), b ? ( x, ? y) , (其中实数 y 和 x 不同时为零) ,当 | x |? 2 时,有 a ? b ,当 | x |? 2 时, a // b . (1) 求函数式 y ? f ( x) ; (2)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (3 )若对 ?x ? ( ??, ?2] ?[2, ?? ) ,都有 mx2 ? x ? 3m ? 0 ,求实数 m 的取值 范围.
? ? ? ?

(2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围.

?

?

6、已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x 4、设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? ,函数 f ( x) 的图象与 x 轴的交点也在函 数 g ( x) 的图象上,且在此点有公切线. (1)求 a 、 b 的值; (2)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ;当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) .
b x

(1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明
? ? ? >6.

函数与导数解答题 1、解: (I)? f ' ( x) ? (4x ? k )e ? x ? (2x 2 ? kx ? k )(?1)e ? x

7、已知函数 f ( x) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值 2. x ?b
2

= [?2 x ? (4 ? k ) x ? 2k ]e
2

?x

k ? ?2( x ? )( x ? 2)e ? x ………………3 分 2

? k ? 4时,f ' ( x) ? ?( x ? 2) 2 e ? x ? 0,? f ( x) 在 R 上单调递减,
所以,f(x)无极值…………………………6 分
' (II)当 k ? 4 时,令 f ( x) ? ?2( x ?

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增? (3)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x) ?
ax ax 图象上任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 的图 x ?b x ?b
2

k k )( x ? 2)e ? x ? 0 ,得 x1 ? , x 2 ? 2 2 2

象切于点 P ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。

k ? 2 ,有 2 k k 2 k 令 f ( ) ? 0 ,得 2 ? ( ) ? k ? ? k ? 0 ,即 k=0.……………………9 分 2 2 2 k (2)k>4 时, ? 2 ,有 2
(1) k<4 时, 令 f (2) ? 0 ,得 k=8 所以,由(1) (2)知,k=0 或 8 时, f ( x) 有极小值 0

1 2、解:(Ⅰ)由已知 f ?( x) ? 2 ? ( x ? 0) ,………………2 分 x f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 .………………4 分

8、已知函数 f(x)=ax+lnx,其中 a 为实常数,设 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)若 f(x)在区间(0,e ] 上的最大值为-3,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=-1 时,试推断方程| f(x)|= 数解.
ln x 1 ? 在(0,2)内是否有实 x 2

(Ⅱ) f '( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) .………………5 分 x x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) .………………6 分

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a

1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) . a a
………………7 分 (Ⅲ)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .………………8 分

令 ? ln a ? 0 得 a ? 1 故若 f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 ?1, ? ?? ……7 分 (III)证明: (1)由(II)知:当 a ? 1 时恒有 f ( x) ? x ? ex?1 ? 0 成立 即x?e
x ?1

g ( x)max ? 2 ………………9 分
由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e ) ? ae ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)………………10 分
3 3

?

ai ?1 ai ? e A ………………9 分 A an a1 a2 ?1 ?1 ?1 a a1 a ? e A ; 2 ? e A ;……; n ? e A A A A

1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a

(2)由(1)知:

1 1 故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( ) ? ?1 ? ln(? a) ,………11 分 a ?a
所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

a1 ? a2 ??? an ?n a1a2 ? an A ? e ? 1 ? An ? a1a2 ?an 把以上 n 个式子相乘得 n A

故 A?

n

a1a2 ? an ……………………12
2

1 .………………12 分 e3

4、解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ,------------1 分 由导数的几何意义得 f ?(2) ? 5 ,于是 a ? 3 .-----------------3 分 由切点 P(2, f (2)) 在直线 y ? 5 x ? 4 上可知 2 ? b ? 6 ,解得 b ? 4 .-----5 分
3 2 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 4 .------------6 分

3、解: (I) f ?( x) ? 1 ? ae x?1 ………………1 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上是增函数…………2 分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? ln a ……………………3 分 若 x ? 1 ? ln a 则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在区间 (??,1 ? ln a) 上是增函数 若 x ? 1 ? ln a 则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在区间 (1 ? ln a, ? ?) 上是减函数 综上可知:当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??, ? ?) 上是增函数。当 a ? 0 时,在区间

(Ⅱ) f ?( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ? a ( x ? )( x ? 1) ,------------------7 分
2

1 a

当 0 ? a ? 1 时, 在区间 (1,

1 1 ? 1 ,函数 f ( x) 在区间 (? ?, 1) 及 ( , ? ?) 上为增函数; a a

(??,1 ? ln a) 上是增函数, f ( x) 在区间 (1 ? ln a, ? ?) 上是减函数…………4 分
(II)由(I)可知:当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 不恒成立…………5 分 又当 a ? 0 时, f ( x) 在点 x ? 1 ? ln a 处取最大值, 且 f (1 ? ln a) ? 1 ? ln a ? ae
? ln a

1 ) 上为减函数;--------------------------------------------------------9 分 a 1 当 a ? 1 时, ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 (? ?, ? ?) 上为增函数;------------------10 分 a 1 1 当 a ? 1 时, ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 ( ? ?, ) 及 (1, ? ?) 上为增函数; a a 1 在区间 ( , 1) 上为减函数.--------------------------12 分 a
命题意图:本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论 的数学思想。

? ? ln a ………………6 分

5、解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x 2 ? 2x ? 1) ? e ? x ,

f ?( x) ? (2x ? 2) ? e ? x ? ( x 2 ? 2x ? 1) ? e ? x ? ?( x ? 1)(x ? 3) ? e ? x ………………2 分
当 x 变化时, f ( x ) , f ?( x) 的变化情况如下表: 所以,当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 0 ,极大值为 f (3) ? 4e ?3 .……………5 分 (II) f ?( x) ? (2ax ? 2) ? e ? x ? (ax2 ? 2x ? 1) ? e ? x ? ?e ? x [ax2 ? 2ax ? 2x ? 3] 令 g ( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 3

13 ? e, e2 ∴ f ( x) 在 ? ?2, ?? ? 上的最小值为 f (?2) -------------7 分 从而当 t ? ?2 时, f (?2) ? f (t ) ,即 m ? n -------------8 分
又 f (?2) ?

f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) 2 2 ? x ? x ? (t ? 1) 2 , ,又∵ 0 0 x0 x0 e e 3 2 2 2 ∴ x0 ? x0 ? (t ? 1) , 3 2 2 2 2 2 2 令 g ( x) ? x ? x ? (t ? 1) ,从而问题转化为证明方程 g ( x) ? x ? x ? (t ? 1) =0 在 (?2, t ) 上有 3 3
(Ⅲ)证:∵ 解,并讨论解的个数-------------9 分 ∵ g (?2) ? 6 ?

, 1) 内,g ( x) ? 0 , , 1] ①若 a ? 0 , 则 g ( x) ? ?2 x ? 3 , 在 (?1 即 f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 在区间 [ ?1
上单调递减.………………7 分 ②若 a ? 0 , 则 g ( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 3 , 其图象是开口向上的抛物线, 对称轴为 x ?

a ?1 ? 1, a

, 1) 内 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , 当且仅当 g (1) ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,在 (?1 , 1] 上单调递减.………………9 分 函数 f ( x ) 在区间 [ ?1
③若 a ? 0 ,则 g ( x) ? ax ? 2(a ? 1) x ? 3 ,其图象是开口向下的抛物线,
2

2 2 (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4) , 3 3 2 1 g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1) ,----------------10 分 3 3 ① 当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时, g (?2) ? g (t ) ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且只有一解----------------11 分 2 2 ②当 1 ? t ? 4 时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0 ,但由于 g (0) ? ? (t ? 1) ? 0 , 3 所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且有两解-------------------12 分
2 ③当 t ? 1 时, g ( x) ? x ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1 ,故 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有且只有一解;

当 t ? 4 时, g ( x) ? x2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3 , 所以 g ( x) ? 0 在 (?2, 4) 上也有且只有一解-------------------13 分 综上所述,对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 且当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时,有唯一的 x0 适合题意; 当 1 ? t ? 4 时,有两个 x0 适合题意.--------------14 分

? g (?1) ? 0 5 , 1) 内 g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , 当且仅当 ? ,即 ? ? a ? 0 时,在 (?1 3 ? g (1) ? 0

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , x0 e 3

, 1] 上单调递减.………………………11 分 函数 f ( x ) 在区间 [ ?1

, 1] 上单调递减时, a 的取值范围是 ? 综上所述,函数 f ( x ) 在区间 [ ?1
2 x x x

5 ? a ? 1 .…12 分 3

(说明:第(3)题也可以令 ? ( x) ? x ? x , x ? (?2, t ) ,然后分情况证明
2 2

6、解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ( x ? 3x ? 3) ? e ? (2 x ?3) ? e ? x( x ?1) ? e --------------1 分 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1, 要使 f ( x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 -------------4 分 (Ⅱ)因为 f ( x) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减, ∴ f ( x) 在 x ? 1 处有极小值 e -------------5 分 所以 f ( x) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减--------------3 分

2 (t ? 1) 2 在其值域内) 3

7、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x ,∴函数的定义域为 (0, ??) .1 分 ∴ f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? .3 分 x x x

∵ f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,

即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)(a ? 1) ? 0 ,∴ a ? ?1 .5 分 当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , ∴ x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点.∴ a ? ?1 .6 分

8、解: (I)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? x ln x , f '( x) ? ? ln x ,………………………2 分 所以 f (e) ? 0 , f '(e) ? ?1 ,………………………4 分 所以曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程为 y ? ? x ? e .………………………5 分 (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

1 2

(Ⅱ)∵ a ? a ,∴ 0 ? a ? 1 .7 分
2

f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? (a ? 2) x (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ?? x x x

1 f '( x) ? (ax 2 ? x) ? (2ax ? 1) ln x ? ax ? 1 ? (2ax ? 1) ln x ,…………………6 分 x
①当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0 ,在 (0,1) 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上递减;……………………………………8 分

1 1 ∵x∈ (0, ??) ,∴ ax ? 1 ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增;在 ( , ??) 上单调递减, 2 2
9分 ①当 0 ? a ?

1 时, f ( x ) 在 [a 2 , a] 单调递增, 2

∴ fmax ( x) ? f (a) ? ln a ? a3 ? a2 ? 2a ;10 分

1 1 1 时,在 (0,1) 和 ( , ??) 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ) 上 f '( x) ? 0 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上递减;……………………10 分 2a 2a 1 ③当 a ? 时,在 (0, ??) 上 f '( x) ? 0 且仅有 f '(1) ? 0 , 2
②当 0 ? a ? 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;……………………………12 分

1 ? a? ? 1 1 2 ? 2 2 1 ②当 ? ,即 ? a ? 时, f ( x ) 在 ( a , ) 单调递增,在 ( , a ) 单调递减, 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 ? ? 2
∴ f max ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 ?

1 2

a a?2 a ? ? ? 1 ? ln 2 ;11 分 4 2 4

1 1 1 时,在 (0, ) 和 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,在 ( ,1) 上 f '( x) ? 0 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x ) 在 (0, ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上递减…………………14 分 2a 2a
④当 a ? 9、解: (Ⅰ) f ?( x) ?

③当

1 2 ? a 2 ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a2 , a] 单调递减, 2 2

x 2 ? ax ? a x e ,3 分 x2 1? 2 ? 2 1 x2 ? 2x ? 2 x ? e ? e , f (1) ? ?e , e , f ?(1) ? 当 a ? 2 时, f ?( x) ? 2 12 x
所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ex ? 2e ,5 分 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 ( 2, 0) , (0, ?2e) ,6 分 所以,所求面积为

∴ fmax ( x) ? f (a2 ) ? 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a2 .12 分 综上所述,当 0 ? a ?

1 3 2 2 时,函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ; 2



a 1 2 2 ?a? 时,函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; 4 2 2

1 ? 2 ? ?2e ? 2e .7 分 2

(Ⅱ)因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x ? ax ? a ? 0 在 (0, ??) 内存在两个不等实根,8 分
2

当a ?

2 5 3 2 2 时,函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 2ln a ? a ? a ? 2a .13 分 2

则?

?? ? a 2 ? 4a ? 0, ?a ? 0.

9 分 所以 a ? 4 .10 分

为使方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根, 只须 g(x)=0 在[0,1]和 (1, 2] 上各有一个实数根,于是有 ? g (1) ? 0, ∵ 2 ? 2 ln 2 ? 3 ? 2 ln 3 ,………………………………11 分 ∴实数 a 的取值范围是 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 .………………………12 分 11、解: (1)因为 F ? x ? ? ? ax ? 1? ex ,
x

? g (0) ? 0, ? ? g (2) ? 0. ?

设 x1 , x2 为函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点, 则 x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? a ,11 分 因为, f ( x1 ) f ( x2 ) ? e5 , 所以,

x x ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 x1 ? x2 即 1 2 e x1 x2

x1 ? a x1 x2 ? a x2 e ? e ? e5 ,12 分 x1 x2 2 2 a ? a ? a e a ? e5 , e a ? e 5 , ? e5 , a

解得, a ? 5 ,此时 f ( x ) 有两个极值点, 所以 a ? 5 .14 分

1? ? ? ,……………………1 分 a? ? 1 当 a ? 0 时, F ' ? x ? ? 0 ? x ? ?1 ? , a 1 1 所以 F ? x ? 在区间 ( ??, ?1 ? ) 上是减函数,在区间 ( ?1 ? , ?? ) 上是增函数;……3 分 a a 1 当 a ? 0 时, F ' ? x ? ? 0 ? x ? ?1 ? , a 1 1 所以 F ? x ? 在区间 ( ??, ?1 ? ) 上是增函数,在区间 ( ?1 ? , ?? ) 上是减函数;……5 分 a a
所以 F ' ? x ? ? aex ? ? ax ? 1? ex ? ae ? x ? 1 ? (2)当 a ? ?1 时,由(1)知道 F ? x ? 在区间 ? ??,0 ? 上是增函数,在区间 ? 0, ?? ? 上是减函数, 所以当 x ? 0 时取得极大值 F ? 0? ? 1 ,……………………7 分

2 , F ?1? ? 0 ,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? t 在区间 ??1,1? 上有两个解, e 2 实数 t 的取值范围是 [ ,1) ;……………………………………………………9 分 e
又 F ? ?1? ? (3)存在 N ? 2 10、 (Ⅲ)方程 f ( x) ? x2 ? x ? a , x ? a ? 1 ? 2ln(1 ? x) ? 0 . 记 g ( x) ? x ? a ? 1 ? 2ln(1 ? x) , ∵ g / ( x) ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,
1? x x ?1
4022

.由(2)知道当 a ? ?1 时, F ? ?

? 1? ? ?1即 ? n?

? 1 ?? 1 ? f ? ? ?? ? 1? ? 1 ? n ?? n ?

即 f ??

1 n 1 ? 1? ? ? 1? ……………………11 分 ?? n ?1 ? n ? 1? 1 n ?1 n

由 g / ( x) ? 0 ,得 x>1 或 x<-1(舍去).由 g / ( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . ∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.………………………………10 分

所以 f ? ?1? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? f ? ?

? 1? ? 2?

? 1? ? 3?

1 ? ? 1? ?1 1 1 ? ? n ? ? ? ? ??? ? …12 分 n ?1 ? ? n? ?2 3 4

当n ? 2

4022

时,

由于 h?( x) ? ? ln(1 ? x) ? t , 当 t ? 0 时, h ?( x) ? 0 ,故函数 h( x) 在 (0, ??) 上是减函数, 所以 h( x) ? h(0) ? 0 成立;┄┄┄┄┄┄10 分
?t 当 t ? 0 时,若 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ? 1 ,

1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1 1 1? 1 1 ? ? 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4021 ? 4021 ? ? ? 4022 ? 2 3 4 n ?1 2 ? 3 4 ? ? 5 6 7 8 ? 2 ? ? 2 ?1 2 ? 2 ? 1 ?1 1? ?1 1 1 1? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4022 ? 4022 ? ? ? 4022 ? ? ? 4022 ? 2011 2 ? 4 4? ?8 8 8 8? 2 2 ? 2 ?2
? 1? ? 2? ? 1? ? 3? ? 1? ? ? n ? 2011 。……………………14 分 ? n?

所以: f ? ?1? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? f ? ? 12、 (Ⅰ)解: f ?( x) ? a ?

故函数 h( x) 在 (0, e?t ?1) 上是增函数, 即对 0 ? x ? e ? 1 , h( x) ? h(0) ? 0 ,与题意不符; 综上, t ? 0 为所求.┄┄┄┄┄┄12 分 1 13、解:(1)由 f ?( ) =0,得 a=b.…………………………………………………1 分 3 故 f(x)=ax3-2ax2+ax+c.
1 由 f ?( x) =a(3x2-4x+1)=0,得 x1= ,x2=1.…………………………………2 分 3
?t

a ? 1 ax ? 1 ? ( x ? ?1) ,┄┄┄┄┄┄1 分 x ?1 x ?1 1 ?0, 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? x ?1
所以函数 f ( x ) 的减区间为 (?1, ??) ,无增区间;

1 a( x ? ) a , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?1 1 1 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,由 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? , a a 1 1 所以函数 f ( x ) 的减区间为 ( ?1, ) ,增区间为 ( , ??) ; a a 1 a( x ? ) 1 a ?0, 若 ?1 ? a ? 0 ,此时 ? ?1 ,所以 f ?( x) ? a x ?1
所以函数 f ( x ) 的减区间为 (?1, ??) ,无增区间; 综上,当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 的减区间为 (?1, ??) ,无增区间, 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的减区间为 ( ?1, ) ,增区间为 ( , ??) .┄6 分

列表:
1 由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞).……………………4 分 3

(2) f ?( x) =3ax2-2(a+b)x+b=3 a( x ? ①当

a ? b 2 a2 ? b2 ? ab . ) ? 3a 3a

a?b a?b ≥1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a

所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0. 所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .………………………………………………8 分 ②当 0< a ? b < 1 ,即-a<b<2a,则 ?
3a

1 a

1 a

a 2 ? b2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 3a

1 1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得, g (a ) ? f ( ) ? 1 ? ( a ? 1) ln( ? 1) ,┄┄┄┄┄┄7 分 a a g (a) t 1 1 1 t ? ? 0 ? ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 , 因为 a ? 0 ,所以 g (a) ? t ? a a a a a a
令 h( x) ? x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? tx( x ? 0) ,则 h( x) ? 0 恒成立,

(i)当-a<b≤ 所以 f ?(1) ?

a 3a 时,则 0<a+b≤ . 2 2

1 a 2 ? b2 ? ab 2a2 ? b2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 = = ≥ a 2 >0. 4 3a 3a 3a

所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .……………………………………………12 分

(ii)当

a a 5 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a2+b2- ab <0. 2 2 2

5 ab ? a 2 ? b 2 a2 ? b2 ? ab 4ab ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ab 所以 b ? = >2 >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a

所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .……………………16 分 14、解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为(0,+∞) ,f
'

n ?1 n ?1 1 1 ? ,即 ln( n ? 1) ? ln n ? …………12 分 ,则 ln n n n n 2 1 3 1 n ?1 1 ? , 所以 ln ? , ln ? ,…, ln 1 1 2 2 n n 2 3 n ?1 1 1 ?1? ?? 相加得 ln ? ln ? ?ln 1 2 n 2 n
令x ? 而 ln

?x ? ?

p 2? p ? 1?x 2 ? p ? 2? p ? 1?x ? …2 分 x x

2 3 n ?1 n ? 1? ?2 3 ? ln ? ?ln ? ln? ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) 1 2 n n ? ?1 2
1 1 1 ? ? ? ? , (n ? N * ) .……K Ks s5 5u u………………14 分 2 3 n

所以 ln( n ? 1) ? 1 ?

当 p ? 1 时, f '( x) >0,故 f ( x ) 在(0,+∞)单调递增; 当 p ? 0 时, f '( x) <0,故 f ( x ) 在(0,+∞)单调递减;……………4 分 当 0< p <1 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

15、解:(Ⅰ)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) ,则 f ' ( x) ? 2ax ? b ,……(2 分)

f ( x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c .
由已知,得 2ax ? b ? (a ? 1) x2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ,

?

p .K Ks s5 5u u 2? p ? 1?

则当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? ? p ? p ? 时, f '( x) >0; x ? ? ? ? 时, f '( x) <0. , ? ? ? ? ? ? 2? p ? 1? ? 2 p ? 1 ? ? ? ? ? p ? p ? 单调递增,在 ? ? ? 单调递减.…………6 分 , ? ? ? ? ? ? 2? p ? 1? ? 2 p ? 1 ? ? ?

?a ? 1 ? 0 ? ∴ ?2a ? b ? 2a ,解之,得 a ? ?1 , b ? 0 , c ? 1 , ?a ? b ? c ? b ?
∴ f ( x) ? ? x ? 1 .………(4 分)
2 2 (Ⅱ)由(1)得, P(t , 1 ? t ) ,切线 l 的斜率 k ? f ' (t ) ? ?2t ,

故 f ( x ) 在 ? 0, ?

? ? ?

(Ⅱ)因为 x ? 0 ,所以当 令 h( x ) ?

p ?1

1 ? ln x 时, f ( x) ? kx 恒成立 ? 1 ? ln x ? kx ? k ? x

∴切线 l 的方程为 y ? (1 ? t ) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t ? 1 .……………(6 分)
2 2

1 ? ln x ,则 k ? h( x)max ,……………8 分 x ? ln x 因为 h' ( x ) ? ,由 h' ( x) ? 0 得 x ? 1 , x2
且当 x ? (0,1) 时, h' ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, h' ( x) ? 0 . 所以 h( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1,??) 上递减.所以 h( x)max ? h(1) ? 1 ,故 k ? 1 ……10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 k ? 1 时,有 f ( x) ? x ,当 x ? 1 时, f ( x) ? x 即 ln x ? x ? 1 ,

从而 l 与 x 轴的交点为 A(

t2 ?1 , 0) , l 与 y 轴的交点为 B(0 , t 2 ? 1) , 2t

(t 2 ? 1) 2 ∴ S (t ) ? (其中 t ? 0 ) .……………(8 分) 4t (t 2 ? 1)( 3t ? 1)( 3t ? 1) ∴ S ' (t ) ? .………………(9 分) 4t 2 3 当0 ? t ? 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是减函数; 3 3 当t ? 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是增函数.……………(11 分) 3

∴ [ S (t )]min ? S ?

? 3? 4 3 ? ? 3 ? ? 9 .…………(12 分) ? ?
2x2 ? a ,…………………………2 分 x

1 1 1 ?1 1? f ( x) 在 ? , ? 上为减函数, f ( x) ≥ f ( ) ? ? ln 2 ? 0 ,…………12 分 4 2 2 4 2 ? ?
当 x ?[ , ) 时, g ( x) ? 2 x ? x , g '( x) ? 2 ?

16、解: (1)由 f ( x) ? x 2 ? a ln x ,得 f ?( x ) ? 由 g ( x) ? 即2?a ?

2 x ?a 1 .又由题意可得 f ?(1) ? g ?(1) , x ? x ,得 g '( x) ? a 2a x

1 1 4 2

1 2 x

?

4 x ?1 2 x

? 0,

1 2?a ,故 a ? 2 ,或 a ? .………………………………4 分 2 2a 1 所以当 a ? 2 时, f ( x) ? x 2 ? 2ln x , g ( x) ? x ? x ; 2 1 1 当 a ? 时, f ( x) ? x 2 ? ln x , g ( x) ? 2 x ? x . 2 2 由于两函数的图象都过点 (1,1) ,因此两条切线重合,不合题意,故舍去
∴所求的两函数为 f ( x) ? x 2 ? 2ln x , g ( x) ?

1 2 1 ?1 1? g ( x) 在 ? , ? 上为增函数, g ( x) ≤ g ( ) ? 1 ? ,且 g ( x) ≥ g ( ) ? 0 .14 分 2 2 4 ?4 2?

1 ?1 1? 要使不等式 f ( x) ≥ m ? g ( x) 在 x ? ? , ? 上恒成立,当 x ? 时, m 为任意实数; 4 ?4 2?
1 f( ) ? f ( x) ? f ( x) 1 1 (2 ? 2) 当 x ? ( , ] 时, m ≤ ,而 ? ? 2 ? ln(4e) . ? g ( x) 4 4 2 ? g ( x) ? min g ( 1 ) 2
所以 m ≤
1.解: (I )

1 x ? x ……………………6 分 2 1 (2)当 a ? 1 时, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 2ln x ? x ? x ,得 2
2 1 1 2( x ? 1)( x ? 1) x ?1 h '( x) ? 2 x ? ? ? ? ? x 2 2 x x 2 x

(2 ? 2) ln(4e) .………………………………………………16 分 4

f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)

21 世纪教育网

由a

? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (??,2) 是增函数;
当2 当x

? 4( x x ? x ? x ? 1) ? x ? ? ( x ? 1) ? ? ,………………………8 分 2 x ? ?
由 x ? 0 ,得

? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (2,2a) 是减函数;
? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (2a,??) 是增函数。

4( x x ? x ? x ? 1) ? x ?0, 2x

综上,当 a

? 1 时, f ( x) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 ? 0 时, f ( x) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。
4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3

故当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减, 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增, 所以函数 h( x) 的最小值为 h(1) ? 1 ? 2ln1 ? (3) a ?

(II)由(I)知,当 x

f ( 2a ) ?
1 3 ? 1 ? .…………………10 分 2 2

1 (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3

f (0) ? 24a 由假设知 21 世纪教育网

1 1 , f ( x) ? x 2 ? ln x , g ( x) ? 2 x ? x , 2 2 1 4 x2 ? 1 1 1 1 ? ? 0, 当 x ?[ , ) 时, f ( x) ? x 2 ? ln x , f '( x ) ? 2 x ? 2x 2x 4 2 2

?a ? 1 ? ? f (2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a (a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6) 2、解:(Ⅰ)∵ 又?

g ?( x) ? a ?
f(0)=2, ∴c=2. 由①、②得 a

b x2
?

,且

f ( x) 与 g ( x) 在点(1,0)处有公切线,∴ g ?(1) ? f ?(1) ? 1即 a ? b ? 1
20. 因



f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 y 轴上的截距是 2,∴

(-1,2)上单调递减, f ( x) 在 (??,?1), (2,??) 上单调递增, 2 ? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 有两个根为-1,2,

1 1 ,b ? ? 2 2
2

f / ( x) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2

… 2分

2a ? 3 ?1 ? 2 ? ? ? ? 3 2 ? ?a ? ? 3 3 ?? ?? 2 ? f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 2 , 2 ??1? 2 ? b ? b ? ?6 ? ? 3 ?
(Ⅱ)?

而函数

f ( x) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 x ?b

所以

f '( x) ? 3x2 ? 3x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , ? h( x) ? x ? 1 ? (m ? 1) ln(x ? m)(x ? ?m且x ? 2)
m ?1 x ?1 , ? h?( x) ? 1 ? ? x?m x?m

? f / (1) ? 0 ? ? f (1) ? 2
f ( x) ? 4x 1? x2

?

?a (1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?2 ? ?1 ? b

?a ? 4 ? ? ?b ? 1
……………… 4 分

, 所以

为所求

当 m >-1 时,-m <1,定义域: (?m,2) ? (2,??) 由 h ?( x) 故在(1,2) , (2,+∞)上单调递增;在 (?m,1) 上单调递减. 3、解 (1)∵ f ?(?1) ? 0 ,∴ 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 . ∴

? 0 得 x >1,由 h?( x) ? 0 得 x <1.

(2)由(1)知

f / ( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2
? 1?

1 1 f ?( x) ? 3x ? 4x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) .由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 3 3
2

可知,

f ( x) 的单调增区间是 [?1 , 1 ]

? 1 正 负

由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? 单调减区间为 [?1 , ? ].

3 1 1 .因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 [? , ? 1] , [? , 1] ; 2 3 3

1 3

? m ? ?1 ? 所以, ?2 m ? 1 ? 1 ?m ? 2 m ? 1 ?

f / ( x)



?

?1 ? m ? 0

f ( x)

1 1 50 f ( x) 在 x ? ?1 取得极大值为 f (?1) ? 2 ; f ( x) 在 x ? ? 取得极小值为 f (? ) ? . 3 3 27
由∵ f (? ) ? ∴

所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 (3)由条件知,过

f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增

………… 9 分

3 2

13 , f (1) ? 6 8



50 13 ? 27 8

f ( x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:
2

3 f ( x) 在[- 2
3

3 13 ,1]上的的最大值为 f (1) ? 6 ,最小值为 f (? ) ? . 2 8
2 2

k ? f ( x0 ) ?
/

4(1 ? x 0 ) (1 ? x 0 )
2 2

? 4?

? 1 ? x0 ? 2 (1 ? x 0 )
2 2

2

? 4[

2 (1 ? x0 )
2 2

?

1 1 ? x0
2

]



t?

1 1 ? x0
2

, 则

(2) ∵ f ( x) ? x ? ax ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 .∵函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴

f ?( x ) ? 0 有实数解.∴ D ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ a 2 ? 3 ,即 a ? ? 3 或 a ?
因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? 3 ] ? [ 3, ? ?) . 4、 解: (1)f ( x) ? ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1, 0) , 依题意, 得 g (1) ? a

3.

?b?0

① 又

f ?( x ) ?

1 x



1 1 1 ? 8(t 2 ? t ) ? 8(t ? ) 2 ? 2 4 2 1 2 1 1 1 根据二次函数 k ? 8(t ? ) ? 的图象性质知:当 t ? 时, t min ? ? 当 t ? 1 时, t max ? 4 4 2 4 2 1 所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ? , 4 ] ……………… 14 分 2 1 1 1 1 ) ? ln x ? x ? (2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 则 F ( x ) ? ln x ? ( x ? 2 2x 2 2x

t ? (0 , 1] ,

此时 , k

∴ F ?( x ) 当0 ? 当x 当x

?

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 ∴ F ( x) 在 (0, ? ?) 上为减函数 x 2 2x 2 x

综上所述得,对 x ? (??, ?2] ?[2, ??) ,

f ( x) 取得最大值 2;

x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ;

∴实数 m 的取值范围为 m ? 2 .----------------------------------------------------------------14 分 6、解: (1)当 a

? 1 时, F (1) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ; ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) .

? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ,故

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x ? ?e? x ( x?3 ? 9x)
x -----------------4 分 2 x ?3
当x 从而

? ? ? ? 2 5、解: (1)当 | x |? 2 时,由 a ? b 得 a ? b ? ( x ? 3) x ? y ? 0 , ? ? (| x |? 2 且 x ? 0 )当 | x |? 2 时,由 a // b .得 y ? ? y ? x ? 3x ;
3
3

? ?x( x ?3 ) (x ? 3? e )x

? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 0),(3, ? ?) 单调减少.

? x ? 3x, (?2 ? x ? 2且x ? 0) ? ∴ y ? f ( x) ? ? x ---------------------------5 分 .( x ? 2 或 x ? ? 2) ? ? 3 ? x2
(2)当 |

(2)

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a]. f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

由条件得:

x |? 2 且 x ? 0 时,由 y ' ? 3x2 ? 3 <0,解得 x ? (?1,0) ? (0,1) ,--------------6 分

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
当|

x |? 2 时, y ' ?

(3 ? x ) ? x(?2 x) 3? x ? ? 0 ------------------------------8 分 2 2 (3 ? x ) (3 ? x 2 )2
2 2

因为

f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以 x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? )

∴函数

f ( x) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1)-----------------------------------9 分
2

? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
x 3 ? x2
对 将右边展开,与左边比较系数得, ?

(3 )对 ?x ? ( ??, ?2] ?[2, ?? ) ,都有 mx

? x ? 3m ? 0 即 m( x2 ? 3) ? ? x ,也就是 m ?

? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

?x ? (??, ?2] ?[2, ??) 恒成立,-------------------------------------------11 分
由(2)知当 |

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (?

x |? 2 时, f '( x) ?

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 ? x2 ? ?0 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 )2

? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6.
/

21 网

于是 ?

? ? ? 6.

∴函数

f ( x) 在 (-?,-2] 和 [2,+?) 都单调递增-----------------------------------------------12 分

7.解: 因

ax a( x 2 ? b) ? ax(2 x) … 2 分而函数 f ( x) ? 2 在 x ? 1 处取得极 f ( x) ? 2 2 x ?b ( x ? b)

?2 2 ? 2 , f (2) ? ? ?2 3? 4 3? 4 x ? 0 ,∴当 x ? (??, ?2] 时, 0 ? f ( x) ? 2 当 x ? ?2 时 f ( x ) ? 3 ? x2


f ( ?2) ?

值2
所以

同理可得,当 x

? 2 时,有 ?2 ? f ( x) ? 0 ,

? f / (1) ? 0 ? ? f (1) ? 2

?

?a (1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?2 ? ?1 ? b

?a ? 4 ? ? ?b ? 1

所以

f ( x) ?

4x 1? x2
/

为所求

……………… 4 分

∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上减函数. x+lnx≤-1,从而|f(x)| =x-lnx 且 lnx≤x-1. 令 g(x)=|f(x)|-

从而 f(x) max =f(1)=-1.∴f(x)=- =x-lnx-

(2)由(1)知

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) f ( x) ? ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2

可知,

f ( x) 的单调增区间是 [?1 , 1 ]
?1

?

?
1

? m ? ?1 ? 所以, ?2 m ? 1 ? 1 ?m ? 2 m ? 1 ?

1 2 ln x 即|f(x)|> x
(1+ )lnx-

1 x

ln x 1 — x 2 1 1 1 1 当 0<x<2 时,有 g(x)≥x-(1+ )(x-1)- = - >0. x 2 x 2 1 ? .故原方程没有实解. 2

ln x x



1 2

=x-

?

?1 ? m ? 0

f / ( x)




………… 9 分



所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 (3)由条件知,过

f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增 f ( x)

f ( x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:
2

k ? f ( x0 ) ?
/

4(1 ? x 0 ) (1 ? x 0 )
2 2

? 4?

? 1 ? x0 ? 2 (1 ? x0 )
2 2

2

? 4[

2 (1 ? x0 )
2 2

?

1 1 ? x0
2

]

令t

?

1 1 ? x0
2

,则 t ? (0 , 1] ,

此时 , k

1 1 1 ? 8(t 2 ? t ) ? 8(t ? ) 2 ? 2 4 2

1 1 1 1 ? 8(t ? ) 2 ? 的图象性质知:当 t ? 时, t min ? ? 当t ? 1 4 2 4 2 1 时, t max ? 4 所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ? , 4 ] …………… 14 分 2 1 1 1 8、解: (Ⅰ)∵ f ?( x) =a+ ,x∈(0,e), ∈[ ,+∞ ) x x e 1 (1)若 a≥- ,则 f ?( x) ≥0,从而 f(x)在(0,e)上增函数.∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. e 1 1 1 (2)若 a<- ,则由 f ?( x) >0 ? a+ >0,即 0<x<- e x a 1 1 1 1 由 f(x)<0 ? a+ <0,即- <x≤e.∴f(x) max =f(- )=-1+ln(- ). x a a a 1 1 1 ?2 1 令-1+ln(- )=-3,则 ln(- )=-2.∴- =e ,即 a=-e2. ∵-e2<- ,∴a=-e2 为所求. a a a e 1 1? x (Ⅱ) 当 a=-1 时, f(x)=-x+lnx, f ?( x) =-1+ = .当 0<x<1 时, f ?( x) >0; 当1<x<2时, f ?( x) <0. x x
根据二次函数 k


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