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2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)(1)(解析版)


2016 年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科) ( 1)
一、选择题(本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. ) 1.已知集合 A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则 A∪B 中的元素个数为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如果复数 A.1 (b∈R,i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 b 的值为( D.﹣9 的值为( ) )

B.﹣6 C.3

3.已知 tan(α﹣ A. B.2

)= ,则 C.2 D.﹣2

4.双曲线 率为( A. )



=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3 相切,则双曲线的离心

B.

C.2

D.2

5.给出下列四个结论: ①已知 ξ 服从正态分布 N(0,?2) ,且 P(﹣2≤ξ≤2)=0.6,则 P(ξ>2)=0.2; ②若命题 P:? x0∈[1,+∞) ,x ﹣x0﹣1<0,则¬p:? x∈(﹣∞,1) ,x2﹣x﹣1≥0;

③已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =﹣3; ④设回归直线方程为 =2﹣2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 2 个单位. 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是(



A.10

B.11

C.12

D.13 = ,则下列结论中正确的是( )

7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

第 1 页(共 22 页)

A.

=2

B.

=

C.

=

D.

= )

8.六个人站成一排照相,则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为( A. B. C. D. 的最小值为( )

9.已知正数 x,y 满足 x+4y=4,则 A. B.24 C.20 D.18

10.如图,在边长为 1 的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积是( )

A.9

B.

C.18

D.27 )﹣ ,若 f(a)=1,则 f(﹣a)=( )

11.已知函数 f(x)=ln(2x+ A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3

12.已知函数 f(x)=|lnx|﹣1,g(x)=﹣x2+2x+3,用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值, 设函数 h(x)=min{f(x) ,g(x)},则函数 h(x)的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知不等式组

表示的平面区域的面积为 25,点 P(x,y)在所给平面区域内,

则 z=2x+y 的最大值为______. 14. (2x+ ﹣4)9 的展开式中,不含 x 的各项系数之和为______. 15. BC=4, 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上, 底面 ABCD 是矩形, 其中 AB=3, 又 PA⊥平面 ABCD,PA=5,则该球的表面积为______. 16.已知各项均为正数的数列{an}满足 an+1= an+ ,a1= ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 对于任意的 n∈N*,不等式 ≥2n﹣3 恒成立,则实数 k 的取值范围为______.

第 2 页(共 22 页)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 =(cosB,2cos2 ﹣1) , =(c,b﹣2a) ,且 ? =0. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若点 D 为边 AB 上一点,且满足 = ,| |= ,c=2 ,求△ABC 的面积. 18.PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物) ,为了探究 车流量与 PM2.5 的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 浓度的数据如下表: 时间 车流量 x(万辆) PM2.5 的浓度 y(微克/立方米) 周一 100 78 周二 102 80 周三 108 84 周四 114 88 周五 116 90

(Ⅰ)根据上表数据,用最小二乘法,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = ?x+ ; (Ⅱ)若周六同一时间段车流量 200 万辆,试根据(Ⅰ)求出的线性回归方程,预测此时 PM2.5 的浓度为多少?

(参考公式:

=



= ﹣ ? ;参考数据:

xi=540,

yi=420) 19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=4. (Ⅰ)若点 P 为 AA1 的中点,求证:平面 B1CP⊥平面 B1C1P; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得二面角 B1﹣CP﹣C1 的大小为 60°?若存在,求出 |AP|的值;若不存在,说明理由.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点

A( ,1) ,点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O:x2+y2=b2 相切于点 M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 OP⊥OQ,求点 Q 的纵坐标的值.

21.已知函数 f(x)=a﹣ ﹣lnx,其中 a 为常数.
第 3 页(共 22 页)

(Ⅰ)若 f(x)=0 恰有一个解,求 a 的值; (Ⅱ) (i)若函数 g(x)=a﹣ ﹣ ﹣f(x)﹣lnp,其中 p 为常数,试判断函数 g

(x)的单调性; (ii)若 f(x)恰有两个零点 x1,x2(x1<x2) ,求证:x1+x2<3ea﹣1﹣1. 四、请考在第 22、23、24 三题中任选一题作答:注意:只能做所选定的题目:如果多做, 则按所做的第一个题目计分. 22.如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、 D,连接 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED= ,圆 O 的半径为 2,求 OA 的长.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以原点 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为(1,0) ,圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,求|PA|+|PB|的值. 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)+f(x+5)≥9; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,求证:f(ab+3)>f(a+b+2) .

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2016 年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科) (1)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. ) 1.已知集合 A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则 A∪B 中的元素个数为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【考点】并集及其运算. 【分析】根据集合的定义与运算法则,进行计算即可. 【解答】解:∵集合 A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A}, ∴B={0,2,4}; ∴A∪B={0,1,2,4}; ∴A∪B 中的元素个数为 4. 故选:C.

2.如果复数 A.1

(b∈R,i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 b 的值为(



B.﹣6 C.3 D.﹣9 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部和虚部相等求得 b 的值. 【解答】解:∵ = 的实部和虚部相等,

∴6﹣b=﹣(2b+3) ,解得:b=﹣9. 故选:D.

3.已知 tan(α﹣ A. B.2

)= ,则 C.2 D.﹣2

的值为(



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】由 tan(α﹣ )= ,求出 tanα,然后对表达式的分子、分母同除以 cosα,然后

代入即可求出表达式的值. 【解答】解:由 tan(α﹣ 得 tanα=3. 则 故选:B. = . )= = ,

第 5 页(共 22 页)

4.双曲线 率为( A. )



=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3 相切,则双曲线的离心

B.

C.2

D.2

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由于双曲线 ﹣ =1( a>0,b>0)的渐近线与(x﹣2)2+y2=3 相切,可得圆

心(2,0)到渐近线的距离 d=r,利用点到直线的距离公式即可得出. 【解答】解:取双曲线的渐近线 y= x,即 bx﹣ay=0. =1( a>0,b>0)的渐近线与(x﹣2)2+y2=1 相切,

∵双曲线



∴圆心(2,0)到渐近线的距离 d=r, ∴ = ,化为 2b= c,

两边平方得 3c2=4b2=4(c2﹣a2) ,化为 c2=4a2. ∴e= =2. 故选:C. 5.给出下列四个结论: ①已知 ξ 服从正态分布 N(0,?2) ,且 P(﹣2≤ξ≤2)=0.6,则 P(ξ>2)=0.2; ②若命题 P:? x0∈[1,+∞) ,x ﹣x0﹣1<0,则¬p:? x∈(﹣∞,1) ,x2﹣x﹣1≥0;

③已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =﹣3; ④设回归直线方程为 =2﹣2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 2 个单位. 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据正态分布的性质进行判断, ②根据含有量词的命题的否定进行判断. ③根据直线垂直的等价条件进行判断. ④根据回归直线的性质进行判断. 【解答】解:①若 ξ 服从正态分布 N(0,?2) ,且 P(﹣2≤ξ≤2)=0.6,则 P(ξ>2) = = =0.2,故①正确,

第 6 页(共 22 页)

②若命题 p:? x0∈[1,+∞) ,x ②错误

﹣x0﹣1<0,则¬p:? x∈[1,+∞) ,x2﹣x﹣1≥0;故

③当 b≠0 时,两直线的斜率分别为



,由

?(

)=

=﹣1,即 a=﹣3b,

当 b=0,a=0 时,两直线分别为 l1:3y﹣1=0,l2:x+1=0,满足 l1⊥l2,故 l1⊥l2 的充要条件 是 错误,故③错误,

④设回归直线方程为 =2﹣2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均减少 2.5 个单位.故④ 错误, 故正确是①, 故选:A. 6.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( )

A.10

B.11

C.12

D.13

【考点】绘制结构图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:第 1 次执行循环体后,S=2,k=2,不满足退出循环的条件, 第 2 次执行循环体后,S=6,k=3,不满足退出循环的条件, 第 3 次执行循环体后,S=14,k=4,不满足退出循环的条件, 第 4 次执行循环体后,S=30,k=5,不满足退出循环的条件, 第 5 次执行循环体后,S=62,k=6,不满足退出循环的条件, 第 6 次执行循环体后,S=126,k=7,不满足退出循环的条件, 第 7 次执行循环体后,S=510,k=8,不满足退出循环的条件, 第 8 次执行循环体后,S=1022,k=9,不满足退出循环的条件, 第 9 次执行循环体后,S=2046,k=10,满足退出循环的条件, 故输出的 k 值为 10, 故选:A

7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

=

,则下列结论中正确的是(



第 7 页(共 22 页)

A.

=2

B.

=

C.

=

D.

=

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得 =3? =2,解方程可得.

【解答】解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且

=





=

=2,由等差数列的求和公式和性质可得:

=

=

=3?

=2,∴

=

故选:C 8.六个人站成一排照相,则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为( A. B. C. D. )

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】六个人站成一排照相,先求出基本事件总数,再求出甲、乙两人之间恰好站两人包 含基本事件个数,由此能求出甲、乙两人之间恰好站两人的概率. 【解答】解:六个人站成一排照相,基本事件总数 n= 甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数 m= ∴甲、乙两人之间恰好站两人的概率 p= = 故选:B. = . =720, =144,

9.已知正数 x,y 满足 x+4y=4,则 A. B.24 C.20 D.18

的最小值为(



【考点】基本不等式. 【分析】根据已知可将 ,化为 ,利用基本不等式可得

≥2

=8xy,从而原式:



=18.

第 8 页(共 22 页)

【解答】解:∵x+4y=4,可得:

=1,



=

=

=

=





≥2

=8xy,

∴ 故选:D.



=18.

10.如图,在边长为 1 的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积是( )

A.9

B.

C.18

D.27

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥,由三视图求出几何元素的长度,由锥 体的体积公式求出几何体的体积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个三棱锥 A﹣BCD, 三棱锥的外面是长、宽、高为 6、3、3 的长方体, ∴几何体的体积 V= 故选:A. =9,

第 9 页(共 22 页)

11.已知函数 f(x)=ln(2x+ A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3

)﹣

,若 f(a)=1,则 f(﹣a)=(



【考点】函数的值. 【分析】易知 f(a)=ln(2a+ )﹣ =1,化简 f(﹣a)=ln(﹣2a+ )



=ln(

)﹣

,从而求得.

【解答】解:由题意知, f(a)=ln(2a+ 故 f(﹣a)=ln(﹣2a+ )﹣ =1, )﹣

=ln(

)﹣

=﹣ln(2a+ =﹣(ln(2a+ 故选:D.

)﹣2+ )﹣ )﹣2=﹣3,

12.已知函数 f(x)=|lnx|﹣1,g(x)=﹣x2+2x+3,用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值, 设函数 h(x)=min{f(x) ,g(x)},则函数 h(x)的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】根据 min{m,n}的定义,作出两个函数的图象,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图,两个图象的下面部分图象, 由 g(x)=﹣x2+2x+3=0,得 x=﹣1,或 x=3, 由 f(x)=|lnx|﹣1=0,得 x=e 或 x= , ∵g(e)>0, ∴当 x>0 时,函数 h(x)的零点个数为 3 个, 故选:C.

第 10 页(共 22 页)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知不等式组

表示的平面区域的面积为 25,点 P(x,y)在所给平面区域内,

则 z=2x+y 的最大值为 17 . 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,结合可行域的面积求得 a 值,化目标函数为直线方程的斜 截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立 联立 联立 ∴

,解得 C(4,4) , ,解得 A(a,a) , ,解得 B(8﹣a,a) , ,即 a=﹣1,

∴B(9,﹣1) ,
第 11 页(共 22 页)

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过点 B 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 17. 故答案为:17. 14. (2x+ ﹣4)9 的展开式中,不含 x 的各项系数之和为 ﹣1 . 【考点】二项式定理的应用. 【分析】先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题,再利用赋值法求出各项系数和. 【解答】解: (2x+ ﹣4)9 的展开式中,不含 x 的各项系数之和,即( ﹣4)9 的各项系数 之和. 令 y=1,可得( ﹣4)9 的各项系数之和为(﹣1)9=﹣1, 故答案为:﹣1. 15. BC=4, 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上, 底面 ABCD 是矩形, 其中 AB=3, 又 PA⊥平面 ABCD,PA=5,则该球的表面积为 50π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】把四棱锥补成长方体,根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径,代 入球的表面积公式计算. 【解答】解:把四棱锥补成长方体,则四棱锥的外接球是长方体的外接球, ∵长方体的对角线长等于球的直径, =5 , ∴2R= ∴R= ,

外接球的表面积 S=4πR2=50π. 故答案为:50π.

16.已知各项均为正数的数列{an}满足 an+1= an+ ,a1= ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 对于任意的 n∈N*,不等式 【考点】数列递推式. 【分析】各项均为正数的数列{an}满足 an+1= an+ ,a1= ,变形为:an+1﹣ = (an﹣ ) , a1﹣ =3, an=3× 利用等比数列的通项公式可得: + , 可得 Sn. 不等式 ≥2n﹣3 恒成立,则实数 k 的取值范围为



≥2n﹣3 化为:k≥

.再利用数列的单调性即可得出.

【解答】解:∵各项均为正数的数列{an}满足 an+1= an+ ,a1= ,
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∴an+1﹣ = (an﹣ ) ,a1﹣ =3, ∴数列 ∴an﹣ =3× 是等比数列,首项为 3,公比为 . ,即 an=3× + ,

∴Sn=

+ =

+ .

不等式

≥2n﹣3 化为:k≥



令 f(n)=

,则 f(n+1)﹣f(n)=



=



则 n≤2,a1<a2<a3. n≥3,a3>a4>a5>…. ∴f(3)最大为 . 对于任意的 n∈N*,不等式

≥2n﹣3 恒成立,

∴k≥ . 故答案为: .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 =(cosB,2cos2 ﹣1) , =(c,b﹣2a) ,且 ? =0. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若点 D 为边 AB 上一点,且满足 = ,| |= ,c=2 ,求△ABC 的面积. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 (Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式,根据二倍角的余弦函数公 式,利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,求出 cosC 的值, (Ⅱ)利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出. 【解答】解: (Ⅰ)∵向量 =(cosB,2cos2 ﹣1) , =(c,b﹣2a) ,且 ? =0, ∴c?cosB+(b﹣2a)cosC=0, 由正弦定理可得, sinCcosB+(sinB﹣2sinA)cosC=0, ∴sinA﹣2sinAcosC=0,
第 13 页(共 22 页)

∵sinA≠0, ∴cosC﹣ , ∵C∈(0,π) , ∴C= (Ⅱ) ∴ , = = ,| ﹣ |= , ,c=2 ,

∴2 = + , 两边平方得 4| |2=b2+a2+2accosC=b2+a2+ac=28, (1) , 2 2 2 2 2 ∵c =b +a ﹣2accosC=b +a ﹣ac=12, (2) , 由(1) , (2)可得 ab=8, ∴S△ABC= absinC=2 .

18.PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物) ,为了探究 车流量与 PM2.5 的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 浓度的数据如下表: 时间 车流量 x(万辆) PM2.5 的浓度 y(微克/立方米) 周一 100 78 周二 102 80 周三 108 84 周四 114 88 周五 116 90

(Ⅰ)根据上表数据,用最小二乘法,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = ?x+ ; (Ⅱ)若周六同一时间段车流量 200 万辆,试根据(Ⅰ)求出的线性回归方程,预测此时 PM2.5 的浓度为多少?

(参考公式:

=



= ﹣ ? ;参考数据:

xi=540,

yi=420) 【考点】线性回归方程. 【分析】 (I)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程; (II)将 x=200 代入回归方程计算. 【解答】解: (Ⅰ) ×=108, (78+80+84+88+90)=84.

=(﹣8)×(﹣6)+(﹣6)×(﹣4)+0+6×4+8×6=144,

=(﹣8)2+(﹣6)2+0+62+82=200.

第 14 页(共 22 页)

∴ =



=84﹣0.72×108=6.24.

∴y 关于 x 的线性回归方程为 =0.72x+6.24. (II)当 x=200 时, =0.72×200+6.24=150.24.

∴此时 PM2.5 的浓度为 150.24 微克/立方米. 19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=4. (Ⅰ)若点 P 为 AA1 的中点,求证:平面 B1CP⊥平面 B1C1P; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得二面角 B1﹣CP﹣C1 的大小为 60°?若存在,求出 |AP|的值;若不存在,说明理由.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)推导出 B1C1⊥A1C1,B1C1⊥CC1,从而 B1C1⊥平面 ACC1A1,进而 B1C1⊥ CP,再求出 CP⊥C1P,从而 CP⊥平面 B1C1P,由此能证明平面 B1CP⊥平面 B1C1P. (Ⅱ)以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出在棱 AA1 上存在一点 P,使得二面角 B1﹣CP﹣C1 的大小为 60°,且|AP|=2 【解答】证明: (Ⅰ)∵∠A1C1B1=∠ACB=90°,∴B1C1⊥A1C1, 由直三棱锥性质得 B1C1⊥CC1,且 A1C1∩CC1=C1, ∴B1C1⊥平面 ACC1A1, ∵CP? 平面 ACC1A1,∴B1C1⊥CP, 由 A1A=BC=2AC=4,P 为 A1A 中点,知 CP=C1P=2 , ∴ = ,即 CP⊥C1P,

B1C1∩C1P=C1,∴CP⊥平面 B1C1P, ∵CP? 平面 B1CP, ∴平面 B1CP⊥平面 B1C1P. 解: (Ⅱ)如图,以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标 系, 设|AP|=a,P(2,0,a) ,C(0,0,0) ,B1(0,4,4) ,B(0,4,0) , =(2,0,a) , =(0,4,4) ,

设平面 B1CP 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,取 z=﹣1,得 =( ) ,

平面 C1CP 的一个法向量 =(0,4,0) , ∵二面角 B1﹣CP﹣C1 的大小为 60°,

第 15 页(共 22 页)

∴cos60°=

=

= ,

解得 a=2



∴在棱 AA1 上存在一点 P,使得二面角 B1﹣CP﹣C1 的大小为 60°,且|AP|=2

20.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点

A( ,1) ,点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O:x2+y2=b2 相切于点 M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 OP⊥OQ,求点 Q 的纵坐标的值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 A( ,1) ,

列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)由圆 O 的方程为 x2+y2=4,设点 Q 的纵坐标为 t,则 Q(2,t) ,当 MP⊥x 轴时,求 出 t=﹣2 ;当 PM 不垂直于 x 轴时,设直线 OP:y=kx(k>0,x>0) ,则直线 OQ:y=﹣ ,由|OP|?|OQ|=|PQ|?|OM|,能求出点 Q 的纵坐标的值.

【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点 A(

,1) ,



,解得 a2=8,b2=4,

∴椭圆 C 的方程为


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(Ⅱ)由(Ⅰ)得圆 O 的方程为 x2+y2=4, ①设点 Q 的纵坐标为 t,则 Q(2,t) ,当 MP⊥x 轴时, ∵点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,∴P(2, ) , ∵ ,解得 t=﹣2 .

②当 PM 不垂直于 x 轴时,设直线 OP:y=kx(k>0,x>0) , ∴直线 OQ:y=﹣ ,

则 P(x0,kx0) ,Q(﹣tx,t) , OPQ OP OQ = PQ ? 在△ 中,| | | | | |?|OM|, ∴ 即 =2 , =4[(x0+kt)2+(kx0﹣t)2], , ∴ ,∴ ,

又由

,∴



又由

,∴



∴ ∴t2=8,解得 t= . ∴点 Q 的纵坐标的值为

,∴

=0,



21.已知函数 f(x)=a﹣ ﹣lnx,其中 a 为常数. (Ⅰ)若 f(x)=0 恰有一个解,求 a 的值; (Ⅱ) (i)若函数 g(x)=a﹣ ﹣ ﹣f(x)﹣lnp,其中 p 为常数,试判断函数 g

(x)的单调性; (ii)若 f(x)恰有两个零点 x1,x2(x1<x2) ,求证:x1+x2<3ea﹣1﹣1. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,求得单调区间,由单调性,即可判断函数的零点个数;
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(Ⅱ) (i)求出 g(x)的导数,从而判断出 g(x)的单调性, (ii)要证 x1+x2<3ea﹣1﹣1, 可知知,p 是 h(x)的唯一最大值点,故有 ﹣lnp,通过导数判断单调性,整理,变形,即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)= ,令 f′(x)=0,解得:x=1, ,作函数 m(x)=lnx﹣

当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)递增, 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)递减, f(x)max=f(1)=a﹣1, ①当 f(x)max=0,解得:a=1,此时最大值点唯一,符合题意, ②当 f(x)max<0,即 a<1 时,f(x)<0 恒成立,不符合题意, ③当 f(x)max>0,即 a>1 时,ea>1,f(ea)=﹣ ∴f(e﹣a)=2a﹣ea≤2a﹣ea<0, (易证 ex≥ex) , ∴f(x)有 2 个零点,不符合题意, 综上:a=1; (Ⅱ) (i)由 g(x)=a﹣ ﹣ 得:g(x)=lnx﹣ ﹣lnp, ﹣f(x)﹣lnp, <0,e﹣a<1,

函数 g(x)的定义域是(0,+∞) ,且 p>0, ∵g′(x)= ≥0,

∴g(x)在(0,+∞)单调递增; (ii)f(x)=0?h(x)=ax﹣1﹣xlnx=0,故 x1,x2 也是 h(x)=0 的两个零点. 由 h′(x)=a﹣1﹣lnx=0,得 x=ea﹣1(记 p=ea﹣1) . 可知,p 是 h(x)的唯一最大值点,故有 ,

作函数 m(x)=lnx﹣

﹣lnp,则 m′(x)=

≥0,故 m(x)单调递增.

当 x>p 时,h(x)>h(p)=0;当 0<x<p 时,h(x)<0. 于是,ax1﹣1=x1lnx1< +x1lnp.

整理,得(2+lnp﹣a)x12﹣(2p+ap﹣plnp﹣1)x1+p>0, 即 x12﹣(3ea﹣1﹣1)x1+ea﹣1>0. 同理 x22﹣(3ea﹣1﹣1)x2+ea﹣1<0. 故 x22﹣(3ea﹣1﹣1)x2+ea﹣1<x12﹣(3ea﹣1﹣1)x1+ea﹣1, 即(x2+x1) (x2﹣x1)<(3ea﹣1﹣1) (x2﹣x1) ,
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于是 x1+x2<3ea﹣1﹣1. 四、请考在第 22、23、24 三题中任选一题作答:注意:只能做所选定的题目:如果多做, 则按所做的第一个题目计分. 22.如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、 D,连接 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED= ,圆 O 的半径为 2,求 OA 的长.

【考点】相似三角形的性质. 【分析】 (I)利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明; (II)利用圆的性质可得 = .再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC,于是 =

= .设 BD=x,BC=3x,利用切割线定理可得 BC2=BD?BE,代入解出即可. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图,连接 OC, ∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB,∴AB 是⊙O 的切线. (Ⅱ)解:∵ED 是直径,∴∠ECD=90°, 在 Rt△BCD 中,∵tan∠CED= ,∴ ∵AB 是⊙O 的切线, ∴∠BCD=∠E. 又∵∠CBD=∠EBC, ∴△CBD∽△EBC,∴ = = . = .

设 BD=x,BC=3x, 又 BC2=BD?BE,∴(3x)2=x?(x+4) . 解得:x1=0,x2= , ∵BD=x>0,∴BD= . ∴OA=OB=BD+OD= .

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23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以原点 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为(1,0) ,圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,求|PA|+|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)把直线 l 的参数方程消去参数 t 可得,它的直角坐标方程;把圆 C 的极坐标 方程依据互化公式转化为直角坐标方程. (Ⅱ)把直线 l 方程与圆 C 的方程联立方程组,求得 A、B 两点的坐标,可得|PA|+|PB|的 值.

【解答】解: (Ⅰ)∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,消去参数 t 可得 3x+

y﹣3=0. 圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ,即 ρ2=2 ρsinθ,即 x2+y2=2 y,即 x2+ =3.

(Ⅱ)由

求得

,或



故可得 A(



﹣ ) 、B(﹣



+ ) .

∵点 P(1,0) ,∴|PA|+|PB|=

+

=(2﹣

)+(2+

)=4.

24.已知函数 f(x)=|x﹣2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)+f(x+5)≥9; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,求证:f(ab+3)>f(a+b+2) . 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的复合函数形式,通过讨论 x 的范围,求出各个阶段上的 x 的范 围,从而求出不等式的解集; (Ⅱ)问题转化为:|ab+1|>|a+b|,通过作差法证明即可.

【解答】 (Ⅰ)解:f(x)+f(x+5)=|x﹣2|+|x+3|=



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当 x<﹣3 时,由﹣2x﹣1≥9,解得:x<﹣5, 当﹣3≤x≤2 时,f(x)≥9 不成立, 当 x>2 时,由 2x+1≥9,解得:x≥4, ∴不等式的解集是{x|x≤﹣5 或 x≥4}; (Ⅱ)证明:f(ab+3)>f(a+b+2)即|ab+1|>|a+b|, ∵|a|<1,|b|<1, ∴(ab+1)2﹣(a+b)2=(a2﹣1) (b2﹣1)>0, ∴|ab+1|>|a+b|, 故所证不等式成立.

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2016 年 10 月 4 日

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