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直线与圆知识点总结


直线与圆
1、直线的倾斜角与斜率:
k ? tan ? ,
y

当 ? ∈[0°,90°)时,斜率 k ∈[0,+∞) ; 当 ? ∈(90°,180°)时,斜率 k ∈(-∞,0) 。 过两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的直线斜率公式: k ? 2、直线的五种方程: ⑴点斜式: y ?

y0 ? k ( x ? x0 ) (直线 l 过点 P( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ). ⑵斜截式: y ? kx ? b ( k 为直线的斜率,b 为直线 l 在 y 轴上的截距). ⑶两点式:
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y2 ? y1 . x2 ? x1
O ? 2 ?

x

( y1 ? y2 且 x1 ? x2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ).

x y ⑷截距式: ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距,且 a、b ? 0 ) a b

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 3、两条直线平行和垂直的等价关系: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , 则① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 ; (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零; ① l1||l2 ?

A1 B1 C1 ? ? 或 A1 B2 ? A2 B1 ? 0且B 1C2 ? B 2C1 ; A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 4、两种常用直线系方程: ⑴与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为: Ax ? By ? ? ? 0( C ? ? ) ? 为参数 ⑵与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为: Bx ? Ay ? ? ? 0 ( ? 为参数) 5、两点间距离公式:
|P |= ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (其中两点为 P 1P 2 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) )

1

6、点到直线的距离公式:
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

7、两条平行直线间的距离公式:

d?

| C2 ? C1 | A2 ? B2

(直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ).

8、圆的两种方程:⑴圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (圆心为 (a, b) ,半径为 r ). ⑵圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 ). (圆心为 (?
D E , ? ) ,半径为 r ? 2 2

D2 ? E 2 ? 4F ) 2

9、点与圆的位置关系: 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种, 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则
d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

10、直线与圆的三种位置关系: 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系判断的两种方法: ⑴设圆心 (a, b) 到直线 l 的距离 d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



则 d ? r ? 相离;d ? r ? 相切;d ? r ? 相交。 ⑵将直线代入圆的方程消去 y,得到关于 x 的一元二次方程,再利用 ? 判断: 即: ? ? 0 ? 相交;?=0 ? 相切;? ? 0 ? 相离。 11、两圆位置关系的判定方法: 设两圆圆心分别为 O1、O2 ,半径分别为 r1、r2 , O1O2 ? d ,则: ⑴ d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;⑵ d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; ⑶ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;⑷ d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; ⑸ 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

2

12、圆的切线方程: ①过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时 必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ②若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则只有一条切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. 类型一:圆的方程 例 1 求满足下列各条件的圆方程: ?圆心在原点,半径为 3 2 ; ?圆心是点 C(3,-2) ,半径为 3; ?圆心是点 C(8,-3) ,且经过点 P(5,1) ; ④以点 P(-5,6)和 Q(5,-4)为直径的端点的圆方程; ⑤已知 ?ABC 三个顶点分别为 A?? 1,5?, B?? 2,?2?, C?5,5? ,求其外接圆的方程;

注意: (1)若圆上三个点的坐标,通常选用圆的一般方程,若给出圆心的位置,通常选 用标准方程; (2)根据条件列出 a, b, r 或 D, E , F 的方程组。

3

例 2、求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关系.

练习:求过两点 A?6,5?, B?0,1? 且圆心在直线 3x ? 10 y ? 9 ? 0 上的圆的标准方程。

4

例 3、求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

例 4、求与 x 轴切于点(5, 0)并在 y 轴上截得的弦长为 10 的圆的标准方程。

圆心的位置:?在任一弦的中垂线上;?在过切点与切线垂直的直线上;?两圆外切或 内切时,切点与两圆圆心三点共线。

5

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5、 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线.

例 6、过坐标原点且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ?

5 ? 0 相切的直线的方程为 2

例 7、已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为

.

类型三:弦长、弧问题 例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

6

例 9、求圆心为 C(2,-1) ,且截直线 y ? x ? 1 所得弦的长为 2 2 的圆方程。

例 10、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为

例 11、求两圆 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 5 的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系 例 12、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.

7

例 13、 若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 4 ? x 2 有且只有一个公共点, 求实数 m 的取值范围.

例 14、 圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?

类型五:圆与圆的位置关系 例 15 判断圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系。

例 16、圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线共有

条。

8

例 17、若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切,则实数

m 的取值集合是

.

例 18、求与圆 x 2 ? y 2 ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.

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