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广东省汕头一中2013年高三下学期4月模拟考试数学理试题


广东省汕头一中 2013 年高三下学期 4 月模拟考试 数学理试题
本试卷共页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。请将答案填在答题卡上。 集合 A ? ? y ? R |

y ? lg x, x ? 1 , B ? ?2, ?1,1,2? 则下列结论正确的是 ?
A. C.

1.

?

A ? B ? ??2, ?1?
A ? B ? (0, ??)
5

B.

(CR A) ? B ? (??,0)

D.

(CR A) ? B ? ??2, ?1?

2.

若 (ax ? 1) 的展开式中 x 3 的系数是 80 ,则实数 a 的值是
A.

?2
2

B.

2 2

C.

3

4

D.

2

3.

设 a ? R ,且 (a ? i) i 为正实数,则 a ?
A.

2

B.

1

C.

0

D.

?1

4.

已知命题 p : ?a, b ? (0, ??) ,当 a ? b ? 1 时, 立,则下列命题是假命题的是
A.

1 ? 1 ? 3 ;命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 恒成 a b

(?p) ? (?q)

B.

(?p) ? (?q)

C.

(?p) ? q

D.

(?p) ? q

5.

正项等比数列 {an } 满足 a3 ? 1 , S3 ? 13 , bn ? log3 an ,则数列 {bn } 的前 10 项和是
A.

65

B.

?65

C.

25

D.

?25

6.

已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ?
A.

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? 2OA ? OB

B.

??? ? ??? ? ?OA ? 2OB

C.

? ? 2 ??? 1 ??? OA ? OB 3 3

D.

? ? 1 ??? 2 ??? ? OA ? OB 3 3

7.

? x ? y ? 1≥ 0, ? 若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是 ? x ≤ 0, ?
·1·

A.

0

B.

1

C.

3

D.

9

8.

函数 y ? ?

(?3 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? 8? 的图象如下图,则 2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? ) ? 3 ?

A. B. C.

1 1 ? k ? ,? ? ,? ? 3 2 6 1 1 ? k ? ,? ? ,? ? 3 2 3 1 ? k ? ? , ? ? 2, ? ? 3 6 k ? ?3, ? ? 2, ? ?

D.

?

3

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请将答案填在答题卷上。 (一)必做题(9~12 题) 9. 请写出下面运算输出的结果_____________.

a?5 b?3 c ? ( a ? b) / 2 d ? c?c PRINT " d ? "; d
10. 从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的 挑选方法共有________________种. 11. 过点 M (1, 2) 的直线 l 与圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 交于 A, B 两点, C 为圆心,当 ?ACB 最
2 2

小时,直线 l 的方程是_____________. 12. 观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有_______个小正方形,第 n 个图中有 _______________个小正方形.

·2·

??
(二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选做 题 ) 在 极坐 标系 中,极 点 到曲 线 ? cos( _____________. 14. ( 不 等 式 选 讲 选 做 题 ) 若 a、 b 为 正 实 数 , a ? b ? 3 , 则 1 ? a ? 1 ? b 的 最 大 值 是 _____________. 15. (几何证明选讲选做题)如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与 弦 CD 的 延 长 线 相 交 于 点 P , 点 E 是 ⊙ O 上 一 点 ,

?
4

? ? ) ? 2 2 的 距离 是

E

AE ? AC , DE 交 AB 于 点 F , 且 AB ? 2 BP ? 4 , 则
PF ? _____________.

A

F

B D

P

C
三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。见答题卷。

数学(理科)试题
题号 一 1-8 二 9-15 16 17 18 三

答题卷
总分

19

20

21

评分

一、选择题:请将答案填在答题卡上。 二、填空题:请将答案填在相应题号的空格上。
·3·

9. ________________ 10.________________ 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________ 15.________________ 三.解答题:解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知角 A 、 B 、 C 所对的三条边分别是 a 、 b 、 c ,且 b 2 ? a ? c . (1)求证: 0 ? B ?

?

3 1 ? sin 2 B (2)求函数 y ? 的值域. sin B ? cos B



座位号 17.(本小题满分 14 分) 某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛 采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手累计答对 3 题或答错

3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则 2 被淘汰.已知选手甲答题的正确率为 . 3
(1)求选手甲可进入决赛的概率;
·4·

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

18.(本小题满分 14 分)
? 2 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, S n ? n ? N 均在函数 y ? 3x ? 2 x 的图像上.

?

?

·5·

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 bn ? 数m.

m 3 , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整 20 a n a n ?1

·6·

19.(本小题满分 14 分)
2 已知抛物线 C : x ?

1 y ,过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. 2



(1)求证: OA ? OB 为定值; (2)设 M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N ,证明:抛物线 C 在点 N 处 的切线与 AB 平行. 订

??? ??? ? ?

密 封 线 打 孔 线 装 订 打 孔 线 内 不 要 答 题 密 封 线 内 不 要 答 题

·7·

20.(本小题满分 12 分) 线
2 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 3a ? ?

1 ?a ? 0, a ? R ? . 2

题 答 不 线 密 题 要 内 封 密 线 不 答 封 内 要

(1)求函数 y ? f ? x ? 的极值; (2)若函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.







线









·8·



21.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A? 2, 0? 、 B ? ?2, 0? , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 的斜率之积 为? . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

3 4

?1 ? (2)过点 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的 ?2 ?
取值范围.

·9·

2013 年 4 月汕头一中高三模拟考试 数学答案
一、选择题:DDDB DABA 二、填空题: 9. d ? 16 ; 10. 140 ; 11. x ? y ? 3 ? 0 ; 12. 28 、 15. 3 ; 三.解答题:
2 16.(1)? b ? a ? c

(n ? 1)( n ? 2) ; 13. 2 2 ; 14. 10 ; 2

由余弦定理得 cos B ? 又 b ? (0, ? ) (2) y ?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? 2ac 2ac 2

--------------------------------(3 分)

?0 ? B ?

?
3

--------------------------------(2 分)

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ? ? ? cos B ? sin B ? 2 sin(B ? ) --------------(4 分) sin B ? cos B sin B ? cos B 4

?0 ? B ?

?
3

?

?
4

? B?

?
4

?

?1 ? 2 s i nB ? (

?
4

7? 12

) ? 2 ,即:函数的值域是 (1, 2 ] ---------------------------------(3 分)

·10·

3 17.(1)选手甲答 3 道题可进入决赛的概率为 ( ) ?

8 ; 27 8 2 2 2 1 2 选手甲答 4 道题可进入决赛的概率为 C 3 ( ) ? ? ? ; 3 3 3 27 1 2 2 16 2 2 2 选手甲答 5 道题可进入决赛的概率为 C 4 ( ) ? ( ) ? ? ; 3 3 3 81 8 8 16 64 ? ∴选手甲可进入决赛的概率 p ? + + . ------------------------------(6 分) 27 27 81 81
-----------------------------(1 分) ------------------------------(1 分)

2 3

(2)依题意, ? 的可能取值为 3, 4, 5 .
3 3 则 p (? ? 3) ? ( ) ? ( ) ?

2 3

1 3

1 , 3

2 1 2 1 2 1 10 p(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? , ---------------------------(1 分) 3 3 3 3 3 3 27 1 2 1 1 8 2 2 2 2 p(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? , ----------------------------(1 分) 3 3 3 3 3 3 27
因此,有

?
p

3
1 3

4

5
8 27
-----------------------------(2 分) ------------------------------(2 分)

10 27

1 10 8 107 26 ? E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? ?3 . 3 27 27 27 27
18. (1)依题意: Sn ? 3n2 ? 2n

------------------------------(2 分)

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 ∴ an ? 6n ? 5 (2)∵ bn ? -----------------------------(4 分)

1? 1 1 ? ? ? ? ? 6n ? 5??6n ?1? 2 ? 6n ? 5 6 n ?1 ? ? 3

----------------------------(2 分)

∴ Tn ? (2 分)

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ??1 ? 7 ? ? ? 7 ? 13 ? ? ? ? ? 6n ? 5 ? 6n ? 1 ?? ? 2 ?1 ? 6n ? 1 ? -------------------2 ?? ? ? ? ? ?? ? ?
m 1 ? ? ? ,即: ?n ? N , m ? 10 ?1 ? ? 20 ? 6n ? 1 ?
-----------------------------(4 分)
·11·

? 依题意: ?n ? N , Tn ?

∴ m ? 10 ,即:最小的正整数 m ? 10

19. (1)设直线 l 的方程为: y ? kx ?

1 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 。 -------------------------(1 分) 8

? 2 1 ?x ? 2 y 1 1 1 ? 2 ? 0 ,∴ x1 x2 ? ? 由? 得: x ? kx ? 2 64 16 ? y ? kx ? 1 ? 8 ?
∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 4 ? x1 x2 ? ? ?
2

------------------------(4 分)

3 为定值----------------------------(3 分) 64 k k (2)由(1)得:点 M 的横坐标为 ,∴点 N 的横坐标为 ----------------------------(3 分) 4 4 ∵ y ' ? 4x ∴ y'| k ? k ----------------------------(3 分)
x? 4

??? ??? ? ?

∴…平行

k2 x1 ? x2 k 2 ? , y0 ? 2 x0 ? 另解:设 N ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 2 4 8
设抛物线 C 在点 N 处的切线为 y ?

----------------------------(2 分)

k2 k? ? ? m? x ? ? 8 4? ?

? k2 k? ? ?y ? ? m? x ? ? m mk k 2 ? 8 4? 2 ? ? ? 0 -------------------------------(2 分) 由? 得: x ? x ? 2 8 16 ? x2 ? 1 y ? ? 2
∴? ?

? mk k 2 ? m2 ? 4? ? ? ? 0 ,解得: m ? k 4 ? 8 16 ?

-------------------------------(2 分)

∴…平行

20.(1) f ' ? x ? ? 3x ? 6ax ? 3x ? x ? 2a ?
2

---------------------------------(1 分) -----------------------------(1 分)

由 f ' ? x ? ? 0 得: x ? 0 或 x ? 2a 当 x 变化时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下表:

x

? ??, 0?

0

? 0, 2a ?

2a

? 2a, ? ??

·12·

f '? x?

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

f ? x?

∴当 x ? 0 时, f ? x ? 的极大值 f ? 0 ? ?

1 2 1 ? 4a 3 2
----------------------------(4 分)

当 x ? 2a 时, f ? x ? 的极小值 f ? 2a ? ? (2)∵ y ? f ? x ? 有三个不同零点 ∴由(1)得: 解得: a ?

1 ? 4a 3 ? 0 2

----------------------------(1 分) -----------------------------(1 分)

1 2
y y 3 , ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4

21. (1)依题意,有 kPA ? kPB ?

-----------------------------(2 分)

x2 y2 化简得: 4 ? 3 ? 1( x ? ?2 ) ,为所求动点 P 的轨迹 C 的方程------------------------(2 分)
(2)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x ? m , y ? n) 、 F ( x ? m , y ? n) ,则有

? ( x ? m)2 ( y ? n)2 ? ?1 ? ? 4 3 , ? 2 2 ? ( x ? m) ? ( y ? n) ? 1 ? 4 3 ?
两式相减,得

4mx 4n n 3x y ? 0 , ? ? 0 ? kEF ? ? ? ? 4 3 m 4y x ? 1 2

由此得点 M 的轨迹方程为: 6 x2 ? 8 y 2 ? 3x ? 0 ( x ? 0 ) .------------------------------(4 分) 设直线 MA : x ? my ? 2 (其中 m ?

1 ) ,则 k
------------------------------(3 分)

? x ? my ? 2 ? (6m2 ? 8) y 2 ? 21my ? 18 ? 0 , ? 2 6 x ? 8 y 2 ? 3x ? 0 ?
故由 ? ? (21m)2 ? 72(6m2 ? 8) ? 0 ?| m |? 8 ,即

1 ?8 , k
---------------------------(3 分)

? 1 1? 解得: k 的取值范围是 ? ? , ? . ? 8 8?

·13·


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