tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1导数的概念及其运算


§3.1
教学目标

导数的概念及其运算

1.导数的概念 (1)通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变 化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算 1 (1)能根据导数定义,求函数 y=c(c 为常数),y=x,y

= ,y= x,y=x2,y=x3 的导数. x (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则, 能求简单复合函数的导数.

学习内容

知识梳理
1.函数的平均变化率:

一般地,已知函数 y ? f ( x) , x0 , x1 是其定义域内不同的两点,记 ?x ? x1 ? x0 , ?y ? y1 ? y0 ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 称作函数 y ? f ( x) 在区间 [ x0 , x0 ? ?x](或 [ x0 ? ?x , x0 ] ) 的平均变化率. ? ?x ?x 注:这里 ?x , ?y 可为正值,也可为负值.但 ?x ? 0 , ?y 可以为 0 .

则当 ?x ? 0 时, 商

2.函数的瞬时变化率、函数的导数:

设 函 数 y ? f ( x) 在 x0 附 近 有 定 义 , 当 自 变 量 在 x ? x0 附 近 改 变 量 为 ?x 时 , 函 数 值 相 应 的 改 变 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) .
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于一个常数 l (也就是说平均变化率与某个常数 ? ?x ?x l 的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数) ,那么常数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) “当 ?x 趋近于零时, 趋近于常数 l ”可以用符号“ ? ”记作: ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) “当 ?x ? 0 时, ? l ”,或记作“ lim ? l ”,符号“ ? ”读作“趋近于”. ?x ?0 ?x ?x 函数在 x0 的瞬时变化率,通常称为 f ( x) 在 x ? x0 处的导数,并记作 f ?( x0 ) .

如果当 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

这时又称 f ( x) 在 x ? x0 处是可导的.于是上述变化过程,可以记作 “当 ?x ? 0 时,
3.可导与导函数:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ”或“ lim ? f ?( x0 ) ”. ?x ?0 ?x ?x

如果 f ( x) 在开区间 ( a , b) 内每一点都是可导的,则称 f ( x) 在区间 ( a , b) 可导.这样,对开区间 ( a , b) 内每个值 x ,都对应一个确定的导数 f ?( x) .于是,在区间 ( a , b) 内, f ?( x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函 数 y ? f ( x) 的导函数.记为 f ?( x) 或 y ? (或 yx? ) .

导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数. 4.导数的几何意义: 设函数 y ? f ( x) 的图象如图所示. AB 为过点 A( x0 , f ( x0 )) 与 B( x0 ? ?x , f ( x0 ? ?x)) 的一条割线. 由此割线的斜率
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率. 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时, 割线 AB ? ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 绕点 A 转动,它的最终位置为直线 AD ,这条直线 AD 叫做此曲线过点 A 的切线,即 lim ?切 ?x ?0 ?x 线 AD 的斜率. 由导数意义可知,曲线 y ? f ( x) 过点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率等于 f ?( x0 ) . 5. 初等函数的导数公式表



y ? f ( x)

y ? ? f ?( x)
y? ? 0

y ?c
y ? x n (n ? N ? ) y ? x? (? ? 0, ? ? 0, ? ? Q) y ? a x (a ? 0, a ? 1)

y? ? nxn ?1 , n 为正整数 y? ? ? x? ?1 , ? 为有理数 y? ? a x ln a

y ? log a x (a ? 0, a ? 1, x ? 0)
y ? sin x

y? ?

1 x ln a

y ? ? cos x y? ? ? sin x

y ? cos x

注: ln a ? log e a ,称为 a 的自然对数,其底为 e , e 是一个和 π 一样重要的无理数 e ? 2.7182818284 ? . 注意 (e x )? ? e x . 6.导数的四则运算法则: ⑴函数和(或差)的求导法则: 设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则 ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) , 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差) . ⑵函数积的求导法则: 设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则 [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导 数. 由上述法则即可以得出 [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) ,即,常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数. ⑶函数的商的求导法则: ? f ( x) ?? g ( x) f ?( x) ? f ( x) g ?( x) 设 f ( x) , g ( x) 是可导的, g ( x) ? 0 ,则 ? . ? ? g 2 ( x) ? g ( x) ? ? 1 ?? g ?( x) 特别是当 f ( x) ? 1 时,有 ? . ?? 2 ? g ( x) ? g ( x) ? 7. 复合函数的导数
复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=y′u· u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

例题讲解

题型一 利用定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数 f(x)=x3 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线与曲线 f(x)=x3 的交点. 思维启迪 正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是解本题的关键. 解 f′(x0)=xlim →x
0 0

f?x?-f?x0? x3-x3 0 =xlim →x0 x-x0 x-x0

2 2 2 =xlim →x (x +xx0+x0)=3x0.

曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为
2 3 y-x3 (x-x0),即 y=3x2 0=3x0· 0x-2x0,

由?

?y=x3, ? ? ?y=3x0x-2x0,
2 3

得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0.
3 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3 0),(-2x0,-8x0);若 x0=0,则交点坐标为(0,0).

思维升华 求函数 f(x)的导数步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f?x2?-f?x1? (2)计算平均变化率 = ; Δx x2-x1 (3)计算导数 f′(x)= lim → 巩 固
Δx 0

Δy . Δx
h 0

若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈(a,b),则lim → ( )

f?x0+h?-f?x0-h? 的值为 h

A.f′(x0) C.-2f′(x0) 答案 B 解析 lim →
h 0

B.2f′(x0) D.0

f?x0+h?-f?x0-h? h

=2×lim →
h 0

f?x0+h?-f?x0-h? =2f′(x0). 2h

题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数: 1? 2 1 (1)y=ex· ln x;(2)y=x? ?x +x+x3?; π? (3)y=sin2? ?2x+3?;(4)y=ln(2x+5). 思维启迪 求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导. 解 1 1 (1)y′=(ex· ln x)′=exln x+ex· =ex(ln x+ ). x x

1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x

π 1 1 2 (3)y=sin2(2x+ )= - cos(4x+ π) 3 2 2 3 1 1 2 故设 y= - cos u,u=4x+ π, 2 2 3 1 2 则 yx′=yu′· ux′= sin u· 4=2sin u=2sin(4x+ π). 2 3 (4)设 y=ln u,u=2x+5,则 y′x=y′u· u′x, 因此 y′= 思维升华 1 2 · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提

高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导, 有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量; (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导. 巩 固 求下列函数的导数.

(1)y=(x+1)(x+2)(x+3); x x (2)y=sin (1-2cos2 ); 2 4 (3)y=ln(x2+1). 解 (1)方法一 ∵y=(x2+3x+2)(x+3)

=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. x x 1 (2)∵y=sin (-cos )=- sin x, 2 2 2 1 1 1 ∴y′=(- sin x)′=- (sin x)′=- cos x. 2 2 2 1 2x (3)y′=ln(x2+1)′= 2 · (x2+1)′= 2 . x +1 x +1 题型三 导数的几何意义 例3 已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 思维启迪 由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点. 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,

又 f(2)=-2, ∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2, 即 x-y-4=0.
2 (2)设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4),

∵f′(x0)=3x2 0-8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),
2 又切线过点(x0,x3 0-4x0+5x0-4), 3 2 ∴x0 -4x2 0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0,或 y+2=0. 思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点: (1)当曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于 x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是 x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程是 y-f(x0)= f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 巩 固 解 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值. ∵y′=2ax+b,

∴抛物线在点 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1. 又∵点 P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1, 4a+2b+c=-1. a=3, ? ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ? ?c=9. ∴实数 a、b、c 的值分别为 3、-11、9. ① ② ③

综合题库

A组 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同. (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0). (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (5)若 f(x)=a3+2ax-x2,则 f′(x)=3a2+2x. (6)函数 y= x3的导数是 y′= 3x2. ( × ( × ( √ ( × ( × ( × ) ) ) ) ) )

2. 已知曲线 y=x3 在点(a,b)处的切线与直线 x+3y+1=0 垂直,则 a 的值是( A.-1 B.± 1 C.1 D.± 3 答案 B 解析 由 y=x3 知 y′=3x2,∴切线斜率 k=y′|x=a=3a2. 1 又切线与直线 x+3y+1=0 垂直,∴3a2· (- )=-1, 3 ∴即 a2=1,a=± 1,故选 B.

)

3. 如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 (

)

答案 D 解析 由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减, 说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x=x0 处相交, 说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. 4. (2013· 江西)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 答案 2 解析 设 ex=t,则 x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t 1 ∴f′(t)= +1,∴f′(1)=2. t 5. 曲线 y=e 答案 1 3
-2x -2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为________.

解析 y′=-2e

,曲线在点(0,2)处的切线斜率 k=-2,

∴切线方程为 y=-2x+2,该直线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形如图所示,

2 2 其中直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点为 A( , ), 3 3 所以三角形的面积 1 2 1 S= ×1× = . 2 3 3 B组 1. 设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为 ln 2 A.e2 B.e C. D.ln 2 2 答案 B 解析 由 f(x)=xln x 得 f′(x)=ln x+1. 根据题意知 ln x0+1=2,所以 ln x0=1,因此 x0=e. 2. 若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 答案 B 解析 f′(x)=4ax3+2bx, ( ) ( )

∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 3. 若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 ( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 答案 A 解析 切线 l 的斜率 k=4,设 y=x4 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x3 0=4,∴x0=1,∴切点为(1,1), 即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. 4. 曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为( 1 A. 12 1 1 1 B. C. D. 6 3 2 ) B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 )

答案 B 解析 求导得 y′=3x2,所以 y′=3x2|x=1=3, 所以曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1), 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形, 2 三个交点的坐标分别是( ,0),(1,0),(1,1), 3 1 2 1 于是三角形的面积为 ×(1- )×1= ,故选 B. 2 3 6 5. 已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,则 f2 015(x)等于 A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.sin x+cos x ( )

答案 A 解析 ∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ∴fn(x)是以 4 为周期的函数, ∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故选 A. 6. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2x· f′(2),则 f′(5)=________. 答案 6 解析 对 f(x)=3x2+2xf′(2)求导, 得 f′(x)=6x+2f′(2).令 x=2,得 f′(2)=-12. 再令 x=5,得 f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 7. 已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程是__________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的 切线的斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0), 所以切线方程为 x-y-2=0. 1 8. 若函数 f(x)= x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 答案 [2,+∞)

1 解析 ∵f(x)= x2-ax+ln x, 2 1 ∴f′(x)=x-a+ . x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, ∴f′(x)存在零点, 1 1 x+ -a=0,∴a=x+ ≥2. x x 9. 求下列函数的导数. (1)y=xnlg x; 1 2 1 (2)y= + 2+ 3; x x x sin x (3)y= n ; x (4)y=logasin x(a>0 且 a≠1). 解 1 1 - - (1)y′=nxn 1lg x+xn· =xn 1(nlg x+ ). xln 10 ln 10

1 2 1 (2)y′=( )′+( 2)′+( 3)′ x x x =(x 1)′+(2x 2)′+(x 3)′
- - -

=-x 2-4x 3-3x
- -

-4

1 4 3 =- 2- 3- 4. x x x xn?sin x?′-?xn?′sin x sin x (3)y′=( n )′= x x2n xncos x-nxn 1sin x = x2n


xcos x-nsin x = . + xn 1 (4)令 y=logau,u=sin x, 1 1 logae y′= logae· cos x= · logae= . u tan x tan x 1 4 10.已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 解 1 4 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 上,且 y′=x2, 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 4 2 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0,3x0+3?,则切线的斜率为 y′|x=x0=x0. 3 3 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? ?3x0+3?=x0(x-x0), 2 4 即 y=x2 x- x3 + . 0· 3 0 3 2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ , 3 3
2 3 2 2 即 x3 0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0.

C组 π 1. 在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标都为整数的点的个数是 4 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 依题意得,y′=3x2-9,令 0≤y′<1 得 3≤x2< 10 , 3

π 显然满足该不等式的整数 x 不存在,因此在函数 y=x3-9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、 4 纵坐标都为整数的点的个数是 0,选 A. 2. 若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致图象是( )

答案 A b b2 x+ ?2- +c, 解析 ∵f(x)=x2+bx+c=? ? 2? 4 b 由 f(x)的图象的顶点在第四象限得- >0,∴b<0. 2 又 f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选 A. 3. 已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则 a 的值为 ________. 答案 27 8

解析 设切点坐标为(t,t3-at+a). 由题意知,f′(x)=3x2-a, 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a, 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t). 将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t), 3 解之得,t=0 或 t= . 2 3 27 分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 k= -a, 2 4 27 由题意得它们互为相反数得 a= . 8 b 4. 设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 解 7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 ① ②

1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x

?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4,

b 1

? ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?

3? 3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=? (x-x0), ?1+x2 x 0? 3? ? 3? 即 y-? ?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).
0 0

6 令 x=0,得 y=- , x0 6? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x ?.
0

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x0|=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ? 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定值,且此定值为 6. 9 5. 设有抛物线 C:y=-x2+ x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限. 2 (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解 (1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1, ① ②

9 y1=-x2 1+ x1-4, 2 9 ①代入②得 x2 1+(k- )x1+4=0. 2 9 17 1 ∵P 为切点,∴Δ=(k- )2-16=0 得 k= 或 k= . 2 2 2 17 当 k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当 k= 时,x1=2,y1=1. 2 1 ∵P 在第一象限,∴所求的斜率 k= . 2 (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5. 将③代入抛物线方程得 x2- 13 x+9=0. 2



设 Q 点的坐标为(x2,y2),即 2x2=9, 9 9 ∴x2= ,y2=-4.∴Q 点的坐标为( ,-4). 2 2

归纳总结
方法与技巧 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是一个常量, 其导数一定为 0, 即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导 法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1. 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆. 复合函数的导数要正确分解函数的结构, 由外向内逐层求导. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.


推荐相关:

3.1导数的概念及其运算

3.1导数的概念及其运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一轮复习用§ 3.1 2014 高考会这样考 是简单的复合函数求导. 复习备考要这样做 导数的概念及其运算 1....


3.1导数的概念及其运算

3.1导数的概念及其运算_数学_高中教育_教育专区。§3.1 教学目标 导数的概念及其运算 1.导数的概念 (1)通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的...


3.1导数的概念及其运算

3.1导数的概念及其运算_数学_高中教育_教育专区。中国教育培训领军品牌 §3.1 教学目标 导数的概念及其运算 1.导数的概念 (1)通过对大量实例的分析,经历由平均...


2015步步高3.1导数的概念及其运算

§ 3.1 2014 高考会这样考 单的复合函数求导. 复习备考要这样做 导数的概念及其运算 1.利用导数的几何意义求切线方程;2.考查导数的有关计算,尤其是简 1.理解...


【步步高】2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算学案 理 苏教版

【步步高】2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算学案 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。第三章 学案 13 导数及其应用 导数的概念及运算 导学目标: 1....


2015届高三数学人教B版(通用,理)总复习配套文档:3.1导数的概念及其运算

2015届高三数学人教B版(通用,理)总复习配套文档:3.1导数的概念及其运算_数学_高中教育_教育专区。§ 3.1 导数的概念及其运算 Δy f?x0+Δx?-f?x0? 1. 函...


3.1 导数的概念及其运算 练出高分(含答案解析)

3.1 导数的概念及其运算 练出高分(含答案解析)_数学_高中教育_教育专区。导数的概念及其运算§ 3.1 导数的概念及其运算 A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分...


3.1 导数的概念及其运算

3.1 导数的概念及其运算_数学_高中教育_教育专区。有 梦 的 地 方 再 累 也 是 天 堂 ! § 3.1 导数的概念及其运算 1. 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 ...


§3.1 导数的概念及运算

§3.1 导数的概念及运算_数学_高中教育_教育专区。§ 3.1 导数的概念及运算 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? 函数 y=f(x)从...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com