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2013届高考等比数列练习题


等比数列练习题 一、选择题 1.(2010· 重庆卷)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比 q 的值为( A.2 C.4 答案:A 解析:∵a2010=8a2007,∴a2007·3=8a2007. q ∴q3=8.∴q=2. 2. (2010· 全国Ⅰ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}中,1a2a3=5,7a8a9=10, a4a5a6 a a 则 等于(

) B.7 D.4 2 B.3 D.8 )

A.5 2 C.6 答案:A

解析: 数列{an}为等比数列, a1a2a3=5 得 a23=5, a7a8a9=10 得 a83=10, 由 由 所以 a23a83 =50,即(a2a8)3=50,即 a56=50, 所以 a53=5 2(an>0).所以 a4a5a6=a53=5 2. 3. 数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-c,则 c=1 是数列{an}为等比数列的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 答案:C
?3-c ? 解析:数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-c,则 an=? n-1 ? 3 ?2·

)

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

?n=1? ?n≥2? .

由等比数列的定义可知:c=1?数列{an}为等比数列. a3+a4 4. 等比数列{an}的各项为正,公比 q 满足 q2=4,则 的值为( a4+a5 A. 1 4 B. 2 D. 1 2 )

1 C. ± 2 答案:D

解析:本题考查等比数列的概念和性质,属于基础题.∵等比数列{an}的各项为正,∴ a3+a4 a1q2+a1q3 1 1 q>0.又 q2=4,∴q=2,∴ = = = ,故选 D. a4+a5 a1q3+a1q4 q 2 5. (2010· 哈尔滨模拟)已知等比数列{an}满足 an>0, n∈N*, a3·2n-3=4n(n>1), 且 a 则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( A. n2 ) B. (n+1)2

C. n(2n-1) 答案:A 解析:由 a3·2n-3=4n 得 a a1·2n-1=an2=4n, a 又 an>0,∴an=2n, ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1·3· a2n-1) a …· =log221
+3+…+2n-1

D. (n-1)2

n?1+2n-1? =log22 2

=log22n2=n2. 6. 设数列{an}是首项为 1 公比为 3 的等比数列,把{an}中的每一项都减去 2 后,得到一 个新数列{bn},{bn}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N*,下列结论正确的是( 1 A. bn+1=3bn 且 Sn= (3n-1) 2 1 B. bn+1=3bn-2 且 Sn= (3n-1) 2 1 C. bn+1=3bn+4 且 Sn= (3n-1)-2n 2 1 D. bn+1=3bn-4 且 Sn= (3n-1)-2n 2 答案:C 解析:由已知易得 bn=3n 1-2, 故有 3bn+4=3(3n 1-2)+4=3n-2=bn+1, 3n-1 - 又 Sn=(1+3+32+…+3n 1)-2n= -2n,故选 C. 2 二、填空题 7.(2010· 福建卷)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an=________. 答案:4n
-1 - -

)

解析:∵S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=21a1=21, ∴a1=1.∴an=1·n 1=4n 1. 4 8.在正数等比数列{an}中,若 a1+a2+a3=1,a7+a8+a9=4,则此等比数列的前 15 项的和为________. 答案:31 a7+a8+a9 解析:设数列{an}的公比为 q(q>0),则有 q6= =4,注意到数列 S3,S6-S3, a1+a2+a3
- -

1×?1-25? S9-S6,S12-S9,S15-S12 是以 q3=2 为公比的等比数列,因此 S15= =31,即正数 1-2 等比数列{an}的前 15 项和为 31. 9. (2010· 济南模拟)等比数列{an}的公比为 q, n 项的积为 Tn, 前 并且满足 a1>1, 2009·2010 a a -1>0,(a2009-1)(a2010-1)<0,给出下列结论:①0<q<1;②a2009·2011<1;③T2010 是 Tn 中的 a 最大值;④使得 Tn>1 成立的最大的自然数是 4018.其中正确结论的序号为________.(将你 认为正确的全部填上) 答案:①②④ 解析:由题可知 a2009a2010>1,可得 a12q4017>1,则 q>0,如果 q>1,则(a2009-1)(a2010- 1)>0,与已知不符,所以 0<q<1,故①正确;由题可知 a2009>1,a2010<1,则 T4018=a1a2…a4018 =(a2009a2010)2009>1,T4019=a1a2…a4019=(a2010)4019<1,故④正确;由上式可知 T4019=(a2010)4019 4019 =(a2009a2011) <1, 所以 a2009a2011<1, 故②正确; 由题知 Tn=a1a2…an, n=2010 时,2010<1, 当 a 2 所以 T2010<T2009,又因为 a2009>1,所以 T2009 为最大,故③错.综上可知①②④正确. 三、解答题 32 10.等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·4= ,且公比 q∈(0,1). a 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值. 32 解:(1)∵a3·4=a1·6= , a a 9 32 由条件知:a1,a6 是方程 x2-11x+ =0 的两根, 9 1 32 解得 x= 或 x= . 3 3 32 1 又 0<q<1,∴a1= ,a6= , 3 3 a6 1 1 ∴q5= = ,q= , a1 32 2 1 1 - - 从而 an=a6·n 6= · )n 6. q ( 3 2 32 1 [1-? ?n] 3 2 1 1 (2)∵ =21,得( )n= , 1 2 64 1- 2 ∴n=6. 11. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.

解:(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),∴当 n=1 时,a1=2×1=2; 当 n=2 时,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4; 当 n=3 时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8. (2)∵a1+2a2+3a3+…+nan =(n-1)Sn+2n(n∈N*)① ∴当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1)② ①-②得 nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2 =n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2 =nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即 Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2) ∵S1+2=4≠0, ∴Sn-1+2≠0, ∴ Sn+2 =2, Sn-1+2

故{Sn+2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. 12. (2010· 四川卷)已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m,n∈N*都有 a2m-1+a2n
-1

=2am+n-1+2(m-n)2. (1)求 a3,a5; (2)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (3)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由题意,令 m=2,n=1 可得 a3=2a2-a1+2=6, 再令 m=3,n=1 可得 a5=2a3-a1+8=20. (2)当 n∈N*时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8. 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8, 即 bn+1-bn=8. 所以,数列{bn}是公差为 8 的等差数列. (3)由(1)、(2)的解答可知{bn}是首项 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列. 则 bn=8n-2,即 a2n+1-a2n-1=8n-2. 另由已知(令 m=1)可得,an= a2n-1+a1 -(n-1)2, 2


a2n+1-a2n-1 8n-2 那么,an+1-an= -2n+1= -2n+1=2n. 2 2 于是,cn=2nqn 1.


当 q=1 时,Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1). 当 q≠1 时,S n=2·0+4·1+6·2+…+2n·n 1. q q q q 两边同乘 q 可得 qSn=2·1+4·2+6·3+…+2(n-1)·n 1+2n·n. q q q q q 上 述 两 式 相 减 即 得 (1 - q)Sn = 2(1 + q1 + q2 + … + qn 1-?n+1?qn+nqn 1 2· , 1-q nqn 1-?n+1?qn+1 所以 Sn=2· . ?q-1?2
+ + -1 - -

1-qn ) - 2nqn = 2· - 2nqn = 1-q

?n?n+1?,q=1, ? 综上所述,Sn=? nqn+1-?n+1?qn+1 ,q≠1. ?2· ?q-1?2 ?


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