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高一文科数学知识点总结


高中数学必修 5 知识考点总结
第一章:解三角形
1、正弦定理:在 ? ? ? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外接圆的半径,则有
a s in ? ? b s in ? a 2R a?b?c s in ? ? s in ? ? s in C ? c s in C b 2R a s in

? 1 2
2 2 2

? 2R .

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② s in ? ? , s in ? ? , s in C ?
c 2R b s in ? 1 2 c s in C a b s in C ? 1 2
2 2 2

; (正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中)

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
? ? ?


a c s in ? .

3、三角形面积公式: S ? ? ? C ?

b c s in ? ?

4、余 定理:在 ? ? ? C 中,有 a ? b ? c ? 2 b c co s ? , b ? a ? c ? 2 a c co s ? ,
c ? a ? b ? 2 a b co s C .
2 2 2

5、余弦定理的推论: c o s ? ?

b ?c ?a
2 2

2

, cos ? ?

a ?c ?b
2 2

2

, cos C ?

a ?b ?c
2 2

2



2bc

2ac
2 2 2

2ab
?

6、设 a 、 b 、 c 是 ? ? ? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 为直角三角形; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 为锐角三角形;③若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 为钝角三角形.
2 2 2 2 2 2 ? ?

第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ? a n ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 (或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个 常数称为等差数列的公差. 12、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若
b ? a?c 2

,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.

13、若等差数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则 a n ? a 1 ? ? n ? 1 ? d .

第 1 页 共 6 页

通项公式的变形:① a n ? a m ? ? n ? m ? d ;② a 1 ? a n ? ? n ? 1 ? d ;③ d ? ⑤d ?
an ? am n?m

a n ? a1 n ?1

;④ n ?

a n ? a1 d

?1;


*

14、若 ? a n ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ? 是等差 数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2 a n ? a p ? a q ;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连
*

续 m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前 n 项和的公式:① S n ?
n ? a1 ? a n ? 2

;② S n ? n a 1 ?
*

n ? n ? 1? 2

d .

16、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ?
S奇 S偶 ? an a n ?1

? ,则 S

2n

? n ? a n ? a n ? 1 ? ,且 S 偶 ? S 奇 ? n d ,
S奇 S偶 n n ?1

.②若项数为 2 n ? 1 ? n ? ?

*

? ,则 S

2 n ?1

? ? 2 n ? 1 ? a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n ,

?

(其中

S 奇 ? n a n , S 偶 ? ? n ? 1? a n ) .

17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个 常数称为等比数列的公比. 18、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? a b ,则
2

称 G 为 a 与 b 的等比中项. 19、若等比数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公比是 q ,则 a n ? a 1 q 20、通项公式的变形:① a n ? a m q
n?m n ?1


n ?1

;② a 1 ? a n q

? ? n ?1?

;③ q

?

an a1

;④ q

n?m

?

an am



21、若 ? a n ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ? 是等比数
*

列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a n ? a p ? a q ;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续 m
*

2

项和构成的数列成等比数列。
? n a1 ? q ? 1 ? ? 22、等比数列 ? a n ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a 1 ? 1 ? q n ? a ? a q . n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
q ? 1 时, S n ?

a1 1? q

?

a1 1? q

q ,即常数项与 q 项系数互为相反数。

n

n

23、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ? ② S n?m ? S n ? q ? S m .
n

*

? ,则

S偶 S奇

? q .

③ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 成等比数列.

第 2 页 共 6 页

24、 a n 与 S n 的关系: a n ? ?

? S n ? S n ?1 ? ? S1 ?

?n ?n

? 2? ? 1?

一些方法: 一、求通项公式的方法: 1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法 ①若相邻两项相减后为同一个常数设为 a n ? kn ? b ,列两个方程求解; ②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为 a n ? an
2

? bn ? c ,列三个方程求解;
n

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为 a n ? aq 2、由递推公式求通项公式:

? b ,q 为相除后的常数,列两个方程求解;

①若化简后为 a n ?1 ? a n ? d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ), 形式,可用叠加法求解; ③若化简后为 a n ?1 ? a n ? q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解; ④若化简后为 a n ?1 ? ka n ? b 形式,则可化为 ( a n ? 1 ? x ) ? k ( a n ? x ) ,从而新数列 { a n ? x } 是等比数列, 用等比数列求解 { a n ? x } 的通项公式,再反过来求原来那个。 (其中 x 是用待定系数法来求得) 3、由求和公式求通项公式: ① a1 ? S 1 4、其他 (1) a n ? a n ? 1 ? f ? n ? 形式, f ? n ? 便于求和,方法:迭加; 例如: a n ? a n ? 1 ? n ? 1 有: a n ? a n ? 1 ? n ? 1
a 2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 4 ? a n ? a n ?1 ? n ? 1 各 式 相 加 得 a n ? a1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? a1 ?

② a n ? S n ? S n ?1

③检验 a 1 是否满足 a n ,若满足则为 a n ,不满足用分段函数写。

? n ? 4 ? ? n ? 1?
2

(2) a n ? a n ? 1 ? a n a n ? 1 形式,同除以 a n a n ? 1 ,构造倒数为等差数列; 例如: a n ? a n ? 1 ? 2 a n a n ? 1 ,则
a n ? a n ?1 a n a n ?1 ? 2 ? 1 a n ?1 ? 1 an

,即 ?

? 1 ? ? 为以-2 为公差的等差数列。 ? an ?

(3) a n ? q a n ? 1 ? m 形式, q ? 1 ,方法:构造: a n ? x ? q ? a n ? 1 ? x ? 为等比数列; 例如: a n ? 2 a n ? 1 ? 2 ,通过待定系数法求得: a n ? 2 ? 2 ? a n ? 1 ? 2 ? ,即 ? a n ? 2 ? 等比,公比为 2。 (4) a n ? q a n ? 1 ? p n ? r 形式:构造: a n ? xn ? y ? q ? a n ? 1 ? x ? n ? 1 ? ? y ? 为等比数列;
n (5) a n ? q a n ? 1 ? p 形式,同除 p ,转化为上面的几种情况进行构造;

n

第 3 页 共 6 页

因为 a n ? q a n ? 1 ? p n ,则 法

an p
n

?

q a n ?1 p p
n ?1

? 1 ,若

q p

? 1 转化为(1)的方法,若不为 1,转化为(3)的方

二、等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ? ②若 ?
?a1 ? 0 ?d ? 0 ?a1 ? 0 ?d ? 0

,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ?

? ak ? 0 ? a k ?1 ? 0 ? ak ? 0 ? a k ?1 ? 0

三、数列求和的方法: ①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值; ②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如: a n ? ? 2 n ? 1 ? ? 3 ;
n

③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:
an ? 1 n ? n ? 1? ? 1 n ? 1 n ?1

, an ?

1

? 2 n ? 1? ? 2 n ? 1?

?

1? 1 1 ? ? ? ? 等; 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:
a n ? 2 ? n ? 1 等;
n

四、综合性问题中 ①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为 a ? d 和 a ? d 类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为 aq 和
a q

类型,这样可以相乘约掉。

第三章:不等式
1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b , b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b , c ? 0 ? a c ? b c , a ? b , c ? 0 ? a c ? b c ;⑤ a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? a c ? b d ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ? , n ? 1 ? ;
n n

⑧a ? b ? 0 ?

n

a ?

n

b ? n ? ? , n ? 1? .

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式.

第 4 页 共 6 页

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 ? ? b ? 4 a c
2

? ? 0

? ? 0

? ? 0

二次函数 y ? a x ? b x ? c
2

?a

? 0 ? 的图象

有两个相异实数根 一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0
2

?a

? 0 ? 的根
ax ? bx ? c ? 0
2

x1, 2 ?

?b ? 2a

?

有两个相等实数根

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

没有实数根

? x1 ?a ?a
? 0?
2

? x2 ?
x ? x1或 x ? x 2 ?

?x

一元二次不 等式的解集

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax ? bx ? c ? 0

? 0?

?x

x1 ? x ? x 2 ?

?

5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x , y ? ,所有这 样的有序数对 ? x , y ? 构成的集合. 8、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x 0 , y 0 ? . ①若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的下方.

9、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 ,则 ? x ? ? y ? C ? 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域; ? x ? ? y ? C ? 0 表示直线
? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域.

②若 ? ? 0 ,则 ? x ? ? y ? C ? 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域; ? x ? ? y ? C ? 0 表示直线
? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域.

10、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x , y ? .

第 5 页 共 6 页

可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 11、设 a 、 b 是两个正数,则
a?b 2

称为正数 a 、 b 的算术平均数, a b 称为正数 a 、 b 的几何平均数.
a?b 2 ? ab .

12、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 a b ,即 13、常用的基本不等式: ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;
2 2

② ab ?

a ?b
2

2

2

?a,b ? R ? ;
2 2 2

a ?b ?a?b? ? ? a ? 0 , b ? 0 ? ;④ 2 ? 2 ? 14、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

③ ab ? ?

?a?b? ?? ? ? 2 ?

2

? a,b ? R ? .
2

⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 x y 取得最大值

s 4


p .

⑵若 x y ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2

第 6 页 共 6 页


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