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新疆乌鲁木齐地区2013届高三年级第三次诊断性测验理科数学试卷(word版)


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新疆乌鲁木齐地区 2013 届高三年级第三次诊断性测验 理科数学试卷
(卷面分值:150 分考试时间:l20 分钟)

注意事项: 1. 本卷分为问卷(4 页)和答卷,答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上. 2. 答卷前,先将答卷密封线内(或答题卡中的相关

信息)的项目填写清楚. 第 I卷 ( 选 择 题 共 60 分 )

—、选择题:共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 设全集 U= R+,集合 A=|x|log0.5x≥1|,B=|x||x|>1|,则“x∈A”是“ x ? C U B ”的 A.充分条件 C. 充分必要条件 2. 设函数 y B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

= f(x)的导函数为 f ? ( x ) ,若 y=f(x)的图象在点 P(1,f(l))处的切线方程

为 x-y+2=0,则 f(1)+ f ? (1 ) = A.4 3. 将函数 y
的图象,则 ?

B.3

C.2

D.1
?
3

= sin2x 的图象向左平移 ? (0< ? < ? )个单位后,得函数 y=sin(2x-

)

等于 B.
?
6

A.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

?x ? y ? 0 ? 4. 若实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0 >,则 3x ? 9y 的最大值是 ?y ?1 ?

A.3

B.9

C. 18

D.27

5. 现有 2 门不同的考试要安排在连续的 5 天之内进行,每天最多考一门,且不能连续两 天有考 试,则不同的安排方案有 A.6 种 B.8 种 C.12 种 D.16 种

6. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4 + a25 =5,则一定有 A. a6 是常数 B.S7 是常数 C.a13 是常数 D.S13 是常数

7. 已知函数①f(x) =x2;②f(x) =ex③f(x)=lnx ④f(x) =cosx.其中对于 f(x)定义域内的
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任意一个 xl 都存在唯一的 x2,使 f(x1) f(x2)=l 成立的函数是

A.①

B.②

C.②③

D.③④

8. 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是

A. C.2

2 3

B. D.6

4 3

9. 已知程序框图如图, 则输出的 I 的值是 A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 10. 在Δ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长 分别为 a,b,c,若 C = 120。,c= 3 a,则 A.a>b C.a =b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定
2 2

11 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A,B,C 是圆 x + y = 1 上相异三点,若存在正实数 λ ,? 使得 OC ? ? OA ? ? OB ,则λ +(?-3) 的取值范围是 A. [0, +∞) B.(2,+∞) C. (2,8)
1 3
2 2

D.(8,+∞) )x 有两个零点 x1,x2,则 C. x 1x 2 <x1 +x 2 D. x 1x 2 =x 1 +x 2

12.已知函数 f(x) = |log3(x-1)|-( A. x1x2 < 1 B. x1x 2 > x 1 + x 2

第 II 卷( 非 选 择 题 共 90 分 ) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作 f. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若复数
1 ? xi x ? i ? R ,其中 i 是虚数单位,则实数 x=______ .

14. 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=1 ,an =Sn-1,(n≥2),则 an =_____ 15.圆 C 经过点(1,0),且与直线 x
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= - 1 ,y =4 都相切,则点 C 的坐标为______

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16. 已知正方休内接于球 0,则所有与正方体的表面及球 0 的球面都相切的最大的球的 体积之 和与球 O 的体积之比为____. 三、解答题:第 17 ~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过 程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f(x)=x -kx +1,若存在 a ? (

?
2

,

3? 4

) ,使 f(sina)=f(cosa).

(I)当 k=

2 2

-时,求 tana 的值;

(II)求实数 k 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,? ABC =60°,PA 丄底面 ABCD, E,F 分别是 BC,PC 的中点,PA = AB = 2. (I)若 H 为 PD 上的动点,求 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值; (II)求二面角 E - AF - C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 某高校组织自主招生考试, 共有 2 000 名学生报名参加了笔试, 成绩均介于 195 分到 275 分 之间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成八组:第一

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组 [195,205), 二 [205,215),?,第八组[265,275].如图是按上述分组方法得到的频率 第 组 分布直方图,已知笔试成绩在 260 分以上(含 260 分)的同学取得面试资格. (I)估计所有参加笔试的 2000 名学生中,取得面试资格的学生人数; (II)面试时,每位考生抽取三个问题(每人在 回答三个问题时对每一个问题正确回答的 概率均为
1 2

).若三个问题全答错,则不能取得该校的自主招生资格;若三个问题均回答正确

且笔试成绩在 270 分以上,则 获 A 类资格(不参加高考,直接录取);其它情况下获 B 类资 格(参加高考,降分录取),武估计获得 A 类资格和 B 类资格的人数.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

? y

2

? 1 ( a ? 1 ) 上一点 M 也在直线 y ?

1? a 1? a

2 2

上,M 与 N(0,1)两点所

在直线过椭圆 C 的一个焦点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)已知 P(x0,y0) 椭 上一点,若过点 ( 是 圆C 交点 A,B,求证:PA 丄 PB.
x0 3 ,? y0 3 ) 的直线与椭圆 C 有两个异于 P 的

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) =ln(2ax +a -1) -ln(x + 1),其中 a∈R. (I)求 f(x)的单调区间; (II)是否存在 a 的值,使得 f(x)在[0,+ ? )上既存在最大值又存在最小值?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
2 2

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请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如 , 知 ABC 内接于圆,AB=AC,过点 B 作此圆的切线,与 AC 的 图 已 Δ 延长线相交于点 D,且 BD =2CD. ( I ) 若Δ ABC 的面积为 15 ,求 CD 的长; (II)若过点 C 作 BD 的平行线交圆于点 E,求
AB BE

的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 曲 ? , 线
o ? x ? cs s i ?y ? n

? ?

( ? 为参数),经坐标变换

? x ? ? ax ( a ? 0 , b ? 0 ) 后所得曲线记为 C.A,B 是曲线 C 上 点 且OA 丄 OB. 两 , ? ? y ? ? by

(I)求曲线 C 的普通方程; (II)求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值 24.(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲 已知函数 f(x) =|x-a|(a>0). (I)求证:f(m) +f(n)>|m-n| ; (II)解不等式 f(x)+f(-x)>2.

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2013 年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题 号 选 项 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C 9 C 10 C 11 B 12 C

1.选 B【解析】∵ lo g 0 .5 x ? ? 1 ? lo g 0 .5 x ? lo g 0 .5 2 ? 0 ? x ? 2 ,∴ A ? ? x 0 ? x ? 2 ? ; ∵ x ? 1 ? x ? ? 1 或 x ? 1 ,∴ B ? ? x x ? 1? , ?U B ? ? x 0 ? x ? 1

??

A.

2.选 A【解析】依题意有 f ? ? 1 ? ? 1 ,1 ? f ? 1 ? ? 2 ? 0 ,即 f ? 1 ? ? 3 ,∴ f ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ? 4 . 3. D 选 【解析】 依题意有 s in 2 ? x ? ? ? ? s in ? 2 x ?
? ?

? ?

对任意 x ? R 都成立, 2 x ? 2 ? ? ∴ ?, 3 ?

2x ?

?

? ? ? ? ? 2 k ? ,或 2 x ? 2 ? ? ? ? ? 2 x ? ? k? , k ? Z , ? ? 2 k ? , k ? Z ,即 ? ? ? 3 ? 3 6 ?
5? 6

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?
x


x?2 y

4.选 D【解析】∵ 3 ? 9 ? 3
y

, 3 ? 1 ,问题转化为求 x ? 2 y 的最大值,实数 x , y 满足

?x ? y ? 0 ? 条件 ? x ? y ? 0 ,作出其可行域,可知当且仅当 x ? y ? 1 时, ? x ? 2 y ? m a x ? 3 , ?y ?1 ?

∴3 ? 9 ? 3
x y

x?2 y

? 3 ? 27 .
3
2

5.选 C【解析】 2 门不同的考试安排在 5 天之内进行共有 A 5 种方案,其中考试安排在连续
2 2 2 两天有 4 A 2 种方案,故符合题意的安排方案有 A 5 ? 4 A 2 ? 1 2 种.

6. D 解析】 S 4 ? a 2 5 ? 5 ? ? 4 a 1 ? 选【 由
?

?

4?3 2

? d ? ? ? a1 ? 2 4 d ?

?

? 5 ? a1 ? 6 d ? 1 ? a 7 ? 1 ,

∴ S 13 ?

? a1

? a13 ? ? 1 3 2

? 13a7 ? 13 .

7.选 B【解析】对①,当 x 1 ? 0 , x 2 不存在;对②,任意的 x 1 ,存在唯一个 x 2 ( x 2 ? ? x 1 ) 使 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ? 1 成立;对③,当 x 1 ? 1 , x 2 不存在;对④,当 x 1 ? 8.选 C【解析】此几何体如图所示,
?
2

, x 2 不存在;

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∴V =
1 3 P D ? S ABCD ? 1 3 ?2?

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? 2 .

?1 ? 2 ? ? 2
2

9.选 C【解析】设 ? i , S ? ,由此框图得
? ? i ?1? ? 3, 1 ? ? ? 5 , 4 ? ? ? 7 , 9 ? ? ? ? ? i , ? ? ? 2 ? ? ?
2

2

? ? i ?1? ? .由 ? ? ? 100 ? i ? 21 . ? ? 2 ? ?
2
2

10.选 C【解析】∵ c o s C ?
b ? 2a
2 2

a

? b ? c
2

2

a ?

2

? b ?

?

3a

?

2

?

b ? 2a
2

2

,又 cos C ? ?

1 2



2ab

2ab
? 0 ?

2ab

∴?

1 2

?

? 2a

2

? ab ? b

2

?a

? b ??2a ? b ? ? 0 ? a ? b .

2ab

11. B 选 【解析】 依题意 B , O , C 三点不可能在同一直线上∴ O C ? O B ? O C O B c o s ? B O C
???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? c o s ? B O C ? ? ? 1,1 ? ,又由 O C ? ? O A ? ? O B 得 ? O A ? O C ? ? O B ,于是

???? ??? ?

???? ??? ?

?

2

?1? ?

2

???? ??? ? ? 2 ? O C ? O B ,记 f
2

?? ?

? ?

2

? ? ? ? 3 ? .则
2 2

f

?? ?

? 1? ?
? 2?
2

???? ??? ? 2 ? 2? OC ? OB ? ? ? ? 3? ? 2?
2

???? ??? ? ? 6 ? ? 2 ? O C ? O B ? 1 0 可知

f

?? ?

? 8 ? ? 1 0 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ,且 f
2 2

? ? ? ? 2?

2

? 4 ? ? 10

? 2?? ? 1? ? 8
2

无最大值,故 ? ? ? ? ? 3 ? 的取值范围为 ? 2 , ? ? ? . 12.选 C【解析】∵ f ?
? 4? ? ? 0, f ? 3?

?2?

? 0, f

?4?

? 4 ? 0 ,由零点存在条件,可知在区间 ? , 2 ? 3
? x 2 ,可以得到 1 ? x 1 ? 2 ? x 2 ,
x2

? ?, ?

? 2 , 4 ? 分别存在零点,记为 x 1 , x 2 ,不妨设 x 1
又由 f ? x 1 ? ? lo g 3 ? x 1 ? 1 ? ? ?
?1? 故 ? lo g 3 ? x 1 ? 1 ? ? ? ? ?3?
x1

?1? ? ?3?

x1

? 0, f

?1? ? x 2 ? ? lo g 3 ? x 2 ? 1 ? ? ? ? ?3?
x2

? 0,

?1? , lo g 3 ? x 2 ? 1 ? ? ? ? ?3?
x2

.两式相减,得

?1? lo g 3 ? x 2 ? 1 ? ? lo g 3 ? x1 ? 1 ? ? ? ? ?3?

?1? ?? ? ?3?

x1

? 0 ,即 lo g 3 ? x 2 ? 1 ? ? x 1 ? 1 ? ? lo g 3 1 ,

故 ? x 2 ? 1 ? ? x 1 ? 1 ? ? 1 ,所以 x 1 x 2 ? x 1 ? x 2 . 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ? 1 填 【解析】 ∵
?1 ? ?2 ?
n?2

1 ? xi x?i
? 1? ? 2?

?

?1 ?

xi ? ? x ? i ?

? x ? i?? x ? i?

?

2 x ? ? x ? 1? i
2

x ?1
2

? R , ∴

x ?1
2

x ?1
2

? 0 , x ? ?1 . 故

14.填 a n = ?

?n ?n

【解析】当 n ? 1 时, S 1 = a 1 ? 1 ;当 n ? 2 时,由 a n = S n ? 1 及

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a n = S n ? S n ? 1 ,得 S n = 2 S n ? 1 易知, S n ? 1 ? 0 ,∴ ? S n ? 是以 S 1 ? 1 为首项,以 2 为公

n ?1 n ?1 n?2 ? 2 比的等比数列,故 S n ? 1 ? 2 ,∴ a n = S n ? 1 ? 2 ,∴ a n = ?

?1 ? ?2 ?
n?2

?n ?n

? 1? ? 2?



? a ?1 ? b ? 4 ? 15.填 ? 1, 2 ? 或 ? 9 , ? 6 ? 【解析】设 C ? a ,b ? ,根据题意有 ? ,化简后 2 2 ? ? a ? 1? ? b ? a ? 1 ?

得?

?a ? b ? 3 ? 0 ?b
2

? 4a

或?

?a ? b ? 5 ? 0 ?b
2

? 4a

(无解) ,解得 ?

?a ? 1 ?b ? 2

或?

?a ? 9 ?b ? ?6

,∴点 C 的坐标为

? 1, 2 ? 或 ? 9 , ? 6 ? .
16.填
9?5 6 3 ?1 2 3

【解析】设此正方体的棱长为 1 ,则球 O 的直径为 3 ,半径为

3 2

,与此

正方体的表面及球 O 的球面都相切的最大的球的直径为

,半径为

3 ?1 4

,故所

有与此正方体的表面及球 O 的球面都相切的最大的球的体积之和与球 O 的体积之比
? 6? ?? 3 ? ? 4 3 ?1? ? ? 4 ?
3

? ? 4 ? 3 ? 9 ?5 :? ? ? ? ? ? ? 2 ? 6 ?3 ? ? ? ? ?
3

3



三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (Ⅰ)当 k ?
2 2

时,∵ ? ? ?

?? ? 2

,

3? ? ? ,∴ s in ? ? c o s ? . 4 ?

f

?x? ?
k 2 ?

x ? k x ? 1 关于 x ?
2

k 2

对称,又 f ? sin ? ? ? f ? c o s ? ? ,
? ?



2 4

?

s in ? ? c o s ? 2

,∴ s in ? ? ?

? ?

1 . ? ? 4 ? 2

∵? ? ?

?? ? 2

,

3? ? ? ? 5? 7? ? 3? ? ?? ,? ? ,? ? ? . ? ? ? ? ? ,∴ ? ? 4 ? 4 4 6 12 ? 4 ?

5? ? ta n ? ta n 5? ? ? ? 6 4 ∴ ta n ? ? ta n ? ta n ? ? ? ?2 ? ? ? 5? ? 12 4 ? ? 6 1 ? ta n ta n 6 4 7?

3 ;

?6 分

(Ⅱ)∵ ? ? ?

?? ? 2

,

3? ? ? ,∴ s in ? ? c o s ? . 4 ?

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f

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k 2

?x? ?
k 2 ?

x ? k x ? 1 关于 x ?
2

对称,又 f ? sin ? ? ? f ? c o s ? ? ,
? ?
2k 2



s in ? ? c o s ? 2
?? ? 2

,∴ s in ? ? ?
?

?

? ? 4 ?



∵? ? ?

,

3? ? ? ? ? 3? ? 3? ? ? ?? , ? ? ? s in ? ? s in ? ? ? . ? ,∴ ? ? ? ? s in 4 ? 4 4 ? 4 ? 4 ? ?

即0 ?

2k 2

?

2 2

? 0 ? k ? 1 ,故 k ? ? 0,1

?.

?12 分

18. (Ⅰ)由 A B C D 为菱形, ? A B C ? 6 0 ? ,知 ? A B C 为正三角形. ∵ E 是 B C 的中点,∴ A E ? B C , B C ∥ A D ,则 A E ? A D . 又 A E ? P A , P A ? A D ? A ,∴ A E ? 平面 P A D , 则 ? E H A 为 E H 与平面 P A D 所成的角, 在 R t ? E A H 中,因为 A E ?
3 , ta n ? E H A ?

AE AH

所以当 A H 最短,即 A H ? P D 时, ? E H A 最大, 此时,由 A H ? P D ? P A ? A D ,得 A H ?
6 2 6 2

2 ,

∴ ta n ? E H A ?



∴ E H 与平面 P A D 所成最大角的正切值为



?6 分

(Ⅱ)以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则有 A ? 0 , 0 , 0 ? , B ? 3 , ? 1, 0 ? ,

C

?

3 ,1, 0 , D ? 0 , 2 , 0 ? , P ? 0 , 0 , 2 ? , E

?

?

? 3 1 ? 3 ,0,0 , F ? , ,1 ? . 2 2 ? ? ?

?

故 AE ?

????

?

???? ? 3 1 ? 3 , 0, 0 , A F ? ? , ,1 . ? 2 2 ? ? ? ?

?

设平面 A E F 的法向量为 m ? ? a , b , c ? ,
???? ? 3a ? 0, ? m ? A E ? 0, ? ? ? ? 则? ???? 3 1 m ? AF ? 0. a ? b ? c ? 0. ? ? ? ? 2 2

取 c ? ? 1 ,则 m ? ? 0 , 2 , ? 1 ? , 由 B D ? A C , B D ? P A , P A ? A C ? A 知 B D ? 平面 A F C ,

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????

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????

故 B D 为平面 A F C 的法向量,又 B D ? ? ? 3 , 3, 0 ? ,
???? ???? m ? BD 则 cos?m , B D ? ? ? m BD 15 5



又二面角 E ? A F ? C 为锐角,故所求二面角的余弦值为 19. (Ⅰ)设第 i ? i ? 1, 2 , 3, ? , 8 ? 组的频率为 f i , 由频率分布图知

15 5



?12 分

f 7 ? 1 ? ? 0 .0 0 4 ? 0 .0 1 ? 0 .0 1 ? 0 .0 2 ? 0 .0 2 ? 0 .0 1 6 ? 0 .0 0 8 ? ? 1 0 ? 0 .1 2 .

所以成绩在 2 6 0 分以上的同学的概率 P ≈

f7 2

? f 8 ? 0 .1 4 ,

故这 2 0 0 0 名同学中,取得面试资格的约为 2 8 0 人; (Ⅱ)成绩在 2 7 0 分以上的同学的人数约为
f8 2 ? 2 0 0 0 ? 8 0 (人) .
?1

?4 分

设 8 0 人中三题都答对的的人数为 X ,则 X ? B ? 所以,获得 A 类资格的人数约为 1 0 人; 设 2 8 0 人中三题都答错的的人数为 Y , Y ? B ? 则

1 ? ,80 ? , E ( X ) ? ? 80 ? 10 8 ?8 ?

?1 ?8

,280

1 ? ? ,E ( Y ) ? ? 2 8 0 ? 3 5 8 ?

所以,获得 B 类资格的人数约为 2 8 0 ? 1 0 ? 3 5 ? 2 3 5 (人) . 分

?12

? ? 1? a 2a , , 2 2 ?y ? ?x ? ? 2 2 ? 2a 1? a ? ? ? 1? a 1? a , 20. (Ⅰ)由 ? 得? 不妨设 M ? ? ,左焦点为 F 1 . 2 2 ? 2 2 x 1? a ? 1? a 1? a ? 2 ? ? ? y ? 1. y ? . 2 ? 2 ? 1? a ?a ?
2 2

1? k MN ?

1? a 1? a 2a
2 2

2 2

? 1 ,由直线 M N 过左焦点 F 1 ,且倾斜角为 4 5 ,可得 a

?

2

? 2,

1? a

所求椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

?1 ;

?5 分

2

(Ⅱ)设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? .

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x0 3
2

(ⅰ)当 x 1 ? x 2 时,有 A B ? x 轴,此时 x 1 ? x 2 ?
y1 ? y 0 x0 3 ? x0 y2 ? y0 x0 3 ? x0 y1 ? y 0
2 2

, y1 ? ? y 2 ,
x1 2
2

k PA ? k PB ?

?

? ?

, 又

x1 2

2

4 9

? y1 ? 1 , y1 ? 1 ? ∴
2

? 1?

x0

2



x0

2

18

x0 2

2

? y 0 ? 1 ,∴ y 0 ? 1 ?
2 2

x0 2

2

,于是 y 1 ? y 0
2

2

? x0 ? ? x0 ? 4 x0 . ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 18 ? ? 2 ? 9 ?
2 2 2

∴ k P A ? k P B ? ? 1 ,故 P A ? P B . (ⅱ)当 x 1 ? x 2 时,设直线 A B 的斜率为 k ,则直线 A B 的方程为 y ?
y0 x0 ? ? ? k?x ? ?, 3 3 ? ?

即 y ? kx ? ?

? kx0 ? 3

?

y0 ? y0 ? ? kx0 ? ? ,记 m ? ? ? ? ,直线 A B 的方程为 y ? k x ? m , 3 ? 3 ? ? 3

点 A 、 B 满足 ?

? y ? kx ? m ?x ? 2y
2 2

? 2

?

?2k
2 2

2

? 1? x ? 4 k m x ? ? 2 m
2

2

? 2? ? 0 .

∴ x1 ? x 2 ?

?4km 2k
2

?1

, x1 x 2 ?

2m 2k

? 2 ?1


?4km 2k
2

∴ y1 ? y 2 ? ? k x1 ? m ? ? ? k x 2 ? m ? ? k ? x1 ? x 2 ? ? 2 m ? k

2

?1
m
2

? 2m ?
? 2k
2 2

2m 2k
2

?1



y1 y 2 ?

? k x1

? m

? ? kx2

? m

?

? k x1 x 2 ? m k ? x1 ? x 2 ? ? m
2

?

2k

?1



①若 k P A ,k P B 中有一个不存在时, 不妨设 k P A 不存在, P A ? x 轴, 即 此时 A ? x 0 , ? y 0 ? .
? y ? ? ? y0 ? ? ? 0 ? y0 ? ? ? y0 3 ? ? ? ? ? ? ∵ x0 x0 x0 ? ? x0 ? 3 y0 ? ? y ? 3 ? ? x , ? x 0 , ? y 0 ? ,? 0 , ? 0 ? ,? ? x 0 , y 0 ? 共线, ∴ x0 3 ? ? 3 3

可知 B ? ? x 0 , y 0 ? ,∴ P B ∥ x 轴,故 P A ? P B . ②若 k P A , k P B 都存在.
2m 2k
2

k PA ? k PB ?

y 0 ? y1 x 0 ? x1

?

y0 ? y2 x0 ? x2

?

y0 ? y0
2

? y1

? y2

?? ?

y1 y 2

y0 ? y0
2

x0 ? x0
2

? x1 ? x 2

? x1 x 2

? x0 ? x0
2

?1 ?1

? ?

m

2

? 2k
2 2 2

2

2k 2m 2k

?1 ? 2 ?1

? 4 km 2k
2

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?

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2

?2k ?2k

2

? 1? y 0 ? 2 m y 0 ? m
2 2

? 2k
2

2

2

? 1? x 0 ? 4 k m x 0 ? 2 m

? 2
2

,由 m ? ? ?
2 2

? kx0 ? 3

?

x0 y0 ? 2 ? y0 ? 1 , ?及 2 3 ?

2

代入此式,化简后得 k P A ? k P B ? 综上所述, P A ? P B .

? 8k x0 ? 16 y0 ? 8kx0 y0 8k x0 ? 16 y0 ? 8kx0 y0
2 2 2

? ? 1 ,故 P A ? P B .

?12 分
2

21. (Ⅰ) f ( x ) ? ln ( 2 a x ? a ? 1) ? ln ( x ? 1) ? ln
2

2ax ? a ? 1
2

x ?1
2



设 g (x) ?

2ax ? a ? 1
2

x ?1
2

, g ?( x ) ? ?

2 ( x ? a )( a x ? 1)

? x ? 1?
2

2



(1)当 a ? 0 时, f ( x ) 无意义,∴ a ? 0 .
?1? a (2)当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 ? ? 2a
2

? , ?? ? . ?

令 g ? ( x ) ? 0 ,得 x 1 ? ? a , x 2 ?
x
( ? ? , x1 )
x1

1 a

, g ( x ) 与 g ? ( x ) 的情况如下:
x2

( x1 , x 2 )

( x2 , ? ? )
?

g ?( x )
g (x)

?

0
g ( x1 )
2

?

0
g ( x2 )
2


1? a


1? a



? ??a? ? ? 0 ,∴ ? ?a . 2 2 1 1 ? 2a a 1 ? 2a a 1 ? ? ? 0 ,∴ 2 ? . ? 1 ? a 21 ? ? 1 ? 2a a 2a a a 故 f ( x ) 的单调递增区间是 ? , ? 单调递减区间是 ? , ? ? ? . ? a ? ? 2a ? a ? ; 2 ? 1? a (3)当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 ? ? ? , . ? 2a ? ? 1?a 2a
2

1? a

2

?

令 g ? ( x ) ? 0 ,得 x 1 ? ? a , x 2 ?
x
(?? , x2 )
x2

1 a

, g ( x ) 与 g ? ( x ) 的情况如下:
( x1 , ? ? )

( x 2 , x1 )

x1

g ?( x ) g (x)

?

0
g ( x2 )
2

?

0
g ( x1 )
2

?


1? a


1? a 2a 2 1? a 2a



1? a

2

2a 2 1? a 2a

? ??a? ? ? 1 a ? ?

? 0 ,∴

? ?a . ? 1 a
2

2a 2 1? a 2a

? 0 ,∴
? ?


? ? .?5 分 ?

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ? ? ? ,
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? 1 1? a 1 ? ? ;单调递减区间是 ? , a ? 2a ? a

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?1? a ? 2a

2

(Ⅱ) (1)当 a > 0 时,由(Ⅰ)可知, f ( x ) 在 ? 递减,所以 f ( x ) 在 [0 , + 由于 f ( x ) 的定义域为 ?
?

,

1 ? ? 1 ? ? 单调递增,在 ? , ? ? ? 单调 a ? ? a ?

1 2 ) 上存在最大值 f ? ÷ = ln a .下面研究最小值: ? ÷ ? ÷ 桫 a
2

?1? a 2a

? , ?? ? . ?

①若

1? a 2a 1? a 2a

2

? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,结合 f ( x ) 的定义域可知 f ( x ) 在 ? 0 , ? ? ? 上没

有最小值,不合题意.
2

②若

? 1? ? 1? ? 0 ,即 a ? 1 时,∵在 0 , 单调递增,∴ f ( x ) 在 ? 0 , ? 存在最小 ? a? ? ? ? a?

值 f ( 0 ) ; f ( x ) 在? , + ∵ ?
?a 桫

骣 1

骣 ÷ 单调递减, f ( x ) 在 ? 1 , + ∴ ÷ ? ÷ ?a 桫

÷ 不存在最小值. ÷ ÷

所以,要使 f ( x ) 在 [ 0 , + 计算整理 g ( x ) - g ( 0 ) = 要使 f ( x ) 在 [ 0 , +
g ( x ) - g (0 )

) 上存在最小值,只可能是 f ( 0 ) = ln ( g ( 0 )) .
2ax + a - 1 x + 1
2 2 2 2 x 轾 - a ) x + 2a (1 犏 臌

- ( a - 1) =

x + 1

2



) 上存在最小值,需且只需 " x
0.

[0, +

),

∵ x ? 0 ,则问题转化为 " x

[0, +

) , (1 - a
2

2

)x +

2a

0 恒成立.
2

设 h ( x ) = (1 - a 2 ) x + 2 a ,则需且只需 1 ? a ? 0 ,或 ?
0< a

?1 ? a

? 0

? h (0 ) ? 0

.可解得:

1 ,这与 a > 1 相矛盾,∴ f ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 上没有最小值,不合题意.
? ? 1? a 2a
2

(2)当 a < 0 时,由于 f ( x ) 的定义域为 ? ? ? , ①若
1? a 2a
2

? ?. ?

? 0 ,即 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 上没有意义,也不存在最

大值和最小值. ②若
1? a 2a
2

? 1? a ? 0 , a ? ? 1 时, (Ⅰ) 即 由 可知 f ( x ) 在 ? 0 , 2a ?

2

? ? 单调递减,f ( x ) ?

存在最大值,但不存在最小值. 综上,不存在 a 的值,使得 f ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 上既存在最大值又存在最小值.?12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)设 C D = x ,则 B D ? 2 x ,由切割线定理 B D ? C D ? A D ,
2

即 ? 2 x ? ? x ? A D , A D ? 4 x ,∴ A C ? A B ? 3 x ,
2

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在 ? A B C 中, c o s ? B A D =

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AB + AD
2 2

? BD

2

2 AB ? AD 9x
2

?

7 8

,故 s in ? B A D ?

15 8



而 S ?ABC ? ∴x =
4 3

1 2

A B ? A C s in ? B A C =

1 5 ,即

9x

2

15 ?

15 ,

16

16

,即 C D =

4 3


CF BD ? AC AD ? AF AB ?

?5 分
3x 4x 3x 4 ? 3 4 ,

(Ⅱ) C E 交 A B 于 F , ? A B D 中, C F ∥ B D , 设 在 ∵ ∴ 又 B D = 2 x , A B = 3 x ,∴ C F ?
3x 2 , AF ? 9x 4

,∴ B F ? A B ? A F ?



∵ ? B A C = ? B E C , ? C F A = ? B F E ,∴ ? C F A ∽ ? B F E ,
3 AC ? ? 2 3 EB BF 4 CF x ? 2 .∵ A B ? A C ,∴ x
AB EB

? 2 .

?10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)由 ?
? x ? cos ? ? y ? s in ?
y? b
2

( ? 为参数)及 ?

? x? ? ax ? y? ? by

得?

? x? ? acos? ? y ? ? b s in ?

,消去 ? ,得

x? a

2

2

?

2

? 1 ,即为曲线 C 的普通方程;

?5 分

(Ⅱ)以直角坐标系 x O y 的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C

的极坐标方程为

? ? cos? ?
a
? ?
2

2

?

? ? s in ? ?
b
2

2

? 1 ,即 ?

2

?

a b
2 2

2

2 2 2

b c o s ? ? a s in ?



不妨设 A ? ?1 , ? 1 ? , B ? ? 2 , ? 1 ?
2 2 2 2

? ?

? ,代入 C 的极坐标方程,有 2 ?

?? ?

?

a b
2 2

b c o s ? ? ? a s in ? ?

, ? ?? ?

a b
2 2

2

2 2 2

b s in ? ? ? a c o s ? ?
OA OB AB



设点 O 到直线 A B 的距离为 h ,则 h =

?

?1 ? ? ?? ? ? ?
? ?

? 1

1
?

??
? b c o s ? ? ? a s in ? ?
2 2 2 2

?

1

??

?

1 ? b s in ? ? ? a c o s ? ?
2 2 2 2

?

ab a +b
2 2

(定值) .

?10 分

a b

2

2

a b

2

2

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24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ) f ? m ? ? f ? n ? ? m ? a ? n ? a ? ? m ? a ? ? ? n ? a ? ? m ? n ; (Ⅱ)由 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? x ? a ? x ? a ? 2 , (ⅰ)若 a ? 1 ,∵ ? x ? R ,有 x ? a ? x ? a ? x ? a ? ( x ? a ) ? 2 a ? 2 ,不等式 恒成立,此时不等式的解集为 R ; (ⅱ)若 0 ? a ? 1 ,不等式等价于
? x ? ?a, ? ?? ?x ? a? ?

?5 分

?x

? a ? ? 2.

或?

??a ? x ? a, ?? ?x ? a? ?

?x

? a ? ? 2.

或?

? x ? a, ? ?? x ? a ? ? ? x ? a ? ? 2. ?

解得 x ? ? 1 ,或 x ? 1 . 综上,当 a ? 1 时,解集为 R ;当 0 ? a ? 1 时,解集为 ? x x ? ? 1, x ? 1? .?10 分

第 15 页 共 15 页

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