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2011届高三数学第一次模拟测试题7


山东省济宁一中 2011 届高三第一次模拟测试

数学试题(文科)
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1. A ? { x | x 2 ? x ? 6 ? 0} , B ? { x | m x ? 1 ? 0} 且 A ? B ? A ,则 m 的取值范围 ( A. ? , ?
?3 ?1 1? ? 2

?



? B. ? 0, ?

?

1 3

,?

1? ? 2?

C. ? 0, , ?
? 3

?

1

1? ? 2?

D. ? , ?
?3 2?

?1 1 ?

2.一元二次方程 a x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , (a ? 0 )有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( ) A. a ? 0 3.复数 A.
5 3 ? 4i

B. a ? 0

C. a ? ? 1

D. a ? 1 ( )

的共轭复数是:
i

3 5

?

4 5

B.
?
4

3 5

?

4 5

i

C. 3 ? 4 i

D. 3 ? 4 i ( )

4. 已知 ? ? ? ?

,则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) 的值是

A.-1 B.1 C.2 D.4 5. 将边长为 a 的正方体 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D—ABC 的体 积为 ( ) A.
a
3

B.

a

3

C.

3 12

a

3

D.

2 12

a

3

6

12

x (x≤1) ?2 6.若函数 f (x)=? ,则 y=f (1-x)的图象可以是 ?log0.5x(x>1)

( y 2 -1



y 2 O 1 A 7.方程 lg | x |? A.0 x O B

y 2

y 2

x

O

x

O

x

x ? 2 的解的个数为

C C.2 D.3

D ( )

B.1

8.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 o 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米, 那么 x 的值为 A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.3 ( )

9.已知 log 2 ( x ? y ) ? log A. ( 0 ,1]
x
2

2

x ? log

2

y ,则 x ? y 的取值范围是

( D. [ 4 , ?? )



B. [ 2 , ?? )
y
2

C. ( 0 , 4 ]

10. 椭圆

?

12

3

=1 的一个焦点为 F1, P 在椭圆上. 点 如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, (
3 2

那么点 M 的纵坐标是 A.±
3 4



B.±

C.±

2 2

D.±

3 4

1 11.已知 f(x)是定义 R 在上的偶函数,f(x)在[0,+ ∞]上为增函数,f( )=0,则不等 3 式 f( log
1 8

x)>0 的解集为 1 B. ,1)∪(2,+ ∞) ( 2 1 D. (0, )∪(2,+ ∞) 2





1 A. (0, ) 2 C. (2,+ ∞)

12.设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结 论错误的是 ( ) .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 13.若 x<0,则函数 f ( x ) ? x 2 ?
1 x
2

?x?

1 x

的最小值是

?x ? y ? 6 ? 0 ? 14.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?x ? 3 ?



15.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 7 .

则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点

16.直线 y ? 2 x ? m 和圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于点 A、B,以 x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原点)的角为 ? ,OB 为终边的角为 ? ,若 AB ? _________ 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知向量 a =(cos ? ,sin ? ) b =(cos ? ,sin ? ) a ? b |= , ,|
?
? ? ?
2 5 5

3 ,那么 sin(? ? ? ) 的值是



(Ⅰ)求 cos( ? - ? )的值; (Ⅱ)若0< ? <
?
2

,-

?
2

< ? <0,且 sin ? =-

5 13

,求 sin ? 的值.

18.为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查, 测得身高情况的统计图如下:

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 180~190cm 之间的男生 中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 .. 185~190cm 之间的概率. 19.如图, A, B, C, D 为空间四点.在 △ A B C 中, AB ? 2, AC ? BC ? 等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (Ⅰ)当平面 AD B ? 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ ADB 转动时,是否总有 AB ? C D ? 证明你的结论.
D

2 .

A B 20. { a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a 3 ? b5 C 21 , ?

a 5 ? b3 ? 13 .

(Ⅰ)求 { a n } 、 {b n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {
an bn } 的前 n 项和 S n 。

21.已知抛物线 C : y 2 ? ax 的焦点为 F,点 K ( ?1,0) 为直线 l 与抛物线 C 准线的交点,直线
l 与抛物线 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D .

(1)求抛物线 C 的方程。 (2)证明:点 F 在直线 BD 上; (3)设 F A ? F B ?
??? ? ??? ? 8 9

,求 ? BD K 的面积。 .

22.已知函数 f(x)=x 3 -3ax 2 +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。

参考答案
一、选择题: CCACD CCCDA DC 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 13. 4. 14. 36 15. (1.5,4) 16.
? 3 2

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. 解: (Ⅰ) ? a ? ? cos ? , ? ? , ? ? cos ? , ? ? , sin b sin
? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ? , ? ? sin ? ? . sin
? ? 2 5 ? a?b ? , 5
2 5 5

?

?

---------------------------------------1 分

?

? cos ?

? cos ?

?

2

? ? sin ? ? sin ?

?

2

?

.---------------------------------2 分

即 2 ? 2 cos ? ? ? ? ? ?
? cos ? ? ? ?

4 5



---------------------------------------------------4 分

??

3 5



------------------------------------------------------------------5 分

(Ⅱ)∵ 0 ? ? ?

?
2

,? 3 5

?
2

? ? ?0,

∴ 0 ? ? ? ? ? ? . ---------------------6 分
4 5 .

∵ cos ? ? ? ? ? ? ∵ sin ? ? ?
5 13

,∴ sin ? ? ? ? ? ?
12 13

----------------------------------8 分

,∴ cos ? ?

. -----------------------------------------------------9 分

∴ sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? ?
? 4 12 3 ? ? 5 13 5 ? 5 ? 33 ?? ? .-----------------------------------------------------------12 分 ?? ? 13 ? 65

18. 解 : (Ⅰ)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (Ⅱ)由统计图知,样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样 本容量为 70 ,所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 f ? 计该校学生身高在 170~180cm 之间的概率 p ? 0.5. (Ⅲ)样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④, 样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥, 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:
35 70 ? 0.5, 故有 f 估

故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15,至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9, 因此,
. 15 5 19.解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 D E, C E ,

所求概率 p 2 ?

9

?

3

D

因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ? AB . 当平面 AD B ? 平面 ABC 时, 因为平面 A D B ? 平面 ABC ? A B , 所以 D E ? 平面 ABC , 可知 D E ? C E 由已知可得 D E ?
3, EC ? 1 ,
B
2

E

A

C

在 R t△ D EC 中, C D ?

DE ? EC
2

? 2.

(Ⅱ)当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? C D . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC = BC, AD ? BD , 所以 C, D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ? C D .

(ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ? DE . 又因 AC ? BC ,所以 AB ? C E . 又 D E, C E 为相交直线,所以 A B ? 平面 C D E , 由 C D ? 平面 C D E ,得 AB ? C D . 综上所述,总有 AB ? C D . 20. (Ⅰ)设 ? a n ? 的公差为 d , ? bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且?
?1 ? 2 d ? q ? 2 1, ?
4

?1 ? 4 d ? q ? 1 3, ?
2

解得 d ? 2 , q ? 2 .

所以 a n ? 1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ? 1 , bn ? q n ?1 ? 2 n ?1 . (Ⅱ)
an bn ? 2n ? 1 2
n ?1


2n ? 3 2 2n ? 3 2 2 2
n?3 n?2

Sn ? 1 ?

3 2
1

?

5 2 5
2

?? ? ?? ?

? ?

2n ? 1 2 2n ? 1 2
n?2 n ?1

,① ,②
? 2n ? 1 2
n ?1

2Sn ? 2 ? 3 ?

2

②-①得 S n ? 2 ? 2 ?

?

2 2
2

?? ? 2

2
n?2



1 1 1 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n ?1 2 2 2 2 ? ?

1? ? 2 ? 2? 2 1?

1
n ?1

1 2

?

2n ? 1 2
n ?1

? 6?

2n ? 3 2
n ?1



21. (1) y 2 ? 4 x 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , D ( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? m y ? 1( m ? 0) . (2)将 x ? my ? 1 代人 y 2 ? 4 x 并整理得 y 2 ? 4 m y ? 4 ? 0 , 从而
y1 ? y 2 ? 4 m , y1 y 2 ? 4.
y ? y2 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? ( x ? x2 ) ,

直线 BD 的方程为



y ? y2 ?

4 y 2 ? y1

?(x ?

y2 4

2

) 令 y ? 0, 得 x ?

y1 y 2 4

? 1.

所以点 F (1, 0) 在直线 BD 上

(3)由①知, x1 ? x 2 ? ( my1 ? 1) ? ( my 2 ? 1) ? 4 m 2 ? 2
x1 x 2 ? ( m y1 ? 1)( m y 2 ? 1) ? 1. 因为

uur uur F A ? ( x1 ? 1, y1 ), F B ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ,

uur uur 2 FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4 m



8 ? 4m ?
2

8 9

,解得

m ??

4 3

所以 l 的方程为 3 x ? 4 y ? 3 ? 0, 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 又由①知 22.
y1 ? y 2 ? 4 m ? 16 3

故 S?

?

1 2

K F ? y1 ? y 2 ?

1 2

?2?

16 3

?

16 3

①式无解,②式的解为

5 4

?a?

5 3



因此 a 的取值范围是 ?

?5 5? , ?. ?4 3?


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