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高中数学回归课本(排列、组合、二项式定理


1.排列数公式

0! ? 1 .

0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n .
1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2n?1 .

m = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = An

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ). (n ? m)!

2.排列恒等式 (1) A ? (n ? m ?1) A
m n m?1 n

n m m m?1 An (2) A ? ?1 (3) A n ? nA n?1 n?m
m n

r 0 r ?1 1 0r r r (9) Cm Cn ? Cm Cn ? ? ? Cm Cn ? Cm ?n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n (10) (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n.
m 6.排列数与组合数的关系 Anm ? m . ! ? Cn

?1 n m m m?1 (4) nAnn ? Ann? . 1 ?A n (5) A n?1 ? A n ? mA n

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!?1 . 3.组合数公式
m = Cn

7.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位”
1 ①某(特)元必在某位有 Anm?? 1 种;②某(特)元不在某 1 1 m ?1 位 有 Anm ? Anm?? 1 ( 补 集 思 想 ) ? An ?1 An ?1 ( 着 眼 位 置 ) m 1 m ?1 ? An ?1 ? A m ?1 A n ?1 (着眼元素)种.

n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) A n! = = 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! A
m n m m

( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). 4.组合数的两个性质 (1) C nm = Cnn?m (2) C nm + Cnm?1 = Cnm?1 . 5.组合恒等式
n ? m ? 1 m ?1 n n m ?1 m m m C ? Cn (2) Cn ? Cn Cn ? Cn (1) ?1 (3) ?1 ; m n?m m
m n

*

规定 Cn0 ? 1 .

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
m? k k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Akk An ①定位紧贴: ? k 种.

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法
? k ?1 k 有 Ann? k ?1 Ak 种.注:此类问题常用捆绑法;

?1 (4) ? C nr = 2 n (5) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cnr ? Cnr? 1.
r ?0

n

③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合
1

在一起来作全排列, k 个的一组互不能挨近的所有排列数有
h k Ah Ah ?1 种.

物体分给 m 个人,物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?,
nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配
n n n 方法数共有 N ? C p ? Cp Cn ? m!? ? n ...
1 2 m 1 m

(3)两组元素各相同的插空
m 个大球 n 个小球排一列,小球必分开,有多少种排法?
n Am n 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 n?1 ? C m ?1 种排法. An

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P1 = n 2+ ? n + )m个物体分给 +n m 个人,物件必须被分完,分

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各
n 组元素分别相同的排列数为 Cm ?n .

别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分 别有 a、b、c、?个相等,则其分配方法数有
N?
nm n1 n2 Cp ? Cp C.n ? m! ? n1 . . m

8.分配问题 (1) (平均分组有归属问题)将相异的 m 、n 个物件等分给 m 个 人 , 各 得 n 件 , 其 分 配 方 法 数 共 有
n n n n n N ? C mn ? Cmn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?

a!b!c! . . .

?

p !m ! . n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...)

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个 物体分为任意的 n1 , ?, 且 n1 , ?, nm 件无记号的 m 堆, n2 , n2 ,
nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数有 N ?
p! . n1!n2!...nm!

(m n)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为 无记号或无顺序的 m 堆,其分配方法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn (mn)! ? n ? Cmn ? 2 n ...? C2 n ? Cn . N? ? m! m!(n!)m

(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P1 = n 2+ ? n + )m个物体分为任意的 +n n1 ,n2 ,?,nm 件无记号

的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个
2

个相等,则其分配方法数有 N ?

p! . n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和 为 [ f (1) ? f (?1)] ;偶数项的系数和为 [ f (1) ? f (?1)] ;
1 2 1 2

(7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 +?+nm )

个物体分给甲、乙、丙,??等 m 个人,物体必须被分完, 四.高考题回顾 如果指定甲得 n1 件, 乙得 n2 件,丙得 n3 件, ?时,则无论 n1 , 一、组数问题:
n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数

1(2004 年全国卷二.文理 12)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所 有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的 数共有( ). A. 56 个 B. 57 个 C. 58 个 D. 60 个

恒有 N ? C ? C
n1 p

n2 p ? n1

...C

nm nm

p! . ? n1!n2!...nm!

9.二项式定理
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

2.(辽宁卷)用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数 字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻, 而7与8不 相邻, 这样的八位数共有 . 个 (用数字作答) .

1, 2?,n) . 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cnr a n?r b r (r ? 0,

.二项式系数具有下列性质: (1) 与首末两端等距离的二项式系数相等; (2) 若 n 为偶数,中间一项(第 +1 项)的二项式系数最
n ?1 n ?1 大;若 n 为奇数,中间两项(第 和 +1 项)的二项 2 2 n 2

3. 从集合{ P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9}中各任限 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复). 每 排中字母 Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是 ________.(用数字作答). 4.(江西卷)将 9 个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙 分在同一组,则不同分组方法的种数为( A.70
3

式系数最大;
0 1 2 n 0 2 1 3 (3) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1 ;



B.140

C.280

D.840

二、分配问题: 5(2004 年全国卷三.文理 12)将 4 名教师分配到 3 所中学 任教, 每所中学至少 1 名教师, 则不同的分配方案共有 ( ) . A.12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种

A.

2 2 A6 C4

B.

1 2 2 A6 C4 2

C.

2 2 A6 A4

D.

2 2 A6

三、几何问题: 9.(2004 年北京卷.理 7)从长度分别为 1,2,3,4,5 的五条线 段中,任取三条的不同取法共有 n 种. 在这些取法中,以取 出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m ,则 m
n

6(北京卷)北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名 志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数 为( )
12 4 (B) C14 A12 A84 (C) 14

等于(

).

A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5

10. 湖北卷) 以平行六面体 ABCD—A′B′C′D′的任意
4 C12C12 C84 12 4 3 (D) C14 C12C84 A3 3 A3

12 4 (A) C14 C12C84

三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则 这两个三角形不共面的概率 p 为 ( A.
367 385

7. (湖北卷)把一同排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,至多分 2 张, 且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是( A.168 B.96 C.72 )


18 385

B.

376 385

C.

192 385

D.

11 (2004 年湖南卷.文理 10) 从正方体的八个顶点中任取三 ( ) 个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为( A. 56 B. 52 C. 48 D. 40 ).

D.144

8. 某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生, 要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安 排方案种数为( ).

四.二项式定理问题 12.(全国卷Ⅲ) 在(x?1)(x+1)8 的展开式中 x5 的系数是( (A)?14
4

)

(B)14

(C)?28

(D)28

? 1 ? 13. (山东)如果 ? 3x ? 3 2 ? 的展开式中各项系数之和为 128, x ? ?

n

19.(04 年福建卷.理 9)若 (1 ? 2 x ) 9 展开式的第 3 项为 288,
lim ( 则n ?? 1 1 1 ? 2 ? ??? ? n x x x

)的值是( ). C.
1 2

则展开式中

1 的系数是( x3



A. 2
3 n 2 n n n?1

B. 1

D.

(A)7 (B) ?7 (C)21 (D) ?21 14. 设 n ? N ,则 C ? C 6 ? C 6 ? ? ? C 6
1 n 2 n
?

2 5

?
6

五.课本中习题归纳 一.分类计数原理与分步计数原理 1.书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本 不同的文艺书,第 3 层放有 2 本不同的体育书. (1)从书架上任取 1 本书,有 . 种不同的取法; 种不同的取法;

15. (湖南卷)在(1+x)+(1+x) +……+(1+x) 的展开式中,x 项的系数是 16.(04 年天津卷.理 15) 若 (1 ? 2x)
2004

2

2

.(用数字作答)

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a2004 x
2

2004

( x ? R) ,

(2)从书架的第 1,2,3,层各取 1 本,有

则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ??? ? (a0 ? a2004 ) =
x

2.一种号码锁有 6 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字,这 6 个拨号盘可以组成 个六位数字号码.

17. (04 年福建卷.文 9)已知 ( x ? a )8 展开式常数项为 1120, 其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是( ). A.
28

3.要从甲,乙,丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班,有 种不同的选法. 4.乘积 (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 ? b4 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 展开后共 有 项.

B.

38

C. 1 或 38

D. 1 或 28

18.(04 年上海卷.9)若在二项式 ( x ? 1)10 的展开式中任取一 项,则该项的系数为奇数的概率是 表示)
5

.(结果用分数是

5.用 1,5,9,13 中任意一个作分子,4,8,12,16 中任意一个数作 分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分

数;可构造

个不同的假分数.

共有

种不同的送法.

6.(1) 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 横 坐 标 与 纵 坐 标 均 在
A ? {0,1, 2,3, 4,5} 内取值的不同点共有

10.某信号兵用红,黄,白 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上 表示信号,每次可以任挂 1 面,2 面或 3 面,并且不同的顺序表 示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号. 个没有重复数字的

个.

(2) 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 直 线 y ? k x? b的 斜 率 在 集 合 ,截距在集合 C ? {2, 4, 6,8} 内取值 ,这样不同 B ? {1, 2 , 5内取值 ,} 的直线共有 条.

11.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成 三位数;可以组成 成

个没有重复数字的三位偶数;可以组

7.(1)4 名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队, 每人限报其中的 1 个运动队,则有 方法. (2)3 个班分别从 5 个风景点中选择 1 处游览,则有 不同的选法. 二.排列 组合 二项式定理 8.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与 其余各队在主,客场分别比赛 1 次,共进行 场比赛. 种 种不同的报名

个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数. 个没有重复数字,并且比

12.由数字 1,2,3,4,5 可以组成 2005 大的正整数.

13.(1)7 个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法; (2) 7 个人站成一排,如果甲不站在正中间,有
(3) 7 个人站成一排,如果甲,乙 2 人必须站在两端,有

种排法;
种排法;

(4) 7 个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端, 有 种排法;

9.(1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本, 共有 种不同的送法;

(5) 7 个小孩子站成两排,其中 3 个女孩站在前排,4 个男孩站 在后排,有 种排法;
种排法.

(2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,
6

(6) 7 个小孩子站成两排,其中前排站 3 人,后排站 4 人,有

14.(1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览,有

种不同的方法;

(2)从 4 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的游览 顺序,有 种不同的方法.
条;

种币值. 20.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛. (1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法; 种选

15.(1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有

(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段 共有 条.

(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 法;

16.一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. (1)从口袋内取出 3 个球,共有 种取法;
种取法; 种取法.

(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内, 有 种选法; 种选法.

(2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有 (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含有黑球,有

(4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有

21. ( x ? a)12 的 展 开 式 中 的 倒 数 第 四 项 的 系 数 是 220, 则
a?
1 x

17.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产 品中任意抽出 3 件. (1)一共有 品的抽法有 种不同的抽法;(2)抽出的 3 件中恰 1 件是次 种; 种.

;常数项等于

. ;(
x 3 12 ? ) 的展开 3 x

22. ( x ? )9 的展开式中 x3 的系数是 式的中间一项是 .

(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有
1 2 3 4 5 18.计算:(1) C50 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ?

23. ( x y ? y x )15 的 展 开 式 的 中 间 两 项 系 数 的 和 等 于 .

; ; .

(2) C22 ? C32 ? C42 ? C52 ? C62 ? C72 ? (3) C50 ? C52 ? C54 =

1 3 5 ;(4) C5 = ? C5 ? C5

19.1 圆,2 圆,5 圆,10 圆的人民币各 2 张,一共可以组成
7



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