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高中数学必修5第二章数列单元测试


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高中数学必修 5 第二章数列单元测试
一:选择题(共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分。 )
1.已知等差数列 ? a n ? 满足 a 2 ? a 4 ? 4 , a 3 ? a 5 ? 1 0 ,则它的前 10 项的和 S 1 0 ? ( A.138 B.135 C.95 D.23 ) )

2.若等差数列 { a n } 的前 5 项和 S 5 ? 2 5 ,且 a 2 ? 3 ,则 a 7 ? (

A.12 B.13 C.14 D.15 3. 已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于( (A)30 (B)45 (C)90 (D)186 是( ) (A)d<0 (B)a7=0



4.设 ?a n ?( n ? N ) 是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的 (C)S9>S5
5 2

(D)S6 和 S7 均为 Sn 的最大值.
2

5.在数列 { a n } 中, a n ? 4 n ? 数,则 a b ? ( (A)-1 (B)0 ) (C)-2

, a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a n ? b n , n ? N * ,其中 a 、 b 为常

(D)1
1 4

6. 已知{an}是等比数列, a 2 ? 2 , a 5 ? (A) ?
1 2

,则公比 q=( (C)2

) (D)
1 2

(B)-2

7. 记等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 2 0 ,则该数列的公差 d ? ( A.2 B.3 C.6 D.7
S4 a2
17 2



8. 设等比数列 { a n } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则
15 2
n

?(



A. 2

B. 4

C.

D.

9. 若数列 { a n } 的前 n 项的和 S n ? 3 ? 2 ,那么这个数列的通项公式为( A. a n ? ( )
2 3
n ?1



B. a n ? 3 ? ( )
2

1

n ?1

C. a n ? 3 n ? 2

D. a n ? ?

?1, n ? 1 ?2 ?3
n ?1

,n ? 2

10. 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a 3 ? a 7 ?a11 为一个确定的常数,则下列各数中也是 常数的是( ) A.S6
11.

B.S11

C.S12

D.S13 ( )

已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, n=pn -2 S

(p∈R, n∈N*), 那么数列{an}

A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 12. 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于 ( (A)-4
第 1 页 共 7 页



(B)-6

(C)-8

(D)-10

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二:填空题(共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分)
13. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q=__ 14. 在等比数列 ?a n ? 中, 已知 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1, a 4 ? a 5 ? a 6 ? ? 2 , 则该数列前 15 项的和 S15= . 15. 设数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2, a n ? 1 ? a n ? n ? 1 ,则通项 a n ? __________。 16. .将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

????????

按照以上排列的规律,第 n 行 ( n ? 3) 从左向右的第 3 个数为

三.解答题(共计 70 分)
17. 等差数列{ a n }的前 n 项和记为 Sn.已知 a 10 ? 30 , a 20 ? 50 . (Ⅰ)求通项 a n ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

18.在等比数列 ?a n ? 的前 n 项和中, a 1 最小,且 a 1 ? a n ? 66 , a 2 a n ? 1 ? 128 ,前 n 项和
S n ? 126 ,求 n 和公比 q

第 2 页 共 7 页

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19. 已知等比数列 { a n } 中, a 2 ? 2, a 5 ? 1 2 8 .若 b n ? lo g 2 a n ,数列 { b n } 前 n 项的和为 S n . (Ⅰ)若 S n ? 3 5 ,求 n 的值; (Ⅱ)求不等式 S n ? 2 b n 的解集.

20. 设 { a n } 为等差数列,S n 为数列 { a n } 的前 n 项和, 已知 S 7 ? 7 , S 15 ? 75 , 求数列 { a n } 的 通项公式.

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21. 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d,又知 d≠1,且 a4=b4, a10=b10: (1)求 a1 与 d 的值; (2)b16 是不是{an}中的项?

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高中数学必修 5 第二章数列单元测试 参考答案
1.C.由 a 2 ? a 4 ? 4, a 3 ? a 5 ? 1 0 得 a 1 ? ? 4, d ? 3, S 1 0 ? 1 0 a 1 ? 4 5 d ? ? 4 0 ? 1 3 5 ? 9 5 2. S 5 ? 3. C 4 .D 5. 由 an ? 4n ?
5 2 5 ( a1 ? a 5 ) 2 ? 5(a2 ? a4 ) 2 ? a 4 ? 7 ,所以 a 7 ? a 2 ? 5 d ? a 2 ? 5 ? a4 ? a2 2 ? 1 3 选 B.

知 数 列 {a n } 是 首 项 为
2

3 2

公 差 为

4

的 等 差 数 列 ,

∴ a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 2 n ? 6. D 7.B 8. C 9. D 10. D 11.D

1 2

n ,∴ a ? 2 , b ? ?

1 2

,故 a b ? ? 1

12. 选 B。由题意,设 a1 ? a 2 ? 2, a 3 ? a 2 ? 2, a 4 ? a 2 ? 4 ,∴ ( a 2 ? 2 )( a 2 ? 4 ) ? ( a 2 ? 2 ) ,
2

解得 a 2 ? ? 6 ,选 B. 13.1 14. b1 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1, b 2 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? ? 2 ? ? b n ? 公 比 为 ? 2, 所 以 前 5 项 和 为1 1 . 15. ∵ a 1 ? 2, a n ? 1 ? a n ? n ? 1 ∴ a n ? a n ?1 ? ? n ? 1 ? ? 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? 1 ,

a n ? 2 ? a n ? 3 ? ? n ? 3 ? ? 1 , ? , a 3 ? a 2 ? 2 ? 1 , a 2 ? a1 ? 1 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? 1

将以上各式相加得: a n ? ? ? n ? 1 ? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 3 ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? n ? 1 ? ?
?

? n ? 1 ? ? ? n ? 1? ? ?
2

1 ? ?

? n ?1?

? n ? 1? n
2

? n ?1?

n ? n ? 1? 2

?1

故应填

n ? n ? 1? 2

?1;

【考点】 :此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式; 【突破】 :重视递推公式的特征与解法的选择;抓住 a n ? 1 ? a n ? n ? 1 中 a n ? 1 , a n 系数相同是 找到方法的突破口;此题可用累和法,迭代法等; 16. 本 小 题 考 查 归 纳 推 理 和 等 差 数 列 求 和 公 式 。 前 n ? 1 行 共 用 了 1 ? 2 ? 3 ? ? ( n ? 1)
( n ? 1) n 2
第 5 页 共 7 页

个数, 因此第 n 行 ( n ? 3) 从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第

( n ? 1) n 2

? 3 个,

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即为
n ?n?6
2

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2

17. 本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力.0 解: (Ⅰ)由 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d , a 10 ? 30 , a 20 ? 50 , 得方程组
? a 1 ? 9 d ? 30 , ? ? a 1 ? 19 d ? 50 .

……4 分 解得 a 1 ? 12 , d ? 2 .
n ( n ? 1) 2 d , S n ? 242 得方程

所以

a n ? 2 n ? 10 . 0

(Ⅱ)由 S n ? na 1 ?
12 n ? n ( n ? 1) 2

? 2 ? 2 4 2. ……10 分 解得 n ? 11 或 n ? ? 22 ( 舍去 ). 0

18. 解析:因为 ?a n ? 为等比数列,所以
a 1 a n ? a 2 a n ?1 ? a ? a n ? 66 ?? 1 , 且 a 1 ? a n , 解得 a 1 ? 2 , a n ? 64 ? a 1 a n ? 128

依题意知 q ? 1

? S n ? 126 ,?

a1 ? a n q 1? q

? 126 ? q ? 2

? 2q

n ?1

? 64 ,? n ? 6
3

19. 解: (Ⅰ)? a 2 ? a1 q ? 2, a 5 ? a 1 q 4 ? 1 2 8 得 q ? 6 4
? a n ? a1 q
n ?1

? q ? 4 , a1 ?

1 2

?

1 2

?4

n ?1

? 2
2n?3

2n?3

? b n ? lo g 2 a n ? lo g 2 2

? 2n ? 3

? b n ? 1 ? b n ? [ 2 ( n ? 1) ? 3] ? ( 2 n ? 3) ? 2

? { b n } 是以 b1 ? ? 1 为首项,2为公差的等差数列.
? Sn ? ( ? 1 ? 2 n ? 3) n 2 ? 3 5, n ? 2 n ? 3 5 ? 0
2

( n ? 7 )( n ? 5) ? 0即 n ? 7

(Ⅱ)? S n ? b n ? n 2 ? 2 n ? ( 2 n ? 3) ? n 2 ? 4 n ? 3 ? 0
?3? 3 ? n?3? 3
?n? N
?

? n ? 2 , 3 , 4 即,所求不等式的解集为 {2 , 3, 4}

20.
7?6 ? S ? 7 a1 ? d ? 7 ? 7 ? 2 解:由题意知 ? ? S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?

,解得 ?

? a1 ? ? 2 ?d ? 1

,所以 a n ? n ? 3 .

21.

第 6 页 共 7 页

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3

?a 1 + 3d = a 1d ?a 4 = b 4 ? 解 (1 ) 由 ? ? ? 9 ?a 1 + 9d = a 1d ? a 10 = b 10 ? ? a 1 (1 - d ) = - 3 d ? ? ? 9 ? a 1 (1 - d ) = - 9 d ?
3

? d +d -2 = 0
6 3

? d 1 ? 1( 舍 ) 或 d 2 ? ∴ a1 ? ?d ?
3

3

? 2

2

d ? ?3 2

(2)∵b16=b1·15=-32b1 d
且 a 4 = a 1+ 3d = ?23 2 = b 4 b 4 = b1· d ∴ b1 = a1 =
3

= - 2b 1 = - 23 2
3

2

∴b16=-32b1=-32a1,如果 b16 是{an}中的第 k 项,则 -32a1=a1+(k-1)d ∴(k-1)d=-33a1=33d ∴k=34 即 b16 是{an}中的第 34 项.

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