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第二章2.3-2.3.1课后知能检测


一、选择题 1.点 P(m2,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( A.点 P 在圆外 B.点 P 在圆内 C.点 P 在圆上 D.不确定 【解析】 【答案】 因为 m4+25>24,所以点 P 在圆外. A ) )

2.圆心为(1,-2),半径为 3 的圆的方程是( A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=3 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=9 【解析】 【答案】

由题意可知,圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,故选 D. D )

3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25 【解析】

由题意,圆的半径 r= (0-3)2+(4-0)2=5,则圆的方程

为 x2+(y-4)2=25. 【答案】 A )

4.已知点 A(3,-2)、B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程是( A.(x-1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y+1)2=100

D.(x+1)2+(y-1)2=100 【解析】 1 1 圆 心 为 AB 的 中 点 ( - 1 , 1) , 半 径 为 2 |AB| = 2

(3+5)2+(-2-4)2=5,∴方程为(x+1)2+(y-1)2=25. 【答案】 B

5.已知一圆的圆心为点 A(2,-3),一条直径的端点分别在 x 轴和 y 轴上, 则圆的方程是( )

A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 【解析】 如图,结合圆和直角三角形的性质可知,圆的半径 r=

(2-0)2+(-3-0)2= 13.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 【答案】 二、填空题 6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16 同心且过点 P(-1,1)的圆的方程是________. 【解析】 圆(x-2)2+(y+3)2=16 的圆心为(2,-3),设圆的方程为(x-2)2 +(y+3)2=r2,由点 P(-1,1)在圆上可知(-1-2)2+(1+3)2=r2,解得 r2=25. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 【答案】 (x-2)2+(y+3)2=25 B

7.(易错题)点 P(1,-1)在圆 x2+y2=r 的外部,则实数 r 的取值范围是 ________. 【解析】 2). 【答案】 (0,2) 由题意得 12+(-1)2>r,即 r<2,又 r>0,故 r 的取值范围是(0,

8.设点 P(x,y)是圆 x2+y2=1 上任意一点,则 x2+(y-1)2 的取值范围是 ________. 【解析】 因为圆心(0,0)到点 A 的距离为 d=1,圆的半径 r=1.

所以 x2+(y-1)2 的最小值与最大值分别是(d-r)2=0,(d+r)2=4. 即 x2+(y-1)2 的取值范围是[0,4]. 【答案】 三、解答题 9.求经过两点 A(-1,4),B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方程. 【解】 由 A(-1,4),B(3,2)可得直线 AB 的斜率 kAB= 4-2 1 =-2, -1-3 [0,4]

?-1+3 4+2? AB 的中点 M? , 2 ?, ? 2 ? 即 M(1,3), ∴直线 AB 的垂直平分线的方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0,令 x= 0 得 y=1,即所求圆的圆心为 C(0,1). 圆的半径为 r=|AC|= 12+(4-1)2= 10. 所以,所求圆的方程为 x2+(y-1)2=10. 10.已知三点 A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以 P(2,-1)为圆心作一个 圆,使 A,B,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方 程. 【解】 由题意知,|PA|= (3-2)2+(2+1)2= 10,

|PB|= (5-2)2+(-3+1)2= 13, |PC|= (-1-2)2+(3+1)2=5. ∵5> 13> 10, 易得 A 点在圆内,B 点在圆上,C 点在圆外,即此圆是以 P 点为圆心, 13 为半径的圆,∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13. 11.已知两定点 A(-2,0),B(8,0)和圆(x-3)2+y2=1 上的动点 P,求证: |AP|2+|BP|2 是常数. 【证明】 设 P(x,y),则|AP|2=(x+2)2+y2=x2+y2+4x+4,

|BP|2=(x-8)2+y2=x2+y2-16x+64,

所以|AP|2+|BP|2=2(x2+y2-6x)+68,因为点 P 在圆(x-3)2+y2=1 上, 所以(x-3)2+y2=1,即 x2+y2-6x=-8, 所以|AP|2+|BP|2=2×(-8)+68=52.


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