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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1课件:2.2.2椭圆的简单几何性质1


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1.掌握椭圆的简单几何性质.

2.了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响.
3.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.

第二章

2.2

第2课时

成才之路 ·

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重点:利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质. 难点:椭圆的几何性质的实际应用.

第二章

2.2

第2课时

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椭圆的简单几何性质思维导航
x2 y2 1.观察椭圆a2+b2=1(a>b>0)的形状,你能从图中看出它 的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

第二章

2.2

第2课时

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标准方程

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

x2 y2 b2+a2=1(a>b>0)

图形

焦点 焦距 范围 性 对称性 质 顶点 轴

F ________________ 1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c) __________________

|F1F2|=2c(c= a2-b2) |F1F2|=2c(c= a2-b2) |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a ________________ ________________ x轴、y轴和原点 对称 关于________________ (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) ________________ ________________ 2a 2b 长轴长_______ ,短轴长_______ c 离心率 e=__________ (0<e<1) a
第二章 2.2 第2课时

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5.离心率对椭圆扁圆程度的影响 c c 如图所示,在 Rt△BF2O 中,cos∠BF2O=a,记 e=a则 0<e<1,e 越大,∠BF2O 越小,椭圆越扁;e 越小,∠BF2O 越 大,椭圆越圆.

第二章

2.2

第2课时

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椭圆的主要几何量
求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离 心率、焦点和顶点坐标.
[ 分析 ] 由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆的方

程;②研究椭圆的几何性质.解答本题可先把方程化成标准形
式然后再写出性质.

第二章

2.2

第2课时

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x2 y 2 [解析] 把已知方程化成标准方程16+ 9 =1, 于是 a=4,b=3,c= 16-9= 7, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6, 离心率 e 7 c =a= 4 , 两个焦点坐标分别是(- 7,0),( 7,0), 四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3),(0,3).

第二章

2.2

第2课时

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[方法规律总结] 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤:
(1)化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个轴上. (2)由标准形式求a、b、c,写出其几何性质. 2.椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置;

(2)椭圆的范围决定椭圆的大小;
(3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; (4)对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对 称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这 些点.
第二章 2.2 第2课时

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利用椭圆的几何性质求标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程. 6 (1)椭圆过点(3,0),离心率 e= 3 ; (2)在 x 轴上的一个焦点, 与短轴两个端点的连线互相垂直, 且焦距为 8.

第二章

2.2

第2课时

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[分析] 1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置, 不 能确定的要分情况讨论,然后设出标准方程,再用待定系数法 确定 a、b、c. c 2.(1)中由离心率 e=a,及 a2=b2+c2 可知椭圆的标准方 程中只有一个待定系数,再由过点(3,0)可求之. (2)设短轴端点为 A,F 为一个焦点,由条件知△OAF 为等 腰直角三角形,于是 a、b、c 可求之.

第二章

2.2

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[解析] (1)若焦点在 x 轴上,则 a=3, 6 c ∵e=a= 3 , ∴c= 6,∴b2=a2-c2=9-6=3. x2 y2 ∴椭圆的方程为 9 + 3 =1. 若焦点在 y 轴上,则 b=3, b2 9 6 c ∵e=a= 1-a2= 1-a2= 3 , 解得 a2=27. y2 x2 ∴椭圆的方程为27+ 9 =1. x2 y2 y 2 x2 综上可知椭圆方程为 9 + 3 =1 或27+ 9 =1.
第二章 2.2 第2课时

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x 2 y2 (2)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32, x2 y2 故所求椭圆的方程为32+16=1.

第二章

2.2

第2课时

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[方法规律总结 ]

已知椭圆的几何性质,求其标准方程主

要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以 确定椭圆标准方程的形式;(2)确立关于a、b、c的方程(组),求

出参数a、b、c;(3)写出标准方程.

第二章

2.2

第2课时

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3 离心率为5,长轴长为 10 的椭圆的标准方程为( x2 y2 A.25+16=1 x2 y2 y2 x2 B.25+16=1 或25+16=1 x2 y2 C.100+64=1 x2 y2 y2 x2 D.100+64=1 或100+64=1 [答案] B
第二章

)

2.2

第2课时

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c 3 [解析] 由题意得 2a=10,a=5,a=5,∴c=3, ∴b2=a2-c2=25-9=16, 由于焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, x2 y2 y2 x2 故椭圆的标准方程为25+16=1;或25+16=1.故选 B.

第二章

2.2

第2课时

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求椭圆的离心率

F1、F2 为椭圆的两个焦点,过 F2 的直线交椭圆 于 P、Q 两点,PF1⊥PQ 且|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆上两点

与焦点连线的几何关系.②求椭圆的离心率.解答本题的关键 是把已知条件化为a、b、c之间的关系.

第二章

2.2

第2课时

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[解析] 如图所示,设|PF1|=m, 则|PQ|=m,|F1Q|= 2m. 由椭圆定义得 |PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a. 所以|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a. 即( 2+2)m=4a. 所以 m=(4-2 2)a.

第二章

2.2

第2课时

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又|PF2|=2a-m=(2 2-2)a. 在 Rt△PF1F2 中, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 即(2 2-2)2a2+(4-2 2)2a2=4c2. c2 所以a2=9-6 2=3( 2-1)2. c 所以 e=a= 6- 3.

第二章

2.2

第2课时

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[方法规律总结]

求椭圆离心率的值或取值范围问题,先

将已知条件转化为 a、b、c 的方程或不等式,再求解. c (1)若已知 a、c 可直接代入 e=a求得; (2)若已知 a、b 则使用 e= b2 1-a2求解;

(3)若已知 b、c,则求 a,再利用(1)求解;

第二章

2.2

第2课时

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(4) 若已知 a 、 b 、 c 的关系,可转化为关于离心率 e 的方程 (不等式)求值(范围). (5) 给出图形的问题,先由图形和条件找到 a 、 b 、 c 的关 系,再列方程(不等式)求解.

由于a、b、c之间是平方关系,所以在求e时,常常先平方
再求解.

第二章

2.2

第2课时

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设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F1 作椭圆长轴的垂线 交椭圆于点 P, 若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率 为( ) 2 A. 2 C.2- 2 2-1 B. 2 D. 2-1

[答案] D

第二章

2.2

第2课时

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x2 y2 [解析] 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0)如图,

第二章

2.2

第2课时

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∵F1(-c,0),∴P(-c,yP)代入椭圆方程得
2 4 c2 yP b 2 2+ 2=1,∴yP= 2, a b a

b2 b2 ∴|PF1|= a =|F1F2|,即 a =2c,
2 2 a - c 又∵b2=a2-c2,∴ a =2c,∴e2+2e-1=0,

又 0<e<1,∴e= 2-1.

第二章

2.2

第2课时

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实际应用问题

2003 年 10 月 15 日 9 时,“神舟”五号载人飞 船发射升空, 于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道, 开始巡天飞 行.该轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆.选取坐标系 如图所示,椭圆中心在原点,近地点 A 距地面 200km,远地点 B 距地面 350km.已知地球半径 R=6371km.

第二章

2.2

第2课时

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(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;
(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与 推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约6×105km, 问飞船巡天飞行平均速度是多少?(结果精确到1km/s)

第二章

2.2

第2课时

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x2 y2 [解析] (1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). 由题设条件得, a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+200=6571. a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721. 解得 a=6646,c=75.所以 a2=44169316, b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691, x2 y2 所以椭圆的方程为44169316+44163691=1.

第二章

2.2

第2课时

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(2)从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时, 合 21×3600 秒, 减去开始的 9 分 50 秒,即 9×60+50=590(s),再减去最后多 计的 1 分钟,共计 590 + 60 = 650(s) ,飞船巡天飞行时间是 21×3600-650=74950(s), 600000 平均速度是 74950 ≈8(km/s). 所以飞船巡天飞行的平均速度是 8km/s.

[方法规律总结 ]

解答实际问题的关键是弄清实际问题中

各量的几何意义,把实际问题转化为数学问题求解.

第二章

2.2

第2课时

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某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆,近地 点 A 距地面 m 千米,远地点 B 距离地面 n 千米,地球半径为 k 千米,则飞船运行轨道的短轴长为( A.2 ?m+k??n+k? C.m· n
[答案] A

)

B. ?m+k??n+k? D.2mn

第二章

2.2

第2课时

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[解析] 由题意可得 a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a +c)=(m+k)(n+k).即 a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以 b= ?m+k??n+k? ,所以椭圆的短轴长为 2 ?m+k??n+k? ,故选 A.

第二章

2.2

第2课时

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椭圆中的最值问题
x2 y2 设 P 为椭圆a2+b2=1 上任意一点,F1 为它的一 个焦点,求|PF1|的最大值和最小值.

[解析 ]

设 F2 为椭圆的另一焦点,则由椭圆定义得: |PF1|

+|PF2|=2a,

∵||PF1|-|PF2||≤2c,∴-2c≤|PF1|-|PF2|≤2c,
∴2a-2c≤2|PF1|≤2a+2c,即a-c≤|PF1|≤a+c, ∴|PF1|的最大值为a+c,最小值为a-c.
第二章 2.2 第2课时

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[方法规律总结] 椭圆几何性质的拓展 x 2 y2 (1)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的任意一点 P(x,y),则当 x =0 时,|PO|有最小值,这时 P 在短轴端点处;当 x=a 时,|PO| 有最大值,这时 P 在长轴端点处. (2)椭圆上任意一点 P(x, y)(y≠0)与两焦点 F1(-c,0), F2(c,0) 构成的△PF1F2 称为焦点三角形,其周长为 2(a+c). (3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角 三角形,其三边长满足等式 a2=b2+c2. (4) 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两 个端点.
第二章 2.2 第2课时

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已知椭圆的焦点 F1、F2 在 x 轴上,它与 y 轴的一个交点为 P,且△PF1F2 为正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为 3,则椭圆的方程为____________________.

x2 y2 [答案] 12+ 9 =1

第二章

2.2

第2课时

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[ 解析 ]

x2 y2 ∵椭圆的焦点在 x 轴上,则设方程为 a2 + b2 =

1(a>b>0),两焦点 F1(-c,0),F2(c,0),P(0,b). 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0), ∴c= a2-b2, 由△PF1F2 为正三角形可知:|PF1|=|PF2|=|F1F2|, ∴a=2c ①

第二章

2.2

第2课时

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又焦点到椭圆上的点的最短距离为 a-c, 于是 a-c= 3 由①②可得:a=2 3,c= 3,从而 b2=a2-c2=9. x 2 y2 ∴所求椭圆方程为12+ 9 =1. ②

第二章

2.2

第2课时

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注意根据条件判断椭圆焦点的位置 已知椭圆的中心在原点, 对称轴是坐标轴, 离心 3 率 e= 2 ,且过点 P(2,3),求此椭圆的标准方程.

第二章

2.2

第2课时

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x 2 y2 [错解] 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0), 3 ?c ?a= 2 , ? 由题意知? 4 9 ?a2+b2=1, ? 2 2 2 ?a =b +c .

解得 b2=10,a2=40.

x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为40+10=1.

[辨析]

上述解法没有讨论焦点的位置,而默认了椭圆的

焦点在x轴上.
第二章 2.2 第2课时

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[正解] 当焦点在 x 轴上时,解法同上,所求椭圆的标准 x2 y2 方程为40+10=1. y2 x2 当焦点在 y 轴上时,设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),由题 3 ?c ? a= 2 , ? 意得? 9 4 ?a2+b2=1, ? 2 2 2 c = a - b . ? y2 4x2 程为25+ 25 =1.

25 2 解得 b = 4 , a =25.故所求椭圆的标准方
2

x2 y2 y 2 4x 2 综上,所求椭圆的标准方程为40+10=1 或25+ 25 =1.
第二章 2.2 第2课时


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