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浦东暑假新高二数学补习班 利用空间向量解立体几何(完整版)


向量法解立体几何

东南数理化 高中数学教研组

向量法解立体几何
引言
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它 主要包括线线垂直, 线面垂直, 线线平行, 线面平行; 二是度量问题, 它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计

算线 线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多, 给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难, 下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法,起到一个抛砖引玉的作用。

基本思路与方法
一、基本工具 1.数量积: a ? b ? a b cos? 2.射影公式:向量 a 在 b 上的射影为
a ?b b

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量为 ? A, B ? ,方向向量为 ? ?B, A? 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行 ? 两线的方向向量平行 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行 ? 两面的法向量平行 2.垂直关系

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线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点 P ? x1, y1, z1 ? 与 Q ? x2 , y2 , z2 ? 的 距离为 PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 2.点线距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离: 方法:在直线上取一点 Q ? x, y ? ,
??? ? PQ ? n ??? ? Ax ? By ? C 则向量 PQ 在法向量 n ? ? A, B ? 上的射影 = 0 2 02 n A ?B
??? ?

即为点 P 到 l 的距离. 3.点面距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 方法:在平面 ? 上去一点 Q ? x, y ? ,得向量 PQ , 计算平面 ? 的法向量 n , 计算 PQ 在 ? 上的射影,即为点 P 到面 ? 的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角 ? 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤:
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??? ?

??? ?

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① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角, 若为锐角角即可, 若 为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法 向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析 一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角θ,只要在两条异面直线 a, b 上各任取一个向量 AA '和BB ' ,则角< AA ', BB ' >=θ或π-θ,因为
???? ???? AA ' ? BB ' θ是锐角,所以 cosθ= ???? ???? , 不需要用法向量。 AA ' ? BB '

???? ????

???? ????

1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为 n =(x, y, 1),则直 线 AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sinθ = cos( -θ) = |cos< AB , n >| =
??? ? ? AB ? n ??? ? ? AB ? n

A

?

n

? 2

??? ?

?

α

2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为 n1 , n2 , 则< n1 , n2 >或π-< n1 , n2 >是所求 角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定 < n1 , n2 >
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?? ?? ?

?? ?? ?

?? ?? ?

?? ?? ?

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是所求,还是π-< n1 , n2 >是所求角。

?? ?? ?

二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、 b 的公共法向量为 n ? ( x, y, z) , 在 a、b 上任取一点 A、B,则异面直线 a、b 的距 离
??? ? ? | AB ? n | d =AB·cos∠BAA = ? |n|


? n
?

略证:如图,EF 为 a、b 的公垂线段,a 为过 F 与 a 平行的直 线, 在 a、b 上任取一点 A、B,过 A 作 AA
? 则 AA? // n ,所以∠BAA



' //

EF,交 a 于 A







????? ?



=< BA, n >(或其补角)


??? ? ?

??? ? ? | AB ? n | ∴异面直线 a、b 的距离 d =AB·cos∠BAA = ? |n|
?

*
??? ? ??? ?

其中,n 的坐标可利用 a、b 上的任一向量 a, b(或图中的 AE, BF ) , 及 n 的定义得
? ? ? ? ? ?n ? a ? ?n ? a ? 0 ?? ? ? ?? ? ? ?n ? b ? ?n ? b ? 0

? ?

?



解方程组可得 n 。

?

2、求点到面的距离 求 A 点到平面α的距离,设平面α的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在α
??? ? ? ? ? | AB ? n | 内任取一点 B,则 A 点到平面α的距离为 d = ? ,n 的坐标由 n 与 |n|

?

平面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所
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述, 若方程组无解, 则法向量与 XOY 平面平行, 此时可改设 n ? (1, y,0) , 下同) 。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面α的距离,设平面α的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在 直线 a 上任取一点 A,在平面α内任取一点 B,则直线 a 到平面α的
??? ? ? | AB ? n | ? 距离 d = |n|

?

?

4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在平面α、
??? ? ? | AB ? n | ? β内各任取一点 A、B,则平面α到平面β的距离 d = |n|

?

三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线 a 和平面α、β,两个面α、β的法向量为 n1 , n2 , 则
?? a//? ? a ? n1 ?? ? a ? ? ? a//n1
?? ?? ?

? // ? ? n1 // n2

?? ?? ?

? ? ? ? n1 ? n2

??

?? ?

四、应用举例:
例 1:如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. 解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向 建立空间直角坐标系, 则 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、
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??? ??? ? ??? ?

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C1(4,3,2) ??? ? ??? ? ??? ? 于是, DE ? (3, ?3,0), EC1 ? (1,3, 2), FD1 ? (?4, 2, 2) ? 设法向量 n ? ( x, y, 2) 与平面 C1DE 垂直,则有
n ? DE ? ? 3x ? 3 y ? 0 ? ??? ?? ? ? ? x ? y ? ?1 n ? EC1 ? ? x ? 3 y ? 2 z ? 0? ?

? ?

??? ?

? n ? ( ?1, ?1, 2),

?向量 AA1 ? (0, 0, 2)与平面CDE垂直, ? n与 AA1所成的角? 为二面角C ? DE ? C1的平面角

??? ?

? ??? ?

? ??? ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? ? ? cos ? ? ?? ???? ?
n ? AA1 | n | ?| AA1 | 2 2
1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2

6 3

1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4

? tan ? ?

(II)设 EC1 与 FD1 所成角为β,则
??? ? ??? ? ? ??? ? ? cos ? ? ????
EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 | 12 ? 32 ? 22 ? (?4) 2 ? 22 ? 22 ? 21 14

例 2:如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱 形,∠DAB=600,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点。 (1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 证明: (1)∵面 ABCD 是菱形,∠DAB=600, ∴△ABD 是等边三角形,又 E 是 AB 中点,连结 BD ∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900, 如图建立坐标系 D-ECP,设 AD=AB=1,则 PF=FD= ,ED= ∴ P(0,0,1) ,E( ∴ PB =(
??? ?
1 3 3 ,0,0) ,B( , ,0) 2 2 2 1 2

3 , 2

??? ? 1 3 3 , ,-1) , PE = ( ,0,-1) , 2 2 2
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平面 PED 的一个法向量为 DC =(0,1,0) ,设平面 PAB 的法向 量为 n =(x, y, 1)
? ??? ? ?( x, y,1) ? ( ? ? ?n ? PB ? ??? ? ? ??? ?n ? PE ? ? ( x, y,1) ? ( ? ?
2 , 0, 1) 3

????

?



? 3 1 , , ?1) ? 0 ? ? 2 2 ?? 3 ? , 0, ?1) ? 0 ? 2 ?

3 1 2 x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 2 ?? 3 3 ? x ?1 ? 0 ?y ? 0 2

∴ n =(

?

∵ DC · n =0 即 DC ⊥ n

????

?

????

?

∴平面 PED⊥平面 PAB
?
2 , 0, 1), 设平面 3

(2)解:由(1)知:平面 PAB 的法向量为 n =( FAB 的法向量为 n 1=(x, y, -1), 由(1)知:F(0,0, ) , FB =( - ) , 由
? ??? ? ?( x, y, ?1) ? ( ? ? ?n1 ? FB ? ? ? ? ? ? ??? ?n1 ? FE ? ? ( x, y, ?1) ? ( ? ? ? 3 1 1 , ,? ) ? 0 ? ? 2 2 2 ?? 3 1 ? , 0, ? ) ? 0 ? 2 2 ?
1 2
1 2

?

??? ?

??? 1 1 3 3 , ,- ) , FE = ( ,0, 2 2 2 2

3 1 1 1 x? y? ?0 ? ?x ? ? 2 2 2 ?? 3 3 1 ? x? ?0 ?y ? 0 2 2

∴ n 1=(-

?

1 , 0, 3

-1)
? ?

∴二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos θ = |cos< n , n 1>|
? ? n ? n1 5 7 = ? ? ? 14 n ? n1

例3:在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中
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心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP. (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表 示) ; (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP; (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1, ∵棱长为4 ∴A(4,0,0) ,B(4,4,0) ,P(0,4,1) ∴ AP = (-4, 4, 1) , 为平面BCC1B1的一个法向量 ∴直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角θ的正弦值 sin θ = |cos< AP ,
???? DC >|=
??? ? ??? ?

显然 DC =(0,4,0)

????

16 42 ? 42 ? 1 ? 4 2

?

4 33 33
4 33 33

∵θ为锐角,∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin (Ⅲ) 设平面ABD1的法向量为 n =(x, y, 1), ∵ AB =(0,4,0) , AD1 =(-4,0,4) 由 n ⊥ AB , n ⊥ AD1
?
??? ?
??? ?

?

???? ?

?

???? ?

得?

?y ? 0 ??4 x ? 4 ? 0

∴ n =(1, 0, 1),

?

??? ? ? AP ? n 3 2 ? ∴点P到平面ABD1的距离 d = ? 2 n

例 4:在长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面中心,求 A1O 与 B1C 的距离。
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解:如图,建立坐标系 D-ACD1,则 O(1,1,0) ,A1 (2,2,3) ,C(0,2,0) ∴ AO ? (?1,1, ?3) 1
????
???? B1C ? (?2,0, ?3)
A1

D1 B1

C1

???? ? A1B1 ? (0, 2,0)
A

D

C

? 设 A1O 与 B1C 的公共法向量为 n ? ( x, y,1) ,则
3 ? ? ???? x ? ? ? ?? x ? y ? 3 ? 0 ? ?n ? A1O ?( x, y,1) ? (?1,1, ?3) ? 0 ? 2 ?? ?? ? ? ???? ? ? ( x , y ,1) ? ( ? 2, 0, ? 3) ? 0 ? 2 x ? 3 ? 0 3 ? ? ?y ? ?n ? B1C ? ? ? 2

O
B

∴ n ? (? , ,1) ∴ A1O 与 B1C 的距离为
3 3 ? ???? ? ? ? 0, 2, 0 ? ? ? ? ? , ,1? | A B1 ? n | 3 3 22 ? 2 2 ? ? ? ? d = 1? 2 2 11 |n| 11 ? 3? ?3? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2? ?2?

?

3 3 2 2

例 5:在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点,求 A1 到面 BDFE 的距离。 解:如图,建立坐标系 D-ACD1,则 B(1,1,0) ,A1(1,0,1) , E( ,1,1)
???? ??? ? 1 BE ? (? , 0,1) A1B ? (0,1, ?1) 2 ? 设面 BDFE 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,则
1 2

∴ BD ? (?1, ?1,0)

??? ?

D1 A1

F

C1
E

B1

? ??? ? ?( x, y,1) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?? x ? y ? 0 ? ?x ? 2 ?n ? BD ? ? ?? 1 ?? ? ?? ? ? ??? 1 ( x, y,1) ? (? , 0,1) ? 0 ? x ? 1 ? 0 ? y ? ?2 ?n ? BE ? ? ? ? 2 ? 2

D

C

∴ n ? (2, ?2,1)

?

A

B

???? ? | A1B ? n | ? 0,1, ?1? ? ? 2, ?2,1? | ?3 | ∴ A1 到面 BDFE 的距离为 d = ? ? ? ?1 2 3 |n| 22 ? ? ?2 ? ? 1

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五、课后练习:
1、如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,点 E 为 CC1 中点, 点 F 为 BD1 中点. (1) 证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; 点 D1 到面 BDE 的距离. (2)求

A1
B1

D1

C1

2、已知正方形 ABCD,边长为 1,过 D 作 PD⊥平面 ABCD,且 PD=1, E、F 分别是 AB 和 BC 的中点, (1)求 D 到平面 PEF 的距离; (2)求 直线 AC 到平面 PEF 的距离

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3、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2(如图) (1)求证:平面 A1BC1//平面 ACD1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点 B1 到平面 A1BC1 的距离。
A1 D D1 C1

B1 C

A

B

4、 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

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