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2013年高中物理竞赛预赛模拟训练


高中物理竞赛模拟训练(一)
本试卷考试用时 3 小时,满分 200 分 一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1.在核反应堆中,是靠熔化的钠来传递核燃烧产生

的热量的。抽动液态钠的“泵”有 传动部分不允许和钠接触,因此常使用一种称为“电磁泵”的机械。如图所示为这种泵的 结构,N、S 为磁铁的两极,C 为在磁场中的耐热导管,熔融的钠从其中流过,v 为钠的流 动方向,要使钠液加速,加在导管中钠液的电流方向应为( ) (A)由下流向上 (B)由上流向下 通 C (C)逆着 v 的方向 (D)顺着 v 的方向 大 2.如图所示是医院给病人输液的部分装置示意图,在输液过程 气 A B 中 ( ) (A)A 瓶中的药液先用完 (B)B 瓶中的药液先用完 D (C)随着液面下降,A 瓶内 C 处气体压强逐渐增大 (D)随着液面下降,A 瓶内 C 处气体压强逐渐减小 3.两电阻串联接在电压恒定的电源上,用两只精度都很高的不同的电压表分别去测量 同一电阻两端的电压,甲表测得示数为 10.1V,乙表测得示数为 10.3V,则可知( ) (A)乙表示数比甲表示数更接近该电阻两端原来的电压 (B)甲表内阻比乙表内阻大 (C)该电阻两端原来的电压必大于 10.3V (D)该电阻两端原来的电压必在 10.1V 和 10.3V 之间 4.有一弹簧座垫,宽为 22.7cm,它的弹簧成对地如图所示 排列,所有弹簧的劲度系数均为 k=10N/m,有一重为 100N 的物体放在座垫上,座垫的表面将下降 10cm,假定当物体放 上时,弹簧的长度都相同,则此座垫有多少个弹簧?( ) (A)400 (B)200 (C)100 (D)80 5.粗细相同的同种电阻丝制成的两个半径之比为 2:1 的圆环置于同 ? ? ? 一匀强磁场之中,其环面与磁场方向垂直,现以相同速度将两环分别沿 ? ? v 垂直于磁场方向匀速拉出磁场,如图所示,则此过程中大小两环中发热 ? 量之比是( ) B? ? ? (A)8:1 (B)4:1 (C)2:1 (D)1:1 v 6.将质量为 2m 的木板静止地放在光滑水平面上,一质量为 m 的木块 ? ? ? 以水平初速 v0 由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止.木块运 动过程中所受摩擦力始终保持不变.现将木板分成长度与质量相等的两段(a、b)后紧挨着 仍放在光滑水平面上,让木块仍以相同的初速度 v0 由木板 a 的左端开始滑动,则( ) (A)木块仍能滑到木板 b 的右端并与木板保持相对静止.
1

v0 (B)木块滑到木板 b 的右端后飞离木板. (C)木块滑到木板 b 的右端前就与木板保持相对静止. a b (D)后一过程产生的热量小于原来过程产生的热量. 二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。 7. (8 分)假设有振幅相同的一列三角形和一列矩形脉冲波相向而行(如图甲所示) , 当两波相遇(如乙图虚线所示)时,在乙图中画出可能出现的波形.
甲 乙

8. 分)如图所示,小球位于竖直墙壁 OA 和水平地面 OB 等距离处 P 点,且 P 到 OA (8 和 OB 的垂直距离均为 L,紧靠小球(小球视为质点)左侧有一固定点光源 S,当小球以 某一初速水平抛出,恰好落在墙角 O 处,则小球经时间______________落在墙角 O 处, 小球在空中运动过程中其影子沿墙面运动时任意点的瞬时速度为______________。 9. 分)如图所示,河道宽 L=100 m,河水越到河中央 (8 流速越大,假定流速大小 u=0.2x m/s(x 是离河岸的垂直距 离)一汽船相对水的航速是 10 m/s,它自 A 处出发,船头垂 100m 直河岸方向渡河到达对岸 B 处, 则过河时间为_____s, A AB 直线距离为______m。

B u

A d 10. (10 分)如图所示,A、B、C、D 为带电金属极板, D v 长度均为 L,其中 A、B 两板水平放置,间距为 d,电压为 C d U1,C、D 两板竖直放置,间距也为 d,电压为 U2,今有一 B l 电量为 e 的电子经电压 U0 加速后, 平行于金属板进入电场, 则电子经过时间_____离开电场,这时它的动能为 _____________。 (假设电场只存在于极板间, 并设电子未与极板相遇, 且不计电子的重力)
N 11. 分)如图所示,间距为 1m 的平行导轨,水平 (8 R D 固定放置在磁感应强度为 1T 的匀强磁场中,磁场方向 O V 电源 垂直导轨所在平面,导轨一端跨接一个阻值为 R=0.4? N’ A 的定值电阻 (导轨电阻不计) 质量为 0.2kg、 , 电阻为 0.6? 的金属棒 NN’可沿导轨滑动,导轨与棒间的动摩擦因数为 0.5,用电动机 D 牵引 NN’,从 静止开始运动,当 NN’向右移动 s=3.8m 时获得稳定速度,此过程中定值电阻 R 上产生的 焦耳热为 0.72J, 电动机牵引棒时电压表和电流表示数分别为 7V 和 1A, 电动机内阻为 1?, 则导体棒获得的稳定速度为__________m/s, 导体棒从静止到获得稳定 1 速度所需时间为__________s。 2 12. (8 分) 如图所示, 个质量为 m 的完全相同的物块叠放在一起, n 3

2

n-1 n

F

所有接触面的动摩擦因数均为 μ,滑轮摩擦不计,当 F 为____________时,所有物块恰好 相对滑动。 13. (10 分)有一静电场,其电势 U 随坐标 x 的改变而变化,变化的图线如图 1 所示. 试在图 2 中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线(设场强沿 x 轴正方向时取正值,场强 沿 x 轴负方向时取负值) U/V 40 20 X/mm O -20 -40 图1 图2 2 4 6 8 10 12 O 2 4 6 8 10 12 X/mm E/V· -1 m

三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的 不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14、 (10 分)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、 零点位于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线.试用这些器 件设计一实验装置(要求画出示意图) ,通过一次测量(弹簧测力 计只准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量. (已知重力加速 度为 g) 15、(10分)一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略),在绳 的一端挂一质量为m1的物体,在另一侧有一质量为m2的环,求当 环相对于绳以恒定的加速度a2′ 沿绳向下滑动时, 物体和环相对地 面的加速度各是多少?环与绳间的摩擦力多大? 16、(14分) 有一种高脚酒杯,如图所示。杯内底面为一凸起的球面, 球心在顶点O下方玻璃中的C点,球面的半径R=1.50cm,O到杯口平 面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片,P点距O点 6.3cm。这种酒杯未斟酒时,若在杯口处向杯底方向观看,看不出画片 上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向观看,将看到画片 上的景物。已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折射率n2=1.34。试通过 分析计算与论证解释这一现象。 17、 (14 分)处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一 系列不同频率的光,称为氢光谱.氢光谱线的波长? 可以用下面的巴
3

耳末—里德伯公式来表示

1 ? ? 1 ? R? 2 ? 2 ? ? n ? ?k n,k 分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数. k ? 1,2,3, ? ,对于每一个 k,有 n ? k ? 1, k ? 2 , k ? 3,? ,R 称为里德伯常量,是一个已知量.对于 k ? 1 的一系列谱线其波 长处在紫外线区,称为赖曼系; k ? 2 的一系列谱线其波长处在可见光区,称为巴耳末系. 用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验,当用赖曼系波长最长的光照射时, 遏止电压的大小为 U1,当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏止电压的大小为 U2. 已知 电子电量的大小为 e ,真空中的光速为 c ,试求:普朗克常量和该种金属的逸出功. 1

18、 (14 分)如图所示,空间匀强电场 E 沿- y 方向, 匀强磁场 B 沿- z 方向。有一电荷量为 q,质量为 m 2E 的带正电粒子, O 点沿+x 轴方向以初速度 v0= 从 B 射入场区,粒子的重力忽略不计,求: (1)此带电 粒子距 x 轴的最大距离; (2)此带电粒子的轨迹与 x 轴相切的所有点的 坐标 x 所满足的条件。

y
B E O (m, q) v0

x

z

19、 (14 分)如图所示,两根位于同一水平面内 的平行的直长金属导轨, 处于恒定磁场中, 磁场 方向与导轨所在平面垂直.一质量为 m 的均匀 导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导 v0 R0 轨无摩擦地滑动, 细杆与导轨的电阻均可忽略不 计. 导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相连, 电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不 计. 容器与一水平放置的开口细管相通, 细管内 有一截面为 S 的小液柱 (质量不计) 液柱将 1mol 气体 , (可视为理想气体) 封闭在容器中. 已 知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为 5R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0, 现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移.

20、 (14 分)北京时间 2005 年 4 月 12 日 20 时 0 分,我国在西昌卫星发射中心用“长征三
4

号乙”捆绑式运载火箭, 成功地将“亚太六号”通信卫星(其质量用 m 表示)送入太空。 这颗“亚 太六号”通信卫星在围绕地球的椭圆轨道上运行如图所示, 离地球表面最近的点 A(近地点) 高 度 L1=209km(209× 3m) , 离 地 球 表 面 最 远 的 点 B( 远 地 点 ) 高 度 10 1 L2=49991km(49991× 3m)。已知地球质量 M=6.0× 24kg,引力常量 G= × 9N· 2/kg2, 10 10 10 m 15 地球半径 R=6400km=6.4× 6m。且在地球上空任一高度处 h(h 为到地球中心的距离),卫 10 GMm 星具有的引力势能表达式为 ,求: h (1)此卫星在围绕地球的椭圆轨道上从近地点 A 运动到远地点 B 的时间约为几天(设 π2=10,保留两位数字); (2)证明:vA· 1+R)= vB(L2+R)。其中 vA 和 vB 分别是“亚太六号”通信卫星在近地点 A (L 和远地点 B 的速度; 1+R 和 L2+R 分别是“亚太六号”通信卫星在近地点 A 和远地点 B 到地 L 球球心的距离(提示:根据椭圆的对称性可知近地点 A 和远地点 B 所在轨道处的极小的弧 形应是半径相等的圆弧的弧); (3)试计算“亚太六号”通信卫星的发射速度 v 0 的大小是 多少 km/s(保留两位数字)。
A 地球 B

21、(14分)如图所示,质量为m,边长为l的正方形平板与弹簧相连,弹簧的劲度系数为k, 另一端固定于地面,平板处于平衡状态。质量为m的第一个小球从平台以一定速度垂直于 平板的左边缘水平抛出,并与平板发生完全非弹性碰撞(设平台与板间高度差为h,抛出点 在平板的左边缘正上方)。隔一段时间后,以相同速度抛出第二个小球。(假定在任何情况 下平板始终保持水平,忽略平板在水平方向上的运动,且为方便计算起见,设h=3 (1)求第一个小球落到平台上形成的振子系统的周期和频率; (2)为了使第二个小球与平板不发生碰撞,其抛出速度的最小值为多少? (3)在(2)的情况下,两小球抛出的时间差是多少?

mg ) k

5

高二物理竞赛辅导训练(十八) (模拟训练 1)
参考解答与评分标准
一、选择题(36 分)答案: 1. A 2.AC 3. AC 4. A 5. B 6. CD 评分标准:每小题 6 分。全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分。 二、填空题及作图题答案及评分标准 7、如图 (8 分 ) 8. 分 ) 2L/g , gL/2 (8 9、 分 )10,50 5 10(10 分 ) (8 、 l m 2eU0 el2 ,eU0+ 2 (U12+U22) 4d U0

11(8 分 ) 、2m/s,1s, 12(8 分 )F =n2μmg 13(14 分 )如图 4×10
4

E/V· -1 m

2×10

4

X/mm O -2×10
4

2

4

6

8

10

12

-4×10

4

图2 三、计算题 14(10 分 )找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段 细线做成一环,挂在弹簧测力计的挂钩上,让直尺穿在 细环中,环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点,它将尺 分为长短不等的两段.用细线栓住木块挂在直尺较短的 一段上,细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置,使 直尺平衡在水平位置(为提高测量精度,尽量使二悬挂 点相距远些) ,如图所示.设木块质量为 m,直尺质量 为 M.记下二悬挂点在直尺上的读数 x1、x2,弹簧测力 计读数 G.由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有

?l ? mg ( x 2 ? x1 ) ? Mg ? ? x 2 ? (2) ?2 ? ?l ? 2 x 2 ? ?x 2 ? x1 ? G 2G (1)、(2)式联立可得 m ? (3) M ? (4) g ?l ? 2 x1 ? g ?l ? 2 x1 ? 评分标准:本题 10 分.正确画出装置示意图给 2 分. 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 2 分。
(m ? M ) g ? G (1)

6

15(10分 )物体受力如图所示,分别对两个物体列出动力学方程 (2) m1g ? f ? m1a1 (1) m2 g? f? m a 2 2

? 加速度满足关系式 a2 ? a1 ? a2 (3)
解方程得: a1 ?

? (m1 ? m2 ) g ? m2 a2 (4) m1 ? m2 ? ? (m ? m1 ) g ? m1a2 m m (2 g ? a2 ) (5) f ? 1 2 (6) a2 ? 2 m1 ? m2 m1 ? m2

f f

本题 10 分. 、 (1)(2)式各 1 分, 、 、 、 (3)(4)(5)(6)式各 2 分 16(14分 )把酒杯放平,分析成像问题。 m2g m1g 1.未斟酒时,杯 底凸球面的两侧介 质的折射率分别为 n1 和 n0 = 1 。在 图 1 中,P为画片中心, 图1 由P发出经过球心C 的光线PO经过顶点 不变方向进入空气中;由P发出的与PO成? 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i, 折射角为r,半径CA与PO的夹角为? ,由折射定律和几何关系可得 n1sini=n0sinr (1) ? =i+? (2)

R PC ? (3) sin ? sin i 考虑近轴光线成像,?、i、r 都是小角度,则有 n R i r? 1i (4) ? ? (5) n0 PC
在△PAC中,由正弦定理,有 由(2)(4)(5)式、n0、nl、R的数值及 PC ? PO ? CO ? 4.8 cm可得 、 、 ? =1.31i (6)r =1.56i (7) 由(6)(7)式有r>? 、 (8) 由上式及图1可知,折射线将与PO延长线相交于P?,P? 即为P点的实像.画面将成实像于 P? 处。在△CAP? 中,由正弦定理有 R CP? (9)又有 r=? +? (10) ? sin ? sin r 考虑到是近轴光线,由(9)(l0)式可得 、

CP? ?

r R r ??

(11)又有 OP? ? CP? ? R (13)

(12)

由以上各式并代入数据,可得 OP? ? 7.9 cm 由此可见, 未斟酒时, 画片上景 物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。 已知O到杯口平面的距离为8.0cm, 当人眼在杯口处向杯底方向观看 时,该实像离人眼太近,所以看不 图 出画片上的景物。 2
7

2.斟酒后,杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n1和n2,如图2所示, n 考虑到近轴光线有 r ? 1 i (14) n2 代入n1和n2的值,可得r=1.16i (15) 与(6)式比较,可知r<? (16) 由上式及图2可知,折射线将与OP延长线相交于P?,P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于 P? 处。计算可得 CP? ?

r R ? ?r

(17)

又有 OP? ? CP? ? R (18) 由以上各式并代入数据得 OP? ? 13 cm (19) 由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P?处,距O点13cm.即距杯口21 cm。虽然该虚 像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼 在杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像。 评分标准:本题14分.求得(13)式给4分,说明“看不出”再给2分;求出(l9)式,给5 分,说明“看到”再给3分。 1 1 1 ? R( 2 ? 2 ) 17(14 分 )由巴耳末—里德伯公式 ? k n 可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n = 2→ k = 1 跃迁时发出的,其波长的倒数 1 3R 1 3Rhc ? ? (1) 对应的光子能量为 E12 ? hc (2) ?12 4 ?12 4 式中 h 为普朗克常量. 巴耳末系波长最短的光是氢原子由 n = ∞→ k = 2 跃迁时发出的, 其 1 R Rhc ? 波长的倒数 (3) 对应的光子能量 E2? ? (4) ?2 ? 4 4 用 A 表示该金属的逸出功,则 eU 1 和 eU 2 分别为光电子的最大初动能.由爱因斯坦光 电效应方程得 解得

3Rhc ? eU 1 ? A (5) 4 e A ? (U1 ? 3U 2 ) (7) 2

Rhc ? eU 2 ? A (6) 4 2e(U1 ? U 2 ) (8) h? Rc

评分标准:本题 14 分. (1)式 2 分,(2)式 2 分, (3)式 2 分,(4)式 2 分, (5)、 (6)式 各 2 分, (7)、(8)式各 1 分. 18(14 分 )利用运动分解法求解此问题。 2E E E (1)令 v0= v1+v′= ,其中 v1= ,v′= 其方向与 v0 方向相同。 (2 分) B B B E 则带电粒子的运动可视为速度为 v1= 的匀速直线运动与速度为 v′ 的逆时针方向的匀 B 速圆周运动的合运动,如答图 6 所示,其圆周运动 y 的半径和周期分别为 ym M mv′ mE 2πm R= = (2 分) 2 (2 分)T= B v qB qB qB R 故带电粒子将做螺旋线运动, 粒子运动的轨迹如答 图 6 中实线所示,M 点为粒子距 x 轴的最远点。在 E 这一点粒子的速度 vM= v1- v′=0,它到 x 轴的距离 x P O v1 v0 2mE 为 ym=2R= (2 分) 答图 6 qB2 z
8

(2)答图 6 中 P 点为粒子运动轨迹与 x 轴的相切点,且粒子在该点的速度为 2E vP= v1+ v′= (2 分) B E 2πm 2πmE 其与 x 轴的切点坐标为 xp=v1T= × = (2 分) B qB qB2 根据运动的周期性,粒子与 x 轴的所有相切点的坐标为 E 2πm 2nπmE x=nxp=v1nT= × n = (n=1、2、3、??) (1 分) B qB qB2 19(14 分 )导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流, 细杆将受到安培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度 的减小,感应电流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中, 电阻丝上产生的焦耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知, 杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即

1 2 Q ? mv0 2

(1)

容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为 ΔU ?

5 RΔT (2) 2

在温度升高?T 的同时,气体体积膨胀,推动液柱克服大气压力做功.设液柱的位移为 Δl ,则气体对外做功 A ? p0 SΔl (3) SΔ l 就是气体体积的膨胀量 ΔV ? SΔl (4) 由理想气体状态方程 pV ? RT ,注 意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有 p 0 ΔV ? RΔT (5)
2 mv 0 (7) 7 p0 S 评分标准:本题 14 分. 、 、 、 、 、 、 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)式各 2 分. 20(14 分 )(1) 卫星围绕地球的运动过程中,万有引力提供向心力 GMm 2π r3 GM =mω2r=m( )2r (1 分) 整理得 = (1 分) 2 r T T2 4π2 3 r GM 由开普勒定律及上面推证知任一椭圆中上式同样适用 k= 2 = (1 分) T 4π2 209+2× 6400+49991 由图可得知半长轴 r= km (1 分) 2 =31500km(或 315× 5m) 10 (1 分) 4× 3153× 15 10× 10 4π2r3 1 T= = s=3150 315s≈55906.95s=0.64 天 (2 分) GM × 9× 10 6.0× 24 10 15 T 从近地点 A 运行到远地点 B 的时间 t= =0.32 天 (1 分) 2 (2) 设近地点 A 和远地点 B 所在轨道处的极小圆弧的半径为 ρ,依题意知万有引力提 供向心力,即 GMm vA2 GMm vB2 fA= (2 分) fB= (2 分) 2 =m 2 =m (L1+R) ρ (L2+R) ρ 联立解得 vA· 1+R)= vB(L2+R) (L (2 分) (3) 据机械能守恒及上面的证明得 1 GMm 1 GMm 1 GMm 1 GMm mv 2= mv B2(1 分) mv 2= mv02(1 分) 2 A L1+R 2 L2+R 2 A L1+R 2 R

由热力学第一定律

Q ? A ? ΔU

(6) 由以上各式可解得

Δl ?

9

vA· 1+R)=vB(L2+R) (L 由以上各式联立解得 v0= 2GM(L1+L2+R) (2 分)代入数据解得 v0=10.6km/s (1 分) (L1+L2+2R)R 21(14分 ) (1)碰撞前后小球与平板(总质量为2m一起在新的平衡位置上下做简谐振

动,如图中虚线所示,拢子系统的周期为 T ? 2? 拢子系统的频率为? ?

2m (1分) k

k (式中ω为角频率)(1分) 2m (2)碰撞前,第一个小球在竖直方向的速度为 v y ? 2 gh (1分) 发生完全弹性碰撞,竖直方向有近似动量守恒 mvy ? 2mv? (1分) y
则碰撞后平板运动的速度为 v y? ? 振子振幅为 A ?

? 1 ? 2? 2?

1 vy ? 2

gh (1分) 2
α O

(v y? ) 2

?

2

?(

mg 2 mg ) ?2 (1分) k k

旋转参考矢量与y轴负方向的夹角满足

cos ? ?

? mg 1 ? ,则 ? ? (1分) 3 mg ? kh 2
mg ? A) 3m k ?2 (1分) g k

Y

设析运动到最低点位置时第二个小球正好下落到这一高度,则第二个小球下落用时

t?

2(h ?

由此可以求出两者不发生碰撞时,第二个小球的最小抛出速度为 v0 ? (3)第一个小球下落到平板用时 t1 ?

l l 3k (1分) ? t 6 m

2h 6m (1分) ? g k

碰撞后平板从原平衡位置压缩到最低位置用时 t2 ? 设两球抛出的时间相差 ?t ,则 ?t ? t ? t1 ? t2

? ? ? 2? ? ? 3

2m (1分) k

2m 3m (1分) ?2 k k 2m 考虑到板往复一次用时 T ? 2? ,第二个小球抛出时间可以是振子系统运动时间大于 k ?t ? t1 ? t2 ? t ?
一个周期后,则两小球抛出的时间差为

6m 2? ? k 3

?t ?

6m 2 2m 3m ? (2n ? )? ?2 k 3 k k
10

(n取非负整数)(2分)

高中物理竞赛模拟训练(二)
本试卷考试用时 3 小时,满分 200 分 一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 。 1.某同学将空的薄金属筒开口向下压入水中,筒静止于图示位置 设水 温均匀且恒定,筒内空气无泄漏,不计气体分子间相互作用。若将被淹没 , 的金属筒缓慢下移 则筒内空气( ) A.对外做负功 B.向外界放热 C.内能增大 D.内能不变 2、如图所示,mA=4.0kg,mB=2.0kg,A 和 B 紧靠着放在光滑水平面上,从 t=O 时刻起, 对 B 施加向右的水平恒力 F2=4.ON,同时对 A 施加向右的水平变力 F1,F1 变化规律如图 所示。下列相关说法中正确的是( ) A.当 t=0 时,A、B 物体加速度分别为 aA=5m/s2,aB=2m/s2 B.A 物体作加速度减小的加速运动,B 物体作匀 加速运动 C.t=12 s 时刻 A、B 将分离,分离时加速度均为 a=2m/s2 D.A、B 分离前后,A 物体加速度变化规律相同

3、如图所示,货物从出料口 P 通过送料管送到传送带上某点 Q(图中未画出),再通过倾 角为 α 的传送带, 以一定的速度传送到仓库里。 送料漏斗出口 P 距传送带的竖直高度为 h. 送 料管的内壁光滑. 为使被送料能尽快地从漏斗出口 P 点通过送料直管运送到管的出口 Q 点, 则送料直管与竖直方向夹角为多少时, 被送料从 P 到 Q 的时间最短( ) A.送料管 PQ 竖直安装 B.送料管 PQ 与竖直方向成 α/2 角安装 C.送料管 PQ 与竖直方向成 α 角安装 D.送料管 PQ 与竖直方向成 2α 角安装 4.如图甲所示,在无限长载流直导线附近有一正方形线圈 ABCD,线圈与导线始终在同 一个平面内,线圈的右端用导线与光电传感器 a1、a2 相连。当载流直导线中电流增大或减 小,使得通过线圈 ABCD 的磁通量发生变化(线圈 ABCD 以外的线路对磁场的响应忽略) , 从而引起监控器报警,光电传感器的原理放大图如乙所示,只有存在如图中箭头所示方向 的电流时,才能使二极管(LED)发光,从而使光电三极管导通引起 D 发光报警。载流直 导线右方的磁场分布如图甲所示(图中只画出磁场的一部分) 。根据以上叙述,你认为下 列说法中正确的是: ( )
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A.根据图甲所示的磁场,可判断导线中电流 I 的方向由 b 到 a B. 如果 D1 发光报警, 说明 导线中电流增大 C.如果导线中电流 I 保持 恒定, 但线圈在纸面内沿导线由 a 向 b 运动,则 D2 将发光报警 D.如果导线中电流 I 保持 恒定,但线圈在纸面内垂直磁感线向 右运动,则 D1 将发光报警 5、如图所示,在水平面上相距 L 的两根平行直导轨间有竖直方向等距离、相间排列的 匀强磁场 B1 和 B2,B1=B2=B,方向相反,每个磁场的宽都是 L 。跨在两导轨上的正方形 金属框 abcd 边长为 L、质量为 m、总电阻为 R,金属框与导轨间的最大静摩擦力为 f (等 于滑动摩擦力) 。现使所有磁场都以加速度 a 向右做初速度为零的匀加速直线运动,短时 间后金属框也将向右运动,则金属框在运动过程中( )

fR 4B 2 L2 (f ? ma)R B.最大速度为 4B2 L2
A.最大速度为 C.最大加速度为 a D.最大加速度为

f m

6、如图所示,均匀介质中两波源 S1、S2 分别位于 x 轴上 x1 ? 0、x2 ? 14m 处,质点 P 位 于 x 轴上 xP ? 4m 处,t ? 0 时刻两波源同时开始由平衡位置向 y 轴正方向振动,振动周期 均为 T=0.1s,传播速度均为 v=40m/s,波源 S1 的振幅为 A1 ? 2cm,波源 S2 的振幅为

A2 ? 3cm,则从 t ? 0 至 t ? 0.35s 内质
点 P 通过的路程为: A.12cm B.16cm C.24cm D.32cm ( )

y/cm v S1
0 2

v P
4 6 8 10 12

S2
14

x/m

二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。 7、 分)如图甲所示, ABCD 为一液体槽, AB 、 CD 所在的侧面为铜板,其他侧面 (8 及底面为绝缘板,槽中盛满导电液体(设该液体导电时不发生电解)。现用质量不计的细铜 丝在下端固定一铁球构成一单摆,铜丝的上端固定在 O 点,下端穿出铁球使得单摆摆动时 细铜丝始终与导电液体接触(小球与液体不接触). O 点与液体槽的中央在同一条竖直线 上.在 AB 、 CD 所在的铜板面上接上图示电源,电源内阻可忽略,电动势 E =8V.将 电源负极和细铜丝的上端点分别连接到传感器上.现将摆球拉离平衡位置使其在垂直于
12

AB 、 CD 的竖直面上做简谐运动.图乙为闭合开关 S 后某段时间内传感器显示的摆球与 CD 板之间的电压波形,根据这一波形,可以得出: (1)单摆的摆长为___________ m(取

? 2 =10)
(2)设 AB 、 CD 所在的侧面两铜板 内侧之间的距离为 L ? 4cm ,则细铜 丝与导电液体的接触点偏离 CD 的最 大距离 Lm 为__________cm 8、 (8 分)如图所示,R1、R2、R3 为定值电阻,但阻值未知,Rx 为电阻箱。当 Rx 为 Rx1=10Ω 时,通过 它的电流 Ix1=1A;当 Rx 为 Rx2=18Ω 时,通过它的电流 Ix2=0.6A;则 当 Ix3=0.1A 时,电阻 Rx3 的阻值为__________。 R1 E r R3 R2 Rx

9、 (8 分)如图所示,六面体框架由 12 个不同电阻组成,已知 R1=12Ω,其余未知,测得 A、B 间总阻为 4Ω,若 R1 变为 6Ω,则 A、 B 间电阻变为多大 . 10、 (8分)如图所示,质量分布均匀、边长为L的正三角形框架可 以绕通过C点的水平转轴转动,转轴对框架轴承的最大摩擦力矩M0。 A B R1 在三角形框架的下边框上有一质量为m的小电动玩具汽车从静止开 始沿边框向左加速运动,其质心位于O点右方x处。已知玩具汽车停 在任意位置时,框架底边始终保持水平,则汽车的加速度口与x满足 ________关系时,三角形框架仍能处于平衡状态。 11、 (8分)、实验表明:当物体中存在温度差时,热量会从温度 高的地方向温度低的地方传递(即热传导现象)。比如对一长为L、横 截面为S的细棒,当两端的温度维持在ΔT时,在稳态下,△t时间内从高温端向低温端的热 量传递△Q满足关系式 ?Q ? kS

?T ?t ,式中可k为细棒材料的导热系数。如图所示,长度 L

分别为L1、L2,导热系数分别为k1、k2的两个横截面相等的细棒在D处对接。两细棒的两端 分别与温度为T1、T2的两个恒温热源有良好的接触。 则在稳定状态下,两个细棒对接处D的温度T=__ ____。 12、 (8分)、如图所示,由两种金属构成一半径为r导体圆环,两部 分的电阻均为R,但长度分别为周长的

1 3 、 ,将其放入磁感应强度B 4 4

随时间变化规律为B=kt (k>0)的磁场中,磁场方向垂直于环面,则两 种金属接触点a、b间的电势差大小△U=_______。

13

13、 (8分)、如图所示,三角板的∠A=30° ,∠B=90° ,AC=l,P为AB边上一点,且 ∠ACP=30° 。当三角板ABC在纸面内以恒定角速度国绕C点转动时,A点相对P点速度大小 为______。 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的 不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14、 (10分)如图所示为法拉第圆盘发电机。半径为 r 的导 体圆盘绕竖直轴以角速度旋转,匀强磁场B竖直向上,电刷a 与圆盘表面接触,接触点距圆心为 r/2,电刷b与圆盘边缘接 触,忽略圆盘电阻和接触电阻,求通过电阻R的电流强度的大 小和方向。

15、 (10 分)有一空间探测器 A 对一半径为 R 的球状行星 B 进行探测,发现 B 表面覆盖着 一层厚厚的冻结的二氧化碳(干冰) ,没有生命迹象存在。测得 A 在 B 上空离 B 表面高 h 的圆形轨道上绕 B 运行的周期为 T。有人建议用化学方法把二氧化碳分解为碳和氧气而在 B 上面产生大气。由于 B 对大气吸引力的作用,B 的表面就会形成一定的气压。设在时间 t0 内干冰分解可产生质量为 m0 的氧气,二氧化碳的蒸发忽略不计,不考虑 B 的自转,大气 层的厚度与 B 的半径相比很小。为使 B 表面附近产生的气压为 p,则分解干冰需要经过多 长时间?

16、 (14 分)如图所示,水平地面上固定有一半球为 R 的半球面,其斜上方 P 点与球心 O 之间的距离 L = 13 5 R,P 点距地面的高度 H = R,重力加速度为 g 。要使某一质点从 P 2 4

点由静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间内滑到球面上,则此轨道与竖直方向之间的夹 角 θ 为多大?所需的最短时间 t 为多长?
P L H R O

14

17、 (14 分)一系统由上下两部分和一短而硬(即劲度系数很大)的轻质弹簧构成.上部分 A 的质量为 m1, 下部分 B 的质量为 m2, 弹簧夹在 A 与 B 之间, 与二者接触而不固连.让 A、 B 压紧弹簧,并将它们锁定,此时弹簧的弹性势能为 E0. 通过遥控解除锁定时,弹簧可瞬 时恢复原长. 现将该系统从一高为 H 的楼顶处由静止开始自由下落,撞击地面后以原速率 反弹,反弹后当系统竖直向上运动到离地面高为 h ?

3 H 时解除锁定.求 4

(1)解除锁定前瞬间,A、B 的速度为多少? (2)解除锁定后瞬间,A、B 的速度为多少? (3)解除锁定后 H、E0、m1、m2 满足什么条件,A 上升的高度最大.A 上升的高度最大距 地面多高?

18、 (15 分)如图所示,微粒 A 位于一定高度处,其质量 m = 1× -4kg、带电荷量 q = + 10 -6 1× C,塑料长方体空心盒子 B 位于水平地面上,与地面间的动摩擦因数 μ = 0.1。B 上 10 表面的下方存在着竖直向上的匀强电场,场强大小 E = 2× 3N/C,B 上表面的上方存在着 10 1 竖直向下的匀强电场,场强大小为2 E。B 上表面开有一系列略大于 A 的小孔,孔间距满足 一定的关系,使得 A 进出 B 的过程中始终不与 B 接触.当 A 以 υ1 = 1m/s 的速度从孔 1 竖 直向下进入 B 的瞬间,B 恰以 υ2 = 0.6m/s 的速度向右滑行.设 B 足够长、足够高且上表面 的厚度忽略不计,取 g = 10m/s2,A 恰能顺次从各个小孔进出 B.试求: A (1) 从 A 第一次进入 B 至 B 停止运动的过程中,B 通过的总路程 s; k 3 21 (2) B 上至少要开多少个小孔,才能保证 A 始终不 与 B 接触。 ⑶从右到左,B 上表面各相邻小孔之间的距离分别为 B 多大?

19、 (15 分)一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射后,会聚于透镜 f ? 48 cm 处,透镜的折射率 n ? 1.5 。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12 cm 处, 求最后所成象的位置。

15

20、 (15 分)如图所示,粒子源 S 可以不断地产生质量为 m、电荷量为+q 的粒子,粒子从 小孔 O1 漂进(不计初速)一个水平方向的加速电场,再经小孔 O2 进入相互正交的匀强电 场和匀强磁场区域,其电场强度大小为 E,磁感应强度大小为 B1,方向如图.虚线 PQ、 MN 之间存在着水平向右的匀强磁场,磁感应强度大小为 B2(方向图中未画出) .现有 n 块折成直角的相同硬质塑料板 abc(不带电,宽度很窄,厚度不计)紧靠在一起,恰好放 置在 PQ、MN 之间(截面图如图) ,ab = bc = L,θ = 45° .现使粒子能沿水平虚线 O2O3 进入 PQ、MN 之间的区域.假设粒子的重力、空气阻力均不计,粒子与板相碰后,速率不 变,方向变化遵守光的反射定律. (1) 求加速电压 U; (2) 粒子在 B2 磁场中运动的总时 ─ 间 t;⑶ 粒子在 PQ、MN 之间运动的平均速度大小 υ.
P B1 O3 θ U a Q θ θ c θ θ θ N b B2 M

S

O1

O2

m

21、(15 分) 两个质量分别为 m1、m2 的重物(m1>m2)挂在细绳的两 端,细绳绕过一个半径为 r 的滑轮,在滑轮上固定了两根长均为 2r 对称 分布的轻辐条,两辐条的另一端点均固定有质量为 m 的重球,如图所示。 左边细绳足够长,轴的摩擦力、绳及滑轮的质量忽略不计,绳与滑轮间不 发生相对滑动,重力加速度为 g。现让重物 m1 从图示位置由静止开始释 放而做匀加速运动, m1 重物下落 2πr 高度时, 当 求: ⑴重物运动的加速度 大小 a、细绳对 m1 的拉力大小 F1 和对 m2 的拉力大小 F2 ⑵轴对滑轮的作 用力 N 有多大?

2r

r

m1 m

m2

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高二物理竞赛辅导训练(十九) (模拟训练 2)
参考解答与评分标准
一、选择题(36 分)答案: 1. ABD 2. C 3. B 4. D 5.C 6. CD 评分标准:每小题 6 分。全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分。 二、填空题及作图题答案及评分标准 7、8 分) ( 0.25 3 8、8 分) ( 118Ω 9、8 分) ( 3Ω 10、8 分) ≤ a ≤ ( 0

2 3 M 0 ? mgx 3 mL

11、 分) (8 三、计算题

L1k2T2 ? L2 k1T1 L1k2 ? l2 k1

12、 分) (8

? r2 k 4

13、 分) (8

3 lω 3

14(10分)解:Ob间的电动势为 ? ( r ) ?

1 2 ? r B (2分) 2

r 1 r2 B (2分) Oa间的电动势为 ? ( ) ? ? 2 2 4 r 3 2 则ab间的电动势 ? ab ? ? (r ) ? ? ( ) ? ? r B (2分) 方向由b到a(1分) 2 8 2 ? 3? r B 通过R的电流为 I ? ab ? (2分) 方向向下(1分) R 8R
15(10 分)解设探测器的质量为 m,行星的质量为 M,根据万有引力提供向心力,得 G Mm 2π 2 =m( ) (R + h) (2 分)而 (R + h)2 T M0g = p· 2 4πR
4 2

G (2 分)

Mm′ = m′g R2

(2 分)

大气所受的重力可近似表示为 解得大气的质量为 M0 =

RT p π(R + h)3

(1 分)

分解产生质量为 M0 的氧气所需时间为 t= M0 t m0 0 (2 分)所以 t= R4T 2p t (1 分) πm0(R + h)3 0
P

16(14 分)解:如图所示,以 P 为最高点,作一个半径为 r 的竖直 平面内的辅助圆。则 质点在光滑斜直轨道 PQ 上的加速度为 a= mgcosα = gcosα. 分) (2 m 4r g

α
θ Q mg

2r

1 2rcosα = 2 at2. 分) (2

由以上两式得质点从 P 点由静止开始沿 PQ 滑到 Q 点的时间为 t= (2 分)即 t 与 α 无关,与 r 成正比。
17

作出以 P 为圆的最高点,相切于半球面 A 点的辅助圆,如图所示,则 PA 为最短时间的斜

直轨道。设辅助圆的半径为 r,则有 在△OPO′中,有 由以上两式得

cosβ =

H- r R+r

(1 分) (2 分)
P

L2 = (R + r)2 + r2 - 2(R + r)rcos(180° β) (1 分)

1 r = 2 R.

L

θ

β = 60°

(1 分) (1 分) R (2 分)
O A

r

1 所以 θ = 2 β = 30°
t= 2R g

r β O′

B

17(14 分)解: (1)解除锁定时系统距地面高 h ? 由下落到(H?h)处的速度.故 v ? 2 g ( H ? h) ,
2

3 H ,此时系统的速度等于物体自 4

(2 分)

1 v ? 2g ? H ? 4 得

gH 2



(2 分)

(2)设解除锁定后,A、B 的速度分别为 v1 、 v2 . 由于弹开瞬时系统动量守恒: (m1 ? m2 ) ? v ? m1v1 ? m2 v2 由于解除锁定过程中系统机械能守恒, ②(2 分)

1 1 1 2 (m1 ? m2 )v 2 ? E 0 ? m1v12 ? m2 v 2 2 2 则有: 2

③(2 分)

v1 ?
由①、②、③解得:

2 E0 m2 gH ? 2 (m1 ? m 2 )m1
由于 v1 ? v, v2 ? v, 所以

v2 ?
v1 ?

2 E0 m1 gH ? 2 (m1 ? m2 )m2
2 E0 m2 gH ? 2 (m1 ? m 2 )m1

(1 分)

v2 ?

(1 分) (3)解除锁定过程中,当 A 获得最大能量。即全部的机械能全部转化给 A 时,A 上升高 度最大.这时 B 物体动能为零.

2 E0 m1 gH ? 2 (m1 ? m2 )m2

v2 ? v ?
即:

2 E0 m1 ?0 (m1 ? m2 )m2

E0 ?
解得:

(m1 ? m2 )m2 2 (m ? m2 )m2 gH ?v E0 ? 1 2m1 4m1 ,即: (2 分)
18

将上式代入 v1 得:

v1 ?

(m1 ? m2 ) ? 2 gH 2m1

h? ?
所以 A 从解锁处上升的高度 故 A 上升的高度最大值为:

v12 m ? m2 2 ?( 1 ) ?H 2g 2m1

(1 分)

(1 分) 注:结果可能形式较多,正确均给分 18(15 分)解:解: (1)A 在 B 内、外运动时,B 的加速度大小 μMg a= = μg = 1 m/s2 (1 分) M B 全过程做匀减速直线运动,所以通过的总路程 υ22 s= = 0.18m (2 分) 2a (2)A 第二次进入 B 之前, qE - mg 在 B 内运动的加速度大小 a1 = = 10 m/s2 (1 分) m υ1 运动的时间 t1 = 2 × = 0.2s (1 分) a1 1 2 qE + mg 在 B 外运动的加速度大小 a2 = = 20 m/s2 (1 分) m υ1 运动的时间 t2 = 2 × = 0.1s (1 分) a2 A 从第一次进入 B 到第二次进入 B 的时间 t = t1 + t2 = 0.3s (1 分) A 运动一个周期 B 减少的速度为 △υ = at= 0.3m/s (1 分) 从小球第一次进入 B 到 B 停下,A 运动的周期数为 υ2 0.6 n= = =2 (1 分) 0.3 △υ 故要保证小球始终不与 B 相碰,B 上的小孔个数至少为 2n + 1 = 5。 (1 分) (3)由于 B 向右做匀减速直线运动,经 0.6s 速度减为零,由逆向思维可知,B 向左做初 速度为零的匀加速直线运动了 0.6s,每经过 0.1s,其位移大小之比为 1∶3∶5∶7∶9∶11, 共有(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11)份即 36 份, 9 + 11 所以,从右到左,B 上表面各相邻小孔之间的距离分别为 s = 0.1m (1 分) 36 7 3+5 1 s = 0.035m (1 分) s = 0.04m(1 分) s = 0.005m(1 分) 36 36 36 19(15 分)解:1.先求凸球面的曲率半径 R 。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发 生折射,它在球面上发生折射,交主光轴于 F 点,如图预解 18-3-1 所示。 C 点为球面的 球心, CO ? R ,由正弦定理,可得

? m ? m2 2 3 ? 4 Eo2 3 H ? ? h ? h? ? ?( 1 ) ? ??H ? 2 2 ? H 4? m2 g H 4 ? 2m1

19

R? f sin r ? (1) 分) (2 R sin(r ? i ) 由折射定律知 sin i 1 (2) 分) (2 ? sin r n 当 i 、 r 很 小 时 , sin r ? r , sin(r ? i ) ? r ? i , sin i ? i ,由以上两式 得 f r n 1 (3) 分) (2 1? ? ? ?1? R r ? i n ?1 n ?1 所以 R ? (n ? 1) f (4) 分) (2 2. 凸面镀银后将成为半径为 R 的凹面镜,如图预解 18-3-2 所示 令 P 表示物所在位置, P 点经平 面折射成像 P ? ,根据折射定律可推出 P?O ? nPO (5) 分) (2 由于这是一个薄透镜, P ? 与凹面镜的 距离可认为等于 P?O ,设反射后成像 于 P ?? ,则由球面镜成像公式可得 1 1 2 ? ? (6) 分) (2 ??O P?O R P 由此可解得 P??O ? 36 cm ,可知 P ?? 位 于平面的左方,对平面折射来说, P ?? 是一个虚物,经平面折射后,成实像于 P ??? 点。 P ???O 1 ? (7) 分) (2 所以 P???O ? 2 4 c m (8) 分) (1 P ??O n 最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。 20(15)解: (1)设粒子被加速电场加速后的速率为 υ,根据动能定理得
1 qU = 2 mυ2 即 υ= E B1 (2 分) 得 U= 粒子能沿图中虚线 O2O3 运动,则有 qE = qυB1 mE2 (1 分) 2qB12

(2 分)

(2)粒子从 O3 以速率 υ 进入 PQ、MN 之间的区域,先水平向右做匀速运动,打到 ab 板 上,以大小为 υ 的速度垂直于 B2 磁场方向做半径为 R 的匀速圆周运动,运动一周后打到 ab 板的下表面.随后又以大小为 υ 的速度水平向右做匀速运动???. qυB2 = m υ2 R (1 分) T= 2πR υ (1 分)得 T = 2πm qB2 (1 分) (2 分)

粒子在 B2 磁场中共碰到 2n 块直板,做圆周运动所需的总时间为 t1 = 2nT 粒子进入 B2 磁场在 a c 方向的总位移为 对应的时间为 t2 = s υ (1 分) s = n · 2L (2 分)

20

所以 t = t1 + t2 =

4πnm + qB2

2nB1L (1 分) E



s 2qEB2L (1 分) υ = t = 4πmE + 2qB1B2L

21(15 分)解:⑴ 设重物 m1、m2 做初速为零的匀加速直线运动 2πr 距离后获得速率为 υ,重球 m 获得速率为 υ′,则 υ2 = 2a · 2πr (1 分) 由于绳与滑轮间不发生相对滑动,有 υ′ υ = 2r r (1 分) (2 分)

1 1 对整个系统,机械能守恒,有 m1g · - m2g · = 2 ( m1 + m2 )υ2 + 2 ×2mυ′2 2πr 2πr
分别对重物 m1、m2,由牛顿第二定律得 m1g - F1 = m1a (2 分) F2 - m2g = m2a (2 分) 联立以上各式解得 a= F2 = m1 - m2 g m1 + m2 + 8m 2m2(m1 + 4m)g m1 + m2 + 8m (1 分) (1 分) F1 = 2m1(m2 + 4m)g m1 + m2 + 8m (1 分)

⑵ 重物 m1 从图示位置由静止开始释放下落 2πr 高度时,两辐条仍在竖直方向上。 解法一 mg + T1 = ma′ (1 分) T2 - mg = ma′ (1 分) 而 N = F1 + F2 + T2 - T1 (1 分) 得 N= = 4m1m2 + 8m (m1 + m2 ) g + 2mg m1 + m2 + 8m 4m1m2 + 10m (m1 + m2 ) + 16m2 g m1 + m2 + 8m (1 分)

解法二 超重、失重角度入手: 重物 m1 失重了 m1a,重物 m2 超重了 m2a,上面重球失重了 ma′,下面重球超重了 ma′,所 以 N = ( m1 + m2 + 2m)g - m1a + m2a - ma′ + ma′ (3 分) 得 N = ( m1 + m2 + 2m)g = (m1 - m2)2 g m1 + m2 + 8m (1 分)

4m1m2 + 10m (m1 + m2 ) + 16m2 g m1 + m2 + 8m

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高中物理竞赛模拟训练三
本试卷考试用时 3 小时,满分 200 分 一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有 一项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的 方括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1.无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度,性能优于传统的档位变速器。很多 种高档汽车都应用了无级变速。如图所示是截锥式无级变速模型示意图,两个锥轮中间有 一个滚轮,主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动。 从动轮 当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降 低,滚轮从右向左移动时从动轮转速增加。当滚轮位于主动轮直径 D1,从动轮直径 D2 的位置上时,则主动轮转速 n1,从动轮转速 n2 之间的关系是( ) D2 D1 主动轮 (A)n2=n1 (B)n2=n1 D1 D2 D1 D12 (C)n2=n1 (D)n2=n1 2 D2 D2 2.2007 年北京时间 11 月 7 日早上 8 时 34 分,总重量达 2300 kg 的探月卫星“嫦娥一 号”成功实施第三次近月制动,进入周期为 127 分钟的圆形越极轨道。经过调整后的 127 分钟圆形越极轨道是嫦娥一号的最终工作轨道,这条轨道距离月面 200 km 高度,经过月 球的南北极上空。由于月球的自转作用,处于越极轨道的嫦娥一号可以完成包括月球南北 - 极、月球背面的全月探测工作。已知月球半径为 1738 km,万有引力恒量 G=6.67?10 11 Nm2/kg2。由上述资料根据所学的物理知识可以估算出( ) (A)月球的质量 (B)月球的平均密度 (C)月球自转的周期 (D)月球表面的重力加速度 3.如图所示,虚线框内存在均匀变化的匀强磁场,三个电阻阻值之比 R1:R2:R3=1:2:3, 连接电路的导线电阻不计。当 S1、S2 闭合,S3 断开时,闭合的回 路中感应电流为 I,当 S2、S3 闭合,S1 断开时,闭合的回路中感应 R1 S1 电流为 5I,当 S1、S3 闭合,S2 断开时,闭合的回路中感应电流为 ??? ( ) R2 ??? S2 (A)0 (B)3I (C)6I (D)7I ??? R3 S3 4.如图所示,一根下端开口的细直玻璃管竖直插入水银槽中, 管内外水银面的高度差为 h。若使玻璃管倾斜一些偏离竖直方向,且保证管口不 离开水银面(管内水银面不至触及管顶) ,则管内外水银面的高度差 h( ) h (A)一定减小 (B)可能减小 (C)可能增大 (D)可能不变 5.消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题,内燃机、通风机等在排放各 种高速气体的过程中都发出噪声,干涉型消声器可以用来削弱高速气流产生的噪声。干涉 型消声器的结构及气流运行如图所示,产生的波长为?的声波沿水平管道自左向右传播。 在声波到达 a 处时,分成两束相干波,它们分别通过 r1 和
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a b

r2 的路程,再在 b 处相遇,即可达到削弱噪声的目的。若?r=r2-r1,则?r 等于( (A)波长?的整数倍 (B)波长?的奇数倍 (C)半波长



?
2

的奇数倍 (D)波长

?
2

的偶数倍

6.如图所示,相距为 d 的两条水平虚线 L1、L2 之间是方向水平向里的匀强磁场,磁感 应强度为 B,正方形线圈 abcd 边长为 L(L<d) ,质量为 m,电阻为 R,将线圈在磁场上 方高 h 处静止释放,cd 边刚进入磁场时速度为 v0,cd 边刚离开磁场时速度也为 v0,则线 圈穿越磁场的过程中(从 cd 边刚进入磁场起一直到 ab 边离开磁场为 止) ( ) (A)感应电流所做的功为 mgd (B)感应电流所做的功为 2mgd mgR (C)线圈的最小速度可能为 2 2 BL (D)线圈的最小速度一定为 2g(h+L-d) 二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。 7、(8 分)图示电路中,电池的电动势为?,两个电容器的电容都为 C,K 为一单刀双 掷开关,开始时两电容器均不带电, (1)第一种情况,先将 K 与 a 接通,达到稳定, 此过程中电池内阻消耗的电能等于______________,再将 K 与 a 断开而与 b 接通,此 过程中电池供给的电能等于______________。 (2)第二种情况,先将 K 与 b 接通,达 到稳定,此过程中电池内阻消耗的电能等于______________,再将 K 与 b 断开而与 a 接通,此过程中电池供给的电能等于______________。
C a K b

A -q
a F

(第 7 题图) (第 8 题图) 8、 (8 分)如图所示,光滑水平地面上有木块 A 和 B,在水平推力 C B +2q 作用下作匀加速直线运动,加速度为 a,木块 A 和 B 的质量分别 +2q 为 mA 和 mB,两者之间有一轻弹簧相连,某时刻撤去外力,则这 一瞬间木块 A 的加速度大小为 ,B 的加速度大小为___ 9、(8 分 )如图所示,在边长均为 l 的三角形绝缘支架的三个点上各固定着质量均为 m,电 量分别为-q,+2q,+2q 的 A,B,C 小球,球 A 用绝缘细线吊 a b R1 于天花板上, 整个装置处于场强为 E 的竖直向下的匀强电场中,
支架重不计,则悬线的张力大小为_______. 10、 分)如图所示的电路中, 1=4Ω, 2=10Ω, 3=6Ω, 4=3Ω, (8 R R R R a、b 为接线柱,电路两端所加电压为 24V,当 a、b 间接入一理 想电流表时,它的示数应是_ ______A(保留两位有效数字) R2 U R3 R4

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11.(8 分)离子推进器是新一代航天动力装置,可用于卫星姿态控制和轨道修正。推进剂从 图中 P 处注入,在 A 处电离出正离子,BC 间加有恒定电压,正离子进入 B 时速度忽略不 计,经加速后形成电流为 I 的离子束后喷出。已知推进器 A B C D 获得的推力为 F,单位时间内喷出的离子质量为 J。为研 究问题方便,假定离子推进器在太空中飞行时不受其他外 力,忽略推进器运动速度,则加在 BC 间的电压 U= P ______________。 12、(12 分)如图所示,在距水平地面高为 0.4m 处,水平固定一根长直光滑杆,在杆上 P 点固定一定滑轮,滑轮可绕水平轴无摩擦转动,在 P 点的右边,杆上套有一质量 m=2kg 的小球 A。半径 R=0.3m 的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面 上,其圆心 O 在 P 点的正下方,在轨道上套有一质量也为 m=2kg 的小球 B。用一条不可伸长的柔软细绳,通过定滑轮将两小球连接 起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内,两小球均可看作质点,且 不计滑轮大小的影响。现给小球 A 一个水平向右的恒力 F=55N。则: (1) 把小球 B 从地面拉到 P 点正下方 C 点过程中,力 F 做功为_____J (2)小球 B 运动到 C 处时的速度大小为____________m/s (3)小球 B 被拉到与小球 A 速度大小相等时, ?OPB =_______(可用反三角函数表示) 13、 16 分)如图所示, L 是一焦距为 f 的薄凸透镜( F 与 F ’为其焦点) ( .在透镜 右侧焦点 F ’处放置一曲率半径大小为 R 的球面反射镜(其顶点位于 F ’处) ,透镜和 球面镜组成一轴对称的光学系统. 在透镜 L 左侧光轴上有限远处有一发光点 P, 它发出的 傍轴光线经此光学系统后,恰好成像在 P 点.试在下面第 1 和第 2 小题中填空,在第 3 小题中作图. 1 .若球面镜为凹面镜,则 P 点到透镜的距离等于_____________;若球面镜为凸面镜, 则 P 点到透镜的距离等于____________________ . 2 .若将一短细杆垂直于光轴放置,杆的下端位于 P 点,则此细杆经上述光学系统所成的 最 后 的 像 的 大 小 与 物 的 大 小 之 比 对 凹 面 镜 等 于 _____________ ; 对 凸 面 镜 等 于 ____________. 3 . 若球面镜的半径大小 R=2f, 试按作图法的规范要 求, 画出第 2 问中短杆对上述光学系统逐次成的像及 成像光路图. (要求将凹面镜和凸面镜分别画在两张图 上.评分时只按图评分,不要求写出作图理由和说明, 但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置. ) 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和 重要的演算步骤。只写出最后结果的不能得分。 。 E D A 14、 分)如图所示, (12 斜面重合的两锲块 ABC 及 ADC, ? 质量均为 M,AD、BC 两面水平,E 为质量等于 m 的 小滑块,楔块的倾角为 ? ,各面均光滑,系统放在水 ? P′ 平平台角上从静止释放, 求两斜面未分离前楔块 ABC C B P 的加速度。 B 15、 (12 分)如图所示,两根正对的平行金属直轨道
24 M′ a R M b F s d N N′

MN、M? N? 位于同一水平面上,两轨道之间的距离 l=0.50m,轨道的 MM?端之间接一阻值 R=0.40Ω 的定值电阻,NN?端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道 NP、N?P?平滑 连接, 两半圆轨道的半径均为 R0=0.50m. 直轨道的右端处于竖直向下、 磁感应强度 B=0.64 T 的匀强磁场中, 磁场区域的宽度 d=0.80m, 且其右边界与 NN?重合. 现有一质量 m=0.20kg、 电阻 r=0.10Ω 的导体杆 ab 静止在距磁场的左边界 s=2.0m 处.在与杆垂直的水平恒力 F=2.0N 的作用下 ab 杆开始运动, 当运动至磁场的左边界时撤去 F, 结果导体杆 ab 恰好能 以最小速度通过半圆形轨道的最高点 PP?.已知导体杆 ab 在运动过程中与轨道接触良好, 且始终与轨道垂直,导体杆 ab 与直轨道之间的动摩擦因数 μ=0.10,轨道的电阻可忽略不 计,取 g=10m/s2,求: (1)导体杆刚进入磁场时,通过导体杆上的电流大小和方向; (2) 导体杆穿过磁场的过程中通过电阻 R 上的电荷量; (3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路 中产生的焦耳热. 16.(12 分)如图所示,质量为 3m 的足够长木板 C 静止在光滑水平面上,质量均为 m 的 两个小物块 A 、 B 放在 C 的左端, A 、 B 间相距 s0,现同时对 A 、 B 施加水平向右的瞬 B 时冲量而使之分别获得初速度 v0 和 2v0, A 、 与 C 之间的动摩擦因数分别为 μ?? 2μ?? 若 和 , 则 (1) 最终 A 、B 、C 的共同速度为多大? (2) A 与 C 刚相对静止时 B 的速度为多大? 当 (3) A 与 B 最终相距多远?(4)整个过程中 A 、 B 与木板 C 因摩擦所产生的热量之比 为多大?

A

B C

17(12 分).如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在 水平放置的绝热气缸内.活塞可在气缸内无摩擦地滑动.气缸左端的电热丝可通弱电流对 气缸内气体十分缓慢地加热. 气缸处在大气中, 大气压强为 p0. 初始时, 气体的体积为 V0 、 压强为 p0. 已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量 为一已知恒量 c.求以下两种过程中电热丝传给气体的热量 Ql S 与 Q2 之比. (1)从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通 以弱电流,并持续一段时间,然后停止通电,待气体达到热平 衡时,测得气体的压强为 pl . (2)仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通以弱电流,也持续一段时间, 然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2. 18. (12 分)如图所示,真空中有(r,0)为圆心,半径 为 r 的圆柱形匀强磁场区域, 磁场的磁感应强度大小为 B, 方向垂直于纸面向里, y=r 的虚线上方足够大的范围内, 在 有方向水平向左的匀强电场, 电场强度的大小为 E,从 O 点 向不同方向发射速率相同的质子,质子的运动轨迹均在纸
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面内,设质子在磁场中的偏转半径也为 r ,已知质子的电量为 e,质量为 m,不计重力及 阻力的作用,求: (1)质子射入磁场时的速度大小 (2)速度方向沿 x 轴正方向射入磁场的质子,到达 y 轴所需的时间 (3)速度方向与 x 轴正方向成 30°角(如图中所示)射入磁场的质子,到达 y 轴的位置 坐标。

19、 (10 分)如图所示,B 是质量为 mB、半径为 R 的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面 上。A 是质为 mA 的细长直杆,被固定的光滑套管 C 约束在竖直方向,A 可自由上下运动。 碗和杆的质量关系为:mB=2mA。初始时,A 杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上 边缘接触(如图) 。然后从静止开始释放 A,A、B 便开始运动。设 A 杆的位置用? 表示, ? 为碗面的球心 O 至 A 杆下端与球面接触点的连线方 向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小(表示 成? 的函数) 。

20、 (12 分)如图甲为一研究电磁感应的 装置, 其中电流传感器(相当于一只理想的 电流表)能将各时刻 t 的电流 I 数据实时送 到计算机,经计算机处理后在屏幕上显示 出 I - t 图象。 已知电阻 R = 0.60Ω, 杆的电 阻 r = 0.40Ω,杆的质量 m 及悬挂物的质
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电流 传感器 R

B S m θ

θ 接计算机 甲 M

量 M 均为 0.10kg,杆长 L = 1.0m。实验时,先断开 S,取下细线调节轨道,当倾角为 θ 时, 杆恰好能沿轨道匀速下滑,然后固定轨道,闭合 S,在导轨区域加一垂直轨道平面向下的 匀强磁场。 现让杆在物 M 的牵引下从图示位置由静止开始释放, 计算机屏幕上立即显示出 如图乙所示的 I - t 图象。设杆在运动过程中始终与平行轨道垂直,细线始终与轨道平行, 导轨的电阻、细线与滑轮间的摩擦均忽略不计,取 g = 10m/s2,结果保留两位有效数字。 试求: (1)匀强磁场的磁感应强度 B 的大小; (2)0~0.40s 内通过 R 的电荷量 q; (3)0~0.40s 内 R 上产生的焦耳热 QR。

21、 (14分)如图所示,定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组,各滑轮与转轴间的摩擦、 滑轮的质量均不计。在动滑轮D上,悬挂有砝码托盘A,跨过滑轮组的 不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线(图中穿过弹簧的 那条坚直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上,弹簧的下端与托 盘底固连,上端放有砝码1(两者未粘连) 。已加三个砝码和砝码托盘的 质量都是m,弹簧的劲度系数为k,压缩量为l0,整个系统处在静止状态。 现突然烧断栓住弹簧的轻线,弹簧便伸长,并推动砝码1向上运动,直 到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部 相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。

高中物理竞赛模拟训练三参考答案
一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1、B 2、ABD 3、D 4、BCD 5、C 6、BCD 二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。 7、?2C / 2,0,?2C / 4,?2C / 4。 8、mBa/mA , a ;9、3mg+3qE 10、6.7
27

F2 11、U= 12. (1)22 2JI

(2)4

(3) arcsin

3 4

13、

5

. 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果 的不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14、(12 分)解:设两斜面间弹力为 N1 ,方向与 AC 面垂直,E 与 ADC 间弹力为 N 2 , 方向与 AD 面垂直,设 ABC 楔块加速度为 a B ,方向水平向左,E 的加速度为 a E ,方向竖 直向下,ADC 相对于 ABC 的加速度为 a ? ,方向沿 AC 面向下。由于系统在水平方向不受 D 外力,有 (1) a? Cos? ?a B ? 0 D E E 物紧贴 ADC 的 AD 面,所以 D A ? a E ? a? Sin? (2) D 对楔块 ABC,在水平方向有 N1Sin? ? MaB (3) ? C B 对 E 在竖直方向应用牛二定律有 mg ? N 2 ? maE (4) 对 ADC 在竖直方向上有 N 2 ? Mg ? N1Cos? ? Ma? Sin? (5) (注:因为 ABC 没有竖直方向的加速度,故 D

a? Sin? 即为 ADC 相对桌面竖直方向之加速度) D ( M ? m) gCtg? 联立方程(1)——(5)可得 a B ? 2 M ? 2m ? MCtg 2?

(6)

15. (12 分)解: (1)设导体杆在 F 的作用下运动至磁场的左边界时的速度为 v1,根据

28

动能定理则有(F-μmg)s=

1 mv12 2

导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势 E=Blv1 此时通过导体杆上的电流大小 I=E/(R+r)=3.8A(或 3.84A) 根据右手定则可知,电流方向为由 b 向 a (2)设导体杆在磁场中运动的时间为 t,产生的感应电动势的平均值为 E 平均,则由法拉第 电磁感应定律有 E 平均=△φ/t=Bld/t 通过电阻 R 的感应电流的平均值 I 平均=E 平均/(R+r) 通过电阻 R 的电荷量 q=I 平均 t=0.512C(或 0.51C) (3)设导体杆离开磁场时的速度大小为 v2,运动到圆轨道最高点的速度为 v3,因导体杆 恰好能通过半圆形轨道的最高点,根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有 mg=mv32/R0 对于导体杆从 NN′运动至 PP′的过程,根据机械能守恒定律有

1 1 mv22= mv32+mg2R0 2 2

解得 v2=5.0m/s

导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能△E=

1 1 mv12- mv22=1.1J 2 2

此过程中电路中产生的焦耳热为 Q=△E-μmgd=0.94J 16(12 分) .解: (1)由于 A 、 B 、 C 三个物体构成的系统在水平方向不受外力,所以 由动量守恒定律可得 (2 分) mv0 ? 2mv0 ? 5mv (1 分) v ? 0.6v0 (2)设经 t 时间 A 与 C 恰好相对静止,共同速度为 v AC ,此时 B 的速度为 v B ,由 mv0 ? 2mv0 ? 4mvAC ? mvB (1 分) ? ?mgt ? m?v AC ? v0 ? (1 分) (2 分) ( ?mg ? 2?mg )t ? 3mvAC (1 分)可解得: v AC ? 0.5v0 vB ? v0 (3)在 A 与 C 相对静止前,三个物体的加速度大小分别为 ?mg 2 ?mg ?mg ? 2 ?mg aA ? ? ?g , a B ? ? 2 ?g , aC ? ? ?g (1 分) m m 3m A 、 B 做匀减速运动, C 做匀加速运动;在 A 与 C 相对静止后,三个物体的加速度 2?mg 1 ? ? ?g a? ? a B ? 2?g 大小又分别为 a ? ? aC ? (1 分) A B m ? 3m 2 A 、 C 做匀加速运动, B 做匀减速运动,最终三个物体以共同速度匀速运动。 于是可解得:最终 A 、 B 、 C 的共同速度为 在开始运动到三个物体均相对静止的过程中 A 、 B 相对于地面的位移分别为
2

sA ?

2 2 2 v0 ? v AC v 2 ? v AC v2 ?2v0 ? ? v 2 v2 ? ? 0.485 0 (1 分) s B ? ? 0.91 0 (1 分) 2a A 2a? ?g 2a B ?g A

2 v0 (1 分) ?g (4)设整个运动过程 A 相对于 C 滑行距离为 s ,则 B 相对于 C 滑行的距离为

所以, A 与 B 最终相距

?s ? s0 ? s B ? s A ? s0 ? 0.425

s ? ?s ? s0 ,
于是有

?mgs ? 2?mg ?s ? ?s ? s0 ? ?
29

1 2 1 1 2 mv 0 ? m?2v0 ? ? ?m ? m ? 3m ?v 2 2 2 2 (1

QA ? ?mgs

(1 分)

QB ? 2?mg?s ? ?s ? s0 ?

(1 分)

s ? 0.25

解得: ( 17(12 分) .解:

QA 5 ? ?g )整个过程中 A 、B 与木板 C 因摩擦所产生的热量之比为 QB 27(2 v

2 0

18. (12 分)解: (1)质子射入磁场后做匀速圆周运动,有 evB=mv2/r,可得 v=eBr/m (2)质子沿 x 轴正向射入磁场后经 1/4 圆弧后以速度 v 垂直于电场方向进入电场,

T ?

2 r? v

T?

2?m Bq

在磁场中运动的时间 t1=T/4=πm/2eB

(2 分)

进入电场后做抛物线运动,沿电场方向运动 r 后到达 y 轴,因此有 t2=

2r 2m r ? a eE

(2 分)所求时间为 t= t1+ t2=

?m
2eB

?

2m r eE

(1 分)

(3)质子在磁场中转过 120° 角后从 P 点垂直电场线进入电场,如 图所示 P 点距 y 轴的距离 x1=r+rsin30° =1.5r (2 分)

y E

1 eE 2 t 2 (2 分) 因此可得质子到达 y 轴所需时间为 x1 ? ? 2 m
30

P

t2=

3rm eE

(1 分)在 y 方向质子做匀速直线运动,因此有 y’=vt2= Br

3er mE

(2

分)质子到达 y 轴的位置坐标为(0,r+ Br

3er ) mE

19(10分) .解:由题设条件知,若从地面参考系观测,则任何时刻,A 沿竖直方向运动,设其速度为vA,B沿水平方向运动,设其速度为vB, 若以B为参考系,从B观测,则A杆保持在竖直方向,它与碗的接触点在 碗面内作半径为R的圆周运动,速度的方向与圆周相切,设其速度为VA。 杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度,速 度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得 (1) VA c o ? ? vB (2) VA sin? ? vA s

1 1 2 2 (3) 由能量守恒 mA gR cos? ? mAvA ? mBvB (4) 2 2 2 gR cos? 2 gR cos? 由(3)(4)两式及mB=2mA得 vA ? sin ? 、 (5) vB ? cos? (6) 2 1 ? cos ? 1 ? cos 2 ? 20(12 分) .解:(1) 断开 S 时,有 f = G1 (1 分) 接通 S 后,由图知,杆运动达到稳定时的电流 I = 1.0A Mg f + BIL = G1 + Mg (1 分)得 B = = 1.0T (1 分) IL (2)0.40s 内通过电阻的电荷量为图线与 t 轴包围的面积 由图知:总格数约为 159 格(155~163 均正确) q = 159× 0.04× 0.04C = 0.25C (或 0.26C) (3)由图知:0.40s 末杆中的电流 I = 0.88A △Ф BLυ BLx I= (2 分) υ = 0.88m/s q= · = △t (2 分) R+r R+r (R + r)△t 1 x = 0.25m (或 0.26m) Mgx = 2 ( M + m )υ2 + Q (2 分) qMg(R + r) 1 R Q= - 2 ( M + m )υ2 = 0.17J (或 0.18J) QR = Q = 0.10J (或 0.11J) BL R+r 21(14分) .解:设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t,在这段时间内,各砝码 和砝码托盘的受力情况如图1所示:图中,F表示△t 时间内任意时刻弹簧的弹力,T 表示 该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力,mg为重力,T0为悬挂托盘的绳的拉力。因D的质量忽 略不计,有 T0=2T (1) 在时间△t 内任一时刻,法码1向上运动,托盘向下运动,砝码2、3则向上升起,但砝 码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻,砝码1的速度大小为v1, 砝码2、3与托盘速度的大小都是v2,由动量定理,有 I F ? I mg ? mv1 (2) IT ? I mg ? mv2 (3) IT ? I mg ? mv2 (4) I F ? I mg ? IT0 ? mv2 (5)
因而 vB ? vA cot ? 式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在△t 时间内冲量的大小。注意到式(1) , 有IT0=2IT (6) 由(2)(3)(4)(5)(6)各式得 v2 ? v1 、 、 、 、

1 3

(7)

在弹簧伸长过程中,弹簧的上端与砝码1一起向上运动,下端与托盘一起向下运动。 以△l1表示在△t 时间内弹簧上端向上运动的距离,△l2表示其下端向下运动的距离。由于
31

在弹簧伸长过程中任意时刻,托盘的速度都为砝码1的速度的1/3,故有

1 ?l2 ? ?l1 3 1 2 1 2

(8) 另有 ?l1 ? ?l2 ? l0

(9)

在弹簧伸长过程中,机械能守恒,弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增
2 2 2 加,即有 kl0 ? mv1 ? 3 ? mv2 ? mg ?l1 ? mg?l2 ? 2mg?l2
2 由(7)(8)(9)(10)式得 v1 ? 、 、 、

1 2

(10)

3 ?1 2 ? (11) ? kl0 ? mgl0 ? 2m ? 2 ? 砝码1与弹簧分开后, 砝码作上抛运动, 上升到最大高度经历时间为t1, 1=gt1 (12) 有v 砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示,以a表示加速度的大小,有mg-T=ma (13) mg-T=ma (14)T0-mg=ma(15)T0=2T (16) 1 由(14)(15)和(16)式得 a ? g (17) 、 3 托盘的加速度向上,初速度v2向下,设经历时间t2,托盘速度 变为零,有v2=at2 (18) 图 v1 2 由(7)(12)(17)和(18)式,得 t1 ? t2 ? (19)即砝码1自与弹簧分离到速度为零 、 、 g 经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知,当砝码回到分离位 置时,托盘亦回到分离位置,即再经历t1,砝码与弹簧相遇。题中要求的时间 t总 ? 2t1(20)
由(11)(12)(20)式得 、 、

t总 ?

2 3 ?1 2 ? ? kl0 ? mgl0 ? g 2m ? 2 ?

高中物理竞赛模拟训练四
本试卷考试用时 3 小时,满分 200 分 一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有 一项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的 方括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1. 如图 1 所示电路, 电阻 R 和线圈自感系数 L 的值都很大, 线圈的直流电阻很小可忽略
32

不计, A、B 是两只相同的灯泡, 且不会被烧毁, 则下列判断正确的是 ( ) A. 开关 S 闭合时, 两灯同时亮, 随后 B 灯熄灭 B. 开关 S 闭合时, 两灯同时亮, 以后都不会熄灭 A B C. 开关 S 断开时, 两灯同时熄灭 D. 开关 S 断开时, B 灯先熄灭, A 灯稍后再熄灭 L R 2.如图所示为空间某一电场的电场线,a、b 两点为其中一条竖直向下的电场线上的两 S 图1 点,该两点的高度差为 h,一个质量为 m、带电量为+q 的小球从 a 点静止释放后沿电场 线运动到 b 点时速度大小为 3gh ,则下列说法中正确的有( ) A.质量为 m、带电量为+2q 的小球从 a 点静止释放后沿电场线运动到 b 点时速度大小为 2 gh B. 质量为 m、 带电量为-q 的小球从 a 点静止释放后沿电场线运动到 b 点时速度大小为 2 gh C. 质量为 m、 带电量为-q 的小球从 a 点静止释放后沿电场线运动到 b
a E b

点时速度大小为 gh D.质量为 m、带电量为-2q 的小球从 a 点静止释放后将在 ab 间来回振动。 3.如图所示,光滑平行金属导轨水平放置在均匀磁场中,磁场方向与导轨平面垂直。 质量为 m,电阻为 R 的金属棒静止在导轨上。导轨的一端经电键与带有等量异号电荷(电 量均为 Q)的平行导体板连接。开始时电键 S 处于打开状态,当闭合电键时,发现导体棒 开始运动。已知两导体板之间的电势差与导体板所带电量成正比。下列说法中正确的是 ( ) S A.导体板上的电荷逐渐减少,最后变为零 +Q ? ? ? ?B B.导体棒中的电流逐渐减小,最后变为零 -Q ? ? ? ? C.导体棒的速度先增大,后减小,最后变为零 D.导体棒的速度达到最大时,导体板上的电荷为零 4. 我国于 2007 年 10 月 24 日发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示。 卫星由地面发射后,经过发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道 月球 经过调速后进入地月转移轨道,再次调速后进入工作轨道,卫星开 工 作 始对月球进行探测。已知地球与月球的质量之比为 a,卫星的停泊 轨道 轨道与工作轨道的半径之比为 b,卫星在停泊轨道与工作轨道上均 地月转移 发射轨道 可视为做匀速圆周运动,则( ) 轨道 A.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为

a b
a b2

地球 停 泊 轨道

B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为 b 3 C.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的向心加速度之比为 D.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 5.在均匀介质中,各质点的平衡位置在同一直线上, 相邻两质点的距离均为 a,如图所示,振动从质点 1 开 1 2 始向右传播,其初速度方向竖直向上,经过时间 t 前 13
33

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

个质点第一次形成如图所示的波形,则此波的波速为( ) A.12a/t B. 16a/t, C. 6a/t, D. 20a/t. 6.在一绝缘、 粗糙且足够长的水平管道中有一带电量为 q、 × × × × × 质量为 m 的带电球体,管道半径略大于球体半径.整个管道 处于磁感应强度为 B 的水平匀强磁场中, 磁感应强度方向与 × × × × × v0 管道垂直.现给带电球体一个水平速度 v0, 则在整个运动过程 × × × × × 中,带电球体克服摩擦力所做的功可能为( ) B 1 2 × × × × × A.0 B. mv 0

× × × ×

2

1 ? 2 ? mg? C. m?v0 ? ? ? qB ? ? 2 ? ? ? ?

2

? ? ? ?

2 1 ? 2 ? m g? ? 1 2 D. m?v0 ? ? ? qB ? ? 2 mv 0 ? 2 ? ? ? ? ? ?

二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。 7.(8 分)如图所示,半径为 r=0.2 m 的圆柱体绕水平轴 OO’ F A 以?=9 rad / s 的角速度匀速转动,把质量 m=1 Kg 的物体 A 放 在圆柱体上方,光滑挡板使它不能随圆柱体转动,在水平力 F O O’ 作用下以 v=2.4 m / s 的速度向右匀速滑动,若物体 A 与圆柱体 间的摩擦系数为?=0.25,则 F 的大小为 N。 8.(8 分)如图所示,将质量为 m 的匀质细铁链圈套在一个表面光滑的 圆锥上,圆锥顶角为?,设圆锥底面水平,铁链圈平衡时在一平面上, 该面与圆锥底面平行,则铁链内的张力大小为_________。 9.(8 分).玩具列车都是由许多节小车厢组成,它以恒定的速率沿水 平轨道行驶,再进入半径为 R 的翻圈轨道,如图所示.列车的长度 L 与每一节小车厢相比要长得多,列车的长度 L 也大于翻圈轨道的 周长 2πR.为防止险情,不让一节车厢脱离翻圈轨道,列车进入翻 圈轨道前应具有的初速度为 ___ .

?

10(8 分).一根质量为 m 且质量均匀分布的弹簧, 放在光滑水平面上,在其一端作用一水平力 F 使其 平动时,长度为 L。将此弹簧一端悬挂在天花板上 平衡时,弹簧长度小于 L。此时若在弹簧下端应挂 质量 m’= _____________的重物,平衡后可使弹簧 的长度等于 L。

34

11(8 分).如图(a)所示,一滑块 s2 /m2 96 在光滑曲面轨道上由静止开始下 h L 滑 h 高度后进入水平传送带, 传送 v H 带的运行速度大小为 v=4m/s,方 32 向如图。 滑块离开传送带后在离地 S (a) H 高处水平抛出,空气阻力不计, 0 0.8 hx (b) 落地点与抛出点的水平位移为 s。改变 h 的值测出对应的 s 值,得到如图 2 (b)所示 h≥0.8m 范围内的 s 随 h 的变化图线,由图线可知,抛出点离地 高度为 H=__________m,图中 hx=__________m。 12(8 分).如图所示,两个可导热的气缸竖直放置,它们的底部是由 m1 m2 细管连通(忽略细管的容积) 。两气缸各有一个活塞,质量分别为 m1 和 m2, (已知 m1=3m,m2=2m) 。活塞与气缸无摩擦。活塞的下方为 A B 理想气体,上方为真空。当气体处于平衡状态时,两活塞位于同一高 度 h,在两活塞上面各放一个质量为 m 的物块,气体再次达到平衡后 两活塞的高度差为(环境温度保持不变)____________。在达到上一问的终态后,环境温 度由 T0 缓慢升高到 T,在这个过程中,气体对活塞做功为____________(假定在气体状态 变化过程中,两物块均不会碰到气缸顶部) 。 13(16 分) 1.老爷爷的眼睛是老花眼. (i)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚.试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像 的光路示意图. (ii)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P,试在示意 图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图. (iii)300 度的老花镜的焦距 f=____m.

3.2 h/m

h0

2.有两个凸透镜,它们的焦距分别为 f1 和 f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为 f3 和 f4.已知,f1>f2>|f3|>|f4|.如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望 远镜,要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像,则应选焦距为____的透镜作为物镜,应 选焦距为____的透镜作为目镜. 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的 不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14、(10 分) 液压千斤顶是利用密闭容器内的液体能够把液体所受到的压强行各个方向 传递的原理制成的。图为一小型千斤顶的结构示意图。大活塞的直径 D1=20cm,小活塞 B 的直径 D2=5cm, 手柄的长度 OC=50cm, 小活塞与手柄的连接 点到转轴 O 的距离 OD=10cm。现用此千斤顶使质量 m=4×
35

103kg 的重物升高了 h=10cm。g 取 10m/s2,求 (i)若此千斤顶的效率为 80%,在这一过程中人做的功为多少? (ii)若此千斤顶的效率为 100%,当重物上升时,人对手柄的作用力 F 至少要多大? 15、 (12 分)质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳 跨过位于倾角??=30°的光滑斜面顶端的轻滑轮,滑轮与转轴 之间的摩擦不计,斜面固定在水平桌面上,如图所示.第一次, m1 悬空,m2 放在斜面上,用 t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运 动至斜面顶端所需的时间.第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端由静止开始运动 至斜面顶端所需的时间为 t 3 .求 m1 与 m2 之比.

m2

m

??

1

16、 (14 分)如图所示,光滑水平面 MN 的左端 M 处有一弹射装置 P,右端 N 处与水平传 送带恰平齐且很靠近, 传送带沿逆时针方向以恒定速率 υ = 5m/s 匀速转动, 水平部分长度 L = 4m。放在水平面上的两相同小物块 A、B(均视为质点)间有一被压缩的轻质弹簧, 弹性势能 Ep = 4J,弹簧与 A 相连接,与 B 不连接,B 与传送带间的动摩擦因数 μ = 0.2, 物块质量 mA = mB = 1kg。现将 A、B 由静止开始释放,弹簧弹开,在 B 离开弹簧时,A 未 与 P 碰撞,B 未滑上传送带。取 g = 10m/s2。求: (1)B 滑上传送带后,向右运动的最远处(从地面上看)与 N 点间的距离 sm; (2)B 从滑上传送带到返回到 N 端的时间 t 和这一过程中 B 与传送带间因摩擦而产生 的热能 Q; (3)B 回到水平面后压缩被弹射装置 P 弹回的 A 上的弹簧,B 与弹簧分离时,A、B 互换速度,然后 B 再滑上传送带。则 P 必须给 A 做多少功才能使 B 从 Q 端滑出。

P A M B N

r
υ

L

2R O R

Q

S 17.(12 分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径 为 R 的黑球,距球心为 2R 处有一点光源 S,球心 O 和光 源 S 皆在圆筒轴线上,如图所示.若使点光源向右半边发 出的光最后全被黑球吸收,则筒的内半径 r 最大为多少?

18. (12 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3 .现把这三个电容器组成图示的 (a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路,试论证:是否可以通过适当选择 C1、C2、C3 的数值,使
36

其中某两种混联电路 A、B 间的等效电容相等.

A C1 C2 B (a) C3 C1 C3

A C2 C1 B (b)

A C2 C1 C3 B (c)

A C3 C2 B (d)

19、 (12 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中 的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于氢原子的理论 可用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条 件.即 式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,…;h 为普朗克常量.试求电子

偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差. 20、 (14 分)如图所示,在区域足够大的空间中充满磁感应强度大小为 B 的匀强磁场,其方 向垂直于纸面向里.在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为 L 的等边三角形框架 DEF, ,DE 中点 S 处有一粒子发射源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于 DE 边 向下,如图(a)所示.发射粒子的电量为+q,质量为 m,但速度 v 有各种不同的数值.若这 些粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失,且每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试 求: (1)带电粒子的速度 v 为多大时,能够打到 E 点? (2)为使 S 点发出的粒子最终又回到 S 点,且运动时间最短,v 应为多大?最短时间 为多少? (3)若磁场是半径为 a 的圆柱形区域,如图(b)所示(图中圆为其横截面),圆柱的 轴线通过等边三角形的中心 O,且 a= (

3 1 ? ) L.要使 S 点发出的粒子最终又回到 S 3 10

点,带电粒子速度 v 的大小应取哪些数值?

F

B a

F

D

S

E L D

O S v L E

v

(a)

(b)

37

21、 (14 分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的金属细圆柱(其半 径比 a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一质量为 m,电阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔 套在细轴 O 上,另一端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动,棒与圆 环的摩擦系数为?.圆环处于磁感应强度大小为 B ? Kr 、方向 竖直向上的恒定磁场中, 式中 K 为大于零的常量, 为场点到轴 r 线的距离.金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接.不计棒与轴及与 细圆柱端面的摩擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应 电流产生的磁场.问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用 于棒的 A 端才能使棒以角速度? 匀速转动. 注: ?x ? Δx? ? x 3 ? 3x 2 Δx ? 3x?Δx? ? ?Δx?
3 2 3

高中物理竞赛模拟训练四参考答案
一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1、A 2、ACD 3、B 4、AC 5、B 6、ABC 二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。

7、2.0

8.

mg 2? tg ?/2

9. Rg(3 ?
38

4?R ) L

F-mg 10、 , 11、10,1.6, 2g

12、5h/4,5mgh(
1.

T -1) 13、 , T0

(iii) 2.f1,f4. 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果 的不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14、(10 分)解: (i)将重物托起 h 需要做的功 W1 ? mgh ① 设人对手柄做的功为 W2 ,则千斤顶的效率为? ? 代入数据可得 W2 ? 5.0 ?103 J 斤顶的效率为 100%时,有

W1 W2




(i i)设大活塞的面积为 S1 , 小活塞的面积为 S2 ,作用在小活塞上的压力为 F ,当于 1

mg S1 ? F1 S2




S1 D12 ? 2 S2 D2



由④⑤⑥式得 F=500N ⑦ 15. (12 分)解:第一次,小物块受力情况如图所示,设 T1 为绳中张力,a1 为两物块加 速度的大小, l 为斜面长,则有

F1

和 F 都与杠杆垂直时, 手对杠杆的压力最小。 利用杠杆原理, F ? OD ? F ? OC ⑥ 有 1

m1 g ? T1 ? m1a1

(1) T1 ? m2 g sin? ? m2 a1

(2) l ?

1 2 a1t 2
1 ?t? a2 ? ? 2 ? 3?
2

(3)

第二次,m1 与 m2 交换位置.设绳中张力为 T2,两物块加速度的大小为 a2,则有

m2 g ? T2 ? m2 a2 (4) T2 ? m1 g sin? ? m1a2
由 (1)、(2) 式注意到? =30°得 a1 ?

(5)

l?

(6)

2m1 ? m 2 g (7) 2?m1 ? m 2 ? 2m2 ? m1 g (8) 由 (4)、(5) 式注意到? =30°得 a 2 ? 2?m1 ? m2 ?

a2 (9) 9 m 11 (8)、(9) 式可解得 1 ? (10) m 2 19
由 (3)、(6) 式得 a1 ?

由 (7)、

16(14 分) .解: (1)弹簧弹开的过程中,系 统机械能守恒 1 1 Ep = 2 mAυA2 + 2 mBυB2 (1 分)由动量
39

守恒有 mAυA - mBυB = 0(1 分) 联立以上两式解得 υA = 2m/s υB = 2m/s (1 分) B 滑上传送带做匀减速运动,当速度减为零时,向右运动的距离最大。 1 υB2 由动能定理得 - μmBgsm = 0 - 2 mBυB2(1 分) 解得 sm = = 1m (1 分) 2μg (2)物块 B 先向右做匀减速运动,直到速度减小到零,然后反方向做匀加速运动,回到 皮带左端时速度大小仍为 υB = 2m/s (1 分) 2υB 由动量定理 - μmBgt = - mBυB - mBυB (1 分) 解得 t= = 2s (1 分) μg t B 向右匀减速运动因摩擦而产生的热能为 Q1 = μmBg(υ · + sm)(2 分) 2 t B 向左匀加速运动因摩擦而产生的热能为 Q2 = μmBg(υ · - sm) (2 分) 2 Q = Q1 + Q2 = μmBgυt = 20J (1 分) 1 1 (3)设弹射装置给 A 做功为 W,则 W = 2 mAυA′2 - 2 mAυA2 (2 分) AB 碰后速度互换,B 的速度 υB′ = υA′ 1 B 要滑出平台 Q 端,由能量关系有 2 mBυB′2 > μmB gL (2 分) 1 以上三式解得 W > μmA gL - 2 mAυA2 (2 分) 代入数据解得 W > 6J (1 分) 17(12 分) .解: 自 S 作球的切线 S?,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ? ,及由 S ? 画出球面的切线 S ? N,如图 1 所示,由图可看出,只要 S ?M 和 S ?N 之间有一夹角,则筒壁对从 S 向右的光 线的反射光线就有一部分进入球的右方,不会完全落在球上被吸收. 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S ?N 与 S ?M 重合,如图 2,则 r?就是题所要求的筒 的内半径的最大值. 这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r. 由 图 2 可得? R R r? ? ????????????????????????????????????? (1) cos ? 1 ? sin 2 ? 由几何关系可知

s i n ? ?R 2R ? (2) ?
r?

由(1)(2)式得 、

2 3 R (3) 3

18(12 分) .解:由电容 C ? 、 C ?? 组成的串联电路的等效电容 C串 ? 由电容 C ? 、 C ?? 组成的并联电路的等效电容

C并 ? C ? ? C ??

C ?C ?? C ? ? C ??

利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为 C C ? C1C 3 ? C 2 C 3 CC C a ? 1 2 ? C3 ? 1 2 ? C 3 (1) C1 ? C 2 C1 ? C 2

Cb ?

C1C 3 C C ? C1C 3 ? C 2 C 3 ? C2 ? 1 2 ? C 2 (2) C1 ? C 3 C1 ? C 3 ?C1 ? C 2 ?C3 C1C3 ? C 2 C3 Cc ? ? ? C (3) ?C1 ? C 2 ? ? C3 C1 ? C 2 ? C3 3
40

Cd ?
由(1)(3)式可知 、 由(2)(4)式可知 、 由(1)(2)式可知 、 由(3)(4)式可知 、

?C1 ? C3 ?C 2 ?C1 ? C3 ? ? C 2
Ca Cb Ca Cc

?

C1C 2 ? C 2 C3 ? C 2 (4) C1 ? C 2 ? C3

? Cc (5) ? Cd (6) ? Cb (7) ? Cd (8)

若 Ca ? Cd ,由(1)(4)式可得 C12 ? 2C1C2 ? C1C3 ? C2 C3 ? 0 、 因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此 Ca ? Cd (9) 若 C b ? Cc ,由(2)(3)式可得 C12 ? 2C1C3 ? C1C2 ? C2 C3 ? 0 、 因为 C1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此 C b ? Cc (10) 综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的. 19(12 分) .解:正、负电子绕它们连线的中点作半径为 的圆周运动,电子的电荷量为

e,正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即 正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有 正、负电子间相互作用的势能 由(1)、(2)、(3)、(4)各式得 (2)

(1)

(3)电子偶素的总能量 E=Ek++Ek-+Ep (4) (5)

根据量子化条件 ,n=1,2,3,? (6) (6)式表明,r 与量子数 n 有关.由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为 n=1,2,3,? (7) n=1, 3, 2, ? (8) (9)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态.基态的能量为 n=2 是第一激发态,与基态的能量差 (10)

20(14 分) .解: (1)从 S 点发射的粒子将在洛仑兹力作用下做圆周运动,即 qvB ?

m v2 ① R

因粒子圆周运动的圆心在 DE 上,每经过半个园周打到 DE 上一次,所以粒子要打到 E 点应 满足:

1 L ? n ? 2 R, ? n ? 1,2,3? 2

?



41

qBL , ? n ? 1,2,3? ? (2) 由题意知, S 点发射的 4 nm SE L 1 ? , (n ? 1,2,3?) 粒子最终又回到 S 点的条件是 R ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2?R 2?m ? 在磁场中粒子做圆周运动的周期 T ? ,与粒子速度无关,所以, 粒子圆周 v qB mv L ? 时时间最短 运动的次数最少(n=1)时,运动的时间最短,这时: R ? qB 2 5 粒子以三角形的三个顶点为圆心运动,每次碰撞所需时间: t1 ? T 6 5 5?m 经过三次碰撞回到 S 点,粒子运动的最短时间 t ? 3t1 ? T ? 2 qB L 1 L ? (3)设 E 点到磁场区域边界的距离为 L ? ,由题设条件知 L ? ? a ? 0 2 cos 30 10
由①②得打到 E 点的速度为 v ?

S 点发射的粒子要回到 S 点就必须在磁场区域内运动,即满足条件:

L 10 L SE L 1 ? , (n ? 1,2,3?) , 当 n ? 1 时, R ? 又知 R ? 2 2n ? 1 2 2n ? 1 L L L 当 n ? 2 时, R ? 当 n ? 3 时, R ? 当 n ? 4 时, R ? 6 10 14 mv L 1 mv ? 所以,当 n ? 3,4,5? 时,满足题意.由于 R ? ,代入上式得 qB 2 2n ?1 qB qBL , ( n ? 3,4,5? ) 解得速度的值: v ? 2(2n ? 1)m
R ? L ? ,即 R ?
21 (14 分) 解: . 将整个导体棒分割成 n 个小线元, 小线元端点到轴线的距离分别为 r0(=0), r1,r2,??,ri-1,ri,??,rn-1,rn(= a),第 i 个线元的长度为 Δri ? ri ? ri ?1 ,当 Δri 很小 时,可以认为该线元上各点的速度都为 vi ? ?ri ,该线元因切割磁感应线而产生的电动势 为

ΔE ? Bvi Δri ? Kri? ri Δri ? K? ri2Δri (1) i

整个棒上的电动势为 E ?
3

? ΔE ? K? ? r Δr
2 i i i ?1 i ?1

n

n

i

(2)

由 ?r ? Δr ? ? r 3 ? 3r 2 Δr ? 3r ?Δr ? ? ?Δr ? ,
2 3

略去高阶小量(Δr)2 及(Δr)3,可得 r ?r ?
2

1 [( r ? ?r ) 3 ? r 3 ] 3

代入(2)式,得

E ?

n 1 1 1 K? (ri3 ? ri31 ) ? K?[( r13 ? r03 ) ? (r23 ? r13 ) ? ?? ? (rn3 ? rn3?1 )] ? K?a 3 (3) ? 3 3 3 i ?1

?

由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为 I ?
42

E K ?a 3 ? (4) R 3R

导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反. 第 i 个线元 ?ri 受到的安培力为 Δf Ai ? BIΔri ? Kri IΔri (5) 作用于该线元的安培力对轴线的力矩 ΔM i ? Δf Ai ? ri ? KIri2Δri 作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为

M?
即M ?

?
i ?1

n

ΔM i ? KI

?
i ?1

n

ri2 Δri ?

n 1 1 KI (ri3 ? ri3 1 ) ? KIa 3 ? 3 3 i ?1

?

K 2 ωa 6 1 1 (6)因棒 A 端对导体圆环的正压力为 mg,所以摩擦力为 ?mg ,对轴 9R 2 2 1 的摩擦力矩为 M ? ? ?mga (7)其方向与安培力矩相同,均为阻力矩.为使棒在水平面内 2 作匀角速转动,要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施 加垂直于棒的外力为 f,则有 fa ? M ? M ? (8)
由(6)、(7)、 (8)式得 f ?

K 2 ωa 5 1 ? μmg (9) 9R 2

高中物理竞赛模拟训练(五)
一、选择题。本题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一 项是正确的,有的小题有多项是正确的。把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方 括号内。全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分。 1. 如图所示,两块固连在一起的物块 a 和 b,质量分别为 ma 和 mb,放在水平的光滑桌面 上。现同时施给它们方向如图所示的推力 Fa 和拉力 Fb,已知 Fa>Fb,则 a 对 b 的作用力 A. 必为推力 B. 必为拉力 C. 可能为推力,也可能为拉力 D. 可能为零 2. 用光照射处在基态的氢原子,有可能使氢原子电离。下列说法中正确的是 A. 只要光的光强足够大,就一定可以使氢原子电离 B. 只要光的频率足够高,就一定可以使氢原子电离
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C. 只要光子的能量足够大,就一定可以使氢原子电离 D. 只要光照的时间足够长,就一定可以使氢原子电离 3. 如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的外磁 场中,导轨平面与磁场方向垂直。一电阻可忽略不计但有一定质 量的金属杆 ab 跨接在导轨上,可沿导轨方向平移。现从静止开始 对 ab 杆施以向右的恒力 F,若忽略杆和 U 形导轨的自感,则在杆 运动过程中,下列哪种说法是正确的? A. 外磁场对载流杆 ab 的作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 B. 外力 F 的功总是等于电阻 R 上消耗的功 C. 外磁场对载流杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者的大小是相等的 D. 电阻 R 上消耗的功率存在最大值 4. 如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器的位置是固定的 玻璃管 a 和 b,管的上端都是封闭的,下端都是开口的。管内被水各封有 一定质量的气体。平衡时,a 管内的水面比管外低,b 管内的水面比管外 高。现令升降机从静止开始加速下降,已知在此过程中管内气体仍被封闭 在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在此过程中 A. a 中气体内能将增加,b 中气体内能将减少 B. a 中气体内能将减少,b 中气体内能将增加 C. a、b 中气体内能都将增加 D. a、b 中气体内能都将减少 5. 图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”,a、b、c、d 为 其四段竖直的部分,其中 a、d 上端是开口的,处在大气中。管中的水 银把一段气体柱密封在 b、c 内,达到平衡时,管内水银面的位置如图 所示。现缓慢地降低气柱中气体的温度,若 c 中的水银面上升了一小段 高度 Δh,则 A. b 中的水银面也上升 Δh B. b 中的水银面也上升,但上升的高度小于 Δh C. 气柱中气体压强的减少量等于高为 Δh 的水银柱所产生的压强 D. 气柱中气体压强的减少量等于高为 2Δh 的水银柱所产生的压强 6. 图中 L 是绕在铁心上的线圈,它与电阻 R、R0、电键和电池 E 可构成 闭合回路。线圈上的箭头表示线圈中电流的正方向,当电流的流向与箭 头所示的方向相同时,该电流为正,否则为负。电键 K1 和 K2 都处在断 开状态。设在 t=0 时刻,接通电键 K1,经过一段时间,在 t=tl 时刻,再接通电键 K2,则能 较正确地表示 L 中的电流 I 随时间 t 变化的图线是下面给出的四个图中的哪个图?

A. 图 l B. 图 2 C. 图 3 D. 图 4 二、 填空题和作图题。 把答案填在题中的横线上或把图画在题指定的地方。 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程。 7. (8 分)为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得瓶内 溶液每分钟衰变 6× 7 次,已知这种同位素的半衰期为 2 天。现将这瓶溶液倒入水库,8 10 天后可以认为溶液已均匀分布在水库中,这时取 1.0m3 水库中的水样,测得水样每分钟衰 变 20 次。由此可知水库中水的体积约为________________m3。
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8. (8 分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、L2 和 L3,L2 与 L1 相距 80m, L3 与 L1 相距 120m。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s,显示红色的时间间隔都是 40s。L1 与 L3 同时显示绿色,L2 则在 L1 显示红色经历了 10s 时开始显示绿色。规定车辆通 过三盏信号灯经历的时间不得超过 150s。若有一辆匀速向前行驶的汽车通过 L1 的时刻正 好是 L1 刚开始显示绿色的时刻,则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率 ______m/s。 若一辆匀速向前行驶的自行车通过 L1 的时刻是 L1 显示绿色经历了 10s 的时刻, 则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是________________m/s。 9. (8 分)位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小物块 间都存在一定的距离。自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2, 第 3 个小物块标记为 P3,……,最后一个小物块即最右边的小物块标记为 Pn。现设法同 时给每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度,其中最大的速度记作 v1,最小的 速度记作 vn,介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、…、vn?1。若 当小物块发生碰撞时, 碰撞都是弹性正碰, 且碰撞时间极短, 则最终小物块 P1、 2、 3、 P P …、 Pn。速度的大小依次为________________________________________________。 10. (11 分)有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电, 一块带负电,单位面积所带电荷量的数值相等。现把两带电 平面正交放置如图所示。图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正 电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线, 为两交线的 O 交点。 (i)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电 势)具有对称性的特点,并取 O 点作为电势的零点,在右 面给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场)中电 势分别为 0、1V、2V、3V、?1V、?2V 和?3V 的等势面与 纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电势。 (ii)若每个带电平面单独产生的电场的场强是 E0=1.0V/m,则可求出(i)中相邻两等势面间 的距离 d=________________________________。 11. (10 分)一列简谐横波在 x 轴上传播(振动位移沿 y 轴) 。已知 x=12cm 处的质元的振 动图线如图 1 所示,x=18cm 处的质元的振动图线如图 2 所示。根据这两条振动图线,可 获得关于这列简谐横波的确定的和可能的信息(如频率、波速、波长等)是哪些? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

12. (8 分)一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2。第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖 直方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶, 假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹, 并立即流走。 第二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都 结成冰并留在屋顶上,测得冰层的厚度 d=25mm。已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9× 2kg/m3。由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成的冰对屋顶的压力为_______N,第 10 一次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为_______N。
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13. (10 分)在示波器的 YY'偏转 电极上,加电压 u1=U0sin2πνt,式 中 ν=50Hz。同时在示波器的 XX' 偏转电极上加如图 1 所示的锯齿 波电压 u2,试在图 2 中画出荧光 屏上显示出的图线。 如果由于某种原因,此图线很缓慢地向右移动,则其原因是 __________________________________________________________ _____________________________________________________。 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的 不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。 14. (14 分)一电流表,其内阻 Rg=10.0Ω,如果将它与一阻值 R0=44990Ω 的定值电阻串 联,便可成为一量程 U0=50V 的电压表。现把此电流表改装成一块双量程的电压表,两个 量程分别为 U01=5V 和 U02=10V。当用此电压表的 5V 挡去测量一直流电源两端的电压时, 电压表的示数为 4.50V;当用此电压表的 10V 挡去测量该电源两端的电压时,电压表的示 数为 4.80V。问此电源的电动势为多少?

15. (12 分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境。在地 球表面附近,当飞机模拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的 完全失重状态。现要求一架飞机在速率为 v1=500m/s 时进入失重状态试验,在速率为 v2=1000m/s 时退出失重状态试验。重力加速度 g=10m/s2。试问: (i)在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何种运动,方可在一定范围内任意选择失 重时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素。 (ii)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?

16. (12 分)假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同一平 面内。已知地球表面处的重力加速度 g=9.80m/s2 ,地球半径 R0=6.37× 6m,月球质量 10 mm=7.3× 22kg,月球半径 Rm=1.7× 6m,引力恒量 G=6.67× ?11N· 2/kg2,月心地心间的 10 10 10 m 距离约为 rem=3.84× 8m 10 (i)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天? (ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天? (iii)若忽略月球绕地球的运动,设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球,试估算火箭 到达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)?

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17. (12 分)如图所示,1 和 2 是放在水平地面上的两个小物块(可视为质点) ,与地面的 滑动摩擦系数相同, 两物块间的距离 d=170.00m, 它们的质量分别为 m1=2.00kg、 2=3.00kg。 m 现令它们分别以初速度 v1=10.00m/s 和 v2=2.00m/s 迎向运动,经过时间 t=20.0s,两物块相 碰,碰撞时间极短,碰后两者粘在一起运动。求从刚碰后到 停止运动过程中损失的机械能。

18. (11 分)磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及硅码组成,图示为其等效的在竖直平 面内的截面图。Q 是一块水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K 压在 E、B 处的刀 口上。杠杆系统由横杆 DEF、ABCP 和竖杆 CF、MP 以及横梁 MON 组成,另有两个位于 A、D 处的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 沿垂直于纸面的方向都 有一定的长度,图中为其断面) 。C、F、M、N、O、P 都是转轴,其中 O 被位于顶部并与 磅秤底座固连的支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动,磅秤设计时,已做到当载物平 台上不放任何待秤物品、游码 S 位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状态,这时横杆 DEF、ABCP 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的。 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处刀口增加的压力,由于杠杆系统的调节,横梁 MON 失去 平衡,偏离水平位置。适当增加砝码 G 或移动游码 S 的位 置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置。待秤物品的 重量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定。为了保证待 秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结 果,在设计时,AB、DE、AC、DF 之间应满足怎样的关系?

19. (11 分)如图所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直于轴线) , 另一个端面是球面,球心位于轴线上。现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线 入射。当光从平端面射入棒内时,光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a; 当光线从球形端面射入棒内时,光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为 b。试近似地求 出玻璃的折射率 n。

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20. (13 分) 光子不仅具有能量, 而且还具有动量, 频率为 ν 的光子的能量为 hν, 动量

hν , c

式中 h 为普朗克常量,c 为光速。光子射到物体表面时将产生压力作用,这就是光压。设 想有一宇宙尘埃,可视为一半径 R=10.0cm 的小球,其材料与地球的相同,它到太阳的距 离与地球到太阳的距离相等。试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力 大小的比值。假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收。已知:地球绕太阳的运动可视为 圆周运动,太阳辐射在单位时间内射到位于地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面 积上的辐射能 S=1.37× 3W/m2, 10 地球到太阳中心的距离 rse=1.5× 11m, 10 地球表面附近的重 2 6 ?11 力加速度 g=10m/s ,地球半径 Re=6.4× m,引力恒量 G=6.67× 10 10 N· 2/kg2。 m

21. (16 分)设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度 为 B 的匀强磁场和重力加速度为 g 的重力场。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的质点在 此空间运动,已知在运动过程中,质点速度的大小恒定不变。 (i)试通过论证,说明此质点作何种运动(不必求出运动的轨迹方程) 。 (ii)若在某一时刻,电场和磁场突然全部消失,已知此后该质点在运动过程中的最小动能为 其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、磁场刚要消失时刻 该质点的速度在三个场方向的分量。

高中物理竞赛模拟训练(五)
参考解答与评分标准
一、选择题(36 分)答案: 1. CD 2. BC 3. ACD 4. B 5. AD 评分标准:每小题 6 分。全都选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分。 二、填空题及作图题答案及评分标准 7. 1.9× 5(8 分)8. 2(4 分) 10 、 6. A

12 (4 分) 13

9. vn、vn?1、?、v3、v2、v1。 分) (8 10. (i)如图所示(8 分) (ii)

2 m (3 分) 2
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11. (1)振幅 A=4cm(2 分) (2)周期 T=12s,或频率 ν ?

1 ?1 s (2 分) 12
2 cm / s ,其他可能的传 3

(3)若波沿正 x 方向传播,则此波可能的最大的传播速度 vm ? 播速度为 vn ?

2 cm / s ,n=1,2,3,?;此波可能的最大波长为 λ=8cm,其他可能的 3 ? 4n 24 波长为 λn ? cm ,n=1,2,3,?(3 分) 3 ? 4n (4)若波沿负 x 方向传播,则此波可能的最大的传播速度 vm=2cm/s,其他可能的传播速 2 度为 vn ? cm / s ,n=1,2,3,?;此波可能的最大波长为 λ=24cm,其他可能的波 1 ? 4n
长为 λn ?

24 cm ,n=1,2,3,?(3 分) 1 ? 4n

12. 9× 3(2 分)0.058(6 分)13. 如图(6 分) 10 锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的 2 倍,而是稍小一点。 分) (4 三、计算题 14. 解:设电流表的量程为 Ig,当电流表与定值电阻 R0 串联改装成电压 表时,此电压表的内阻 R'0=Rg+R0 (1) 由于此电压表的量程 U0=50V,故有 IgR'0=U0 由(1)、(2)两式得 I g ?

(2) (3)

U0 50 ? A ? 1.11?10?3 A Rg ? R0 10 ? 44990
Rg R1 5V

即电流表的量程为 1mA。 A 电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示, 图中 R1 和 R2 是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的电 + 阻, 其值待求。 R'1 表示电压表量程 U01=5V 档的内阻, 用 则有 R'1=Rg+R1 (4) 而 IgR'1=U01 (5) 由(3)、(5)式得 R'1 ?

R2 10V

U 01 5 ? ?3 Ω ? 5 ?103 Ω I g 10 U 02 10 ? ?3 Ω ? 1.0 ?104 Ω I g 10

(6)

同理得电压表量程 U02=10V 档的内阻

R'2 ? Rg ? R1 ? R2 ?

(7)

设电源的电动势为 E,内阻为 r,当用电压表的 5V 档测电源两端的电压时,电压表的示数 为 U1,已知 U1=4.50V,设此时通过电压表的电流为 I1,有 U1+I1r=E(8) U1=I1R'1(9) 当用电压表的 10V 档测量该电源两端的电压时,电压表的示数为 U2,已知 U2=4.80V,设 此时通过电压表的电流为 I2,有 U2+I2r=E(10) U2=I2R'2(11) 解(8)、(9)、(10)、(11)式,并注意到(6)、(7)式得 E=5.14V (12) 评分标准:本题 14 分。(3)式 3 分,(6)式 2 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式、(10)式、(11)式 共 4 分,(12)式 3 分。 15. 解:(i)当飞机作加速度的大小为重力加速度 g,加速度的方 向竖直向下的运动时,座舱内的试验者便处于完全失重状态。 这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛
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运动,也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后,飞机模拟前两种 运动时,失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动 时,失重时间的长短与抛射角有关,可在一定范围内进行选择。 考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为 v1,方向与 水平方向成 θ 角,起始位置为 A 点,经做抛物线运动在 B 点退出试验,如图所示。以 t 表 示试验经历的时间,在退出试验时的速率为 v2,则有 v2x=v1cosθ(1) v2y=v1sinθ?gt(2)
2 2 2 而 v2 ? v2 x ? v2 y (3)
2 2 由(1)、(2)、(3)式得 g 2t 2 ? 2v1 gt sin θ ? v1 ? v2 ? 0

(4) (5)

2 v1 sin θ ? v12 sin 2 θ ? (v2 ? v12 ) 解(4)式得 t ? g

由(5)式可知,当进入试验时飞机的速度 v1 和退出试验时飞机的速度 v2 确定以后,失重时 间的长短可通过角 θ 来调节。 (ii)当 θ=90° 时失重时间最长,由(5)式可求得最长失重时间 tmax=150s (6) 当 θ=?90° 时,失重时间最短,由(5)式可求得最短失重时间 tmin=50s (7) 失重时间的调节范围在 150s 到 50s 之间。 评分标准:本题 12 分。第(i)小问 8 分。指明斜抛运动得 2 分,求得(5)式并指出失重时间 的长短可通过角 θ 来调节得 6 分。第(ii)小问 4 分。求得(6)式得 2 分,求得(7)式得 2 分。 16. 解:(i)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动,设地球的质量为 me,月球绕地心作 圆周运动的角速度为 ωm,由万有引力定律和牛顿定律有 G 另有 G

me mm 2 ? mm remωm 2 rem

(1)

me ? g (2) Re2

月球绕地球一周的时间 Tm ?
3 rem (4) gRe2

2π (3) ωm

解(1)、(2)、(3)三式得 Tm ? 2π

代入有关数据得 Tm=2.37× 6s=27.4 天 10 (ii)满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的, 此时地球在月球和太阳之间,即图中 A 的位置。当第 二个满月时,由于地球绕太阳的运动,地球的位置已 运动到 A'。 若以 T'm 表示相继两次满月经历的时间, e ω 表示地球绕太阳运动的角速度,由于 ωe 和 ωm 的方向 相同,故有 ωmT'm=2π+ωeT'm(6) 而 ωm ?

(5)

2π (7) Tm

ωe ?

2π (8) Te TeTm (9) Te ? Tm

式中 Te 为地球绕太阳运动的周期,Te=365 天。由(6)、(7)、(8)三式得 T'm ?

注意到(5)式,得 T'm=29.6 天 (10) (iii)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用,另一方面也受到月球引力的作用。 当火箭离地球较近时,地球的引力大于月球的引力;当离月球较近时,月球的引力大于地 球的引力。作地心和月心的连线,设在地月间某一点 O 处,地球作用于火箭的引力的大小 正好等于月球作用于火箭的引力大小。以 r 表示 O 点到月球中心的距离,则有

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G

me m m m ? G m2 2 (rem ? r ) r

(11)

式中 m 是火箭的质量。由(11)式得 (

me 2 ? 1)r 2 ? 2remr ? rem ? 0 mm

(12)

解(12)式,注意到(2)式,代入有关数据,得 r=3.8× 7m 10 (13) 从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达 O 点,则过 O 点后,因月球引力大于地 球引力,它便能在月球引力作用下到达月球,这样发射时火箭离开地面时的速度最小,它 到达月球时的速度也最小。设火箭刚到达月球时的最小速度为 v,则由机械能守恒定律有

?G

me m me m m m m m 1 ? G m ? ?G ? G m ? m v2 rem ? r r rem ? Rm Rm 2

(14)

解得 v ?

2Gme (

1 1 1 1 ? ) ? 2Gmm ( ? ) rem ? Rm rem ? r Rm r

(15)

注意到(2)式,代入有关数据得 v=2.3× 3m/s 10 (16) 评分标准:第(i)小问 3 分。求得(4)式得 2 分,求得(5)式得 1 分。第(ii)小问 3 分。求得(9) 式得 2 分,求得(10)式得 1 分。第(iii)小问 6 分。(11)式 2 分,(14)式得 2 分,(16)式 2 分。 17. 解:因两物块与地面间的滑动摩擦系数相同,故它们在摩擦力作用下加速度的大小是 相同的,以 a 表示此加速度的大小。先假定在时间 t 内,两物块始终作减速运动,都未停 下。现分别以 s1 和 s2 表示它们走的路程,则有 s1 ? v1t ?

1 2 at (1) 2

1 s2 ? v2t ? at 2 (2) 2

而 s1+s2=d(3)

解(1)、(2)、(3)三式并代入有关数据得 a=0.175m/s2 (4) 经过时间 t,两物块的速度分别为 v'1=v1?at(5) v'2=v2?at(6) 代入有关数据得 v'1=6.5m/s(7) v'2=?1.5m/s(8) v'2 为负值是不合理的,因为物块是在摩擦力作用下作减速运动,当速度减少至零时,摩擦 力消失,加速度不复存在,v'2 不可为负。v'2 为负,表明物块 2 经历的时间小于 t 时已经停 止运动,(2)式从而(4)、(6)、(7)、(8)式都不成立。在时间 t 内,物块 2 停止运动前滑行的 路程应是 s2 ?
2 v2 (9) 2a

解(1)、(9)、(3)式,代入有关数据得 a=0.20m/s2(10)

由(5)、(10)式求得刚要发生碰撞时物块 1 的速度 v'1=6.0m/s(11) 而物块 2 的速度 v'2=0(12) 设 V 为两物块碰撞后的速度,由动量守恒定律有 m1v'1=(m1+m2)V (13) 刚碰后到停止运动过程中损失的机械能 ΔE ? 由(13)、(14)得 ΔE ?

1 (m1 ? m2 )V 2 2

(14)

1 m12v'12 (15) 2 m1 ? m2

代入有关数据得 ΔE=14.4J(16)

评分标准:本题 12 分。通过定量论证得到(9)式共 4 分,求得(11)式得 4 分,(13)式 1 分, (14)式 1 分,(15)式 1 分,(16)式 1 分。 18. 解:根据题意,通过增加砝码和调节游码的位置使磅秤恢复平衡,这时横梁 MON、横 杆 ABCP、DEF 以及载物台 Q 都是水平的,竖杆 MP、CF 都是竖直的。B、E 处的刀口增 加的压力分别为 W1 和 W2,它们与待秤量物体的重量 W 的关系为 W=W1+W2 (1) W1 与 W2 之和是确定的,但 W1、W2 的大小与物品放置在载物台上的位置有关。对于横杆
51

DEF,它在 E 点受到向下作用力(为了叙述简单,下面所说的作用力皆指载物后增加的作 用力)的大小 W2,设在 F 点受到向上作用力的大小为 W'2,平衡时有 W2· DE=W'2· DF (2) 对横杆 ABCP,在 B 点受到向下作用力的大小为 W1,在 C 点受到向下的作用力的大小为 W'2,设在 P 点受到向上的作用力的大小为 W3,平衡时有 W3· AP=W1· AB+W'2· AC (3) 由以上三式得 W3 ? AP ? W ? AC ?

DE DE ? W1 ? ( AB ? AC ) DF DF

(4)

要使重物在平台上的位置不影响的 W3 大小,就必需要求 W3 与 W1 无关,即有

AB ? AC

DE AB DE ? 0 (5) 即 AB、DE、AC、DF 应满足的关系为 ? (6) DF AC DF

评分标准:本题 11 分。(1)式 2 分,(2)式 2 分,(3)式 2 分,(4)式 3 分,(5)式或(6)式 2 分。 19. 解:

入射的两条光线如图所示。 1、 1 是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角; α β α2、β2 是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。根据折射定律有 nsinα1=sinβ1(1) sinα2=nsinβ2(2) 由几何关系有 β1=α1+δ1(3) α2=β2+δ2(4) 设球面的半径为 R,注意到 α1、α2、δ1、δ2 都是小角度,故有 Rα1=aδ1(5) Rα2=bδ2(6) 根据题给的条件,(1)、(2)式可近似表示成 nα1=β1(7) α2=nβ2(8) 由(3)式?(8)式得 n ?

b (9) a

评分标准:本题 11 分。(1)式 1 分,(2)式 1 分,(3)式 1 分,(4)式 1 分,(5)式 1 分,(6)式 1 分,(7)式 1 分,(8)式 1 分,(9)式 3 分。 20. 解:设宇宙尘埃的质量为 m,太阳的质量为 M,则太阳作用于尘埃的万有引力

f ?G

ρ?

Mm (1) 2 rse me
(3)

设地球的密度为 ρ,地球的质量为 me,按题意有 m ? 另有 G

4 3 πR ρ (2) 3

4 3 πRe 3

me ? g (4) Re2

和G

Mme 2π ? me ( ) 2 rse (5) 2 rse T

式中 T 为地球绕太阳作圆周运动的周期,T=365× 60× 24× 60s=3.15× 7s。由(1)、(2)、(3)、 10 (4)、(5)式得 f ?

gR3 2π 2 ( ) rse GRe T

(6)

太阳辐射中含有各种频率的光子,设单位时间内,射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单 位面积上频率为 νi 的光子数为 Ni,根据 S 的定义有 S ?

? N hν
i i

i

(7)

光子不仅具有能量,还具有动量。由题意可知频率为 νi 的光子动量 pi ?
52

hνi c

(8)

光子射到尘埃表面被尘埃吸收,故光子作用于尘埃的冲量 ΔIi=pi 单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量

(9) (10)

ΔI ? ? Ni ΔI i ? ? Ni pi
i i

ΔI 也就是压强。由于尘埃的表面是球面,球面上各部分并不都与太阳辐射垂直,但射到球 面上的光辐射与射到与太阳辐射相垂直的球的大圆面上的光辐射是相等的,故太阳辐射作 用于尘埃的力 F=πR2ΔI(11) 由(7)式?(11)式得 F ?

F GRe ST 2 由(6)式和(12)式得 ? (13) f 4πgRcr se

πR2 S (12) c F ?6 带入有关数据得 ? 1.0 ?10 (14) f

评分标准:本题 13 分。求得(6)式得 4 分,求得(12)式得 7 分,求得(13)式得 1 分,求得(14) 式得 1 分。 21. 解:(i)在空间取如图所示的直角坐标 Oxyz,Ox 轴沿电场方向,Oy 轴沿磁场方向,Oz 轴与重力方向相反。因为磁场作用于质点的洛仑兹力与磁场方向垂直,即在 Oxz 平面内; 作用于质点的电场力和重力也在 Oxz 平面内,故质点在 y 方向 不受力作用,其速度沿 y 方向的分速度的大小和方向都是不变 的。根据题意,质点速度的大小是恒定不变的,而磁场作用于 质点的洛仑兹力对质点不做功,故质点的速度沿垂直磁场方向 的分速度的大小一定也是恒定不变的,故此分速度必须与电场 力和重力的合力垂直。由于电场力和重力的合力的方向是不变 的,故此分速度的方向也是不变的。由此可得到结论:质点速 度的方向也是不变的,即质点在给定的场中做匀速直线运动, 其轨迹是直线,在 Oxz 平面内,与电场力和重力的合力垂直。 (ii)质点作匀速直线运动表明电场、磁场和重力场对质点作用力的合力 F 等于 0。设存在电 场、磁场时质点速度的大小为 v0,它在坐标系中的三个分量分别为 v0x、v0y 和 v0z,这也就 是在电场、磁场刚要消失时质点的速度在三个场方向的分量,以 Fx、Fy 和 Fz 分别表示 F 在坐标标系中的分量,则有 Fx=qE?qv0zB=0(1) Fy=0(2) Fz=?mg+qv0xB=0(3) 由(1)、(3)式得 v0 z ?

E (4) B

v0 x ?

mg (5) qB
2 2 2 2

若知道了粒子的速率 v0,粒子速度的 y 分量为 v0 y ? v0 ? v0 x ? v0 z 因为电场和磁场消失后,粒子仅在重力作用下运动,任何时刻 t 质点的速度为 vx=v0x(7) vy=v0y(8) vz=v0z?gt(9) 当 vx 等于 0 时,粒子的动能最小,这最小动能 Ek min ? 根据题意有 Ek min ?

(6)

1 2 2 m(v0 x ? v0 y ) 2
2 2 2

(10)

1 1 2 ( mv 0 ) (11) 2 2

由(10)、(11)式得 v0 ? 2(v0 x ? v0 y ) (12)

由(4)、(5)、(6)、(12)各式得 v0 y ?

1 (qE) 2 ? (m g) 2 qB

(13)

评分标准:本题 16 分。第(i)小问 4 分。通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得 4 分。 第(ii)小问 12 分。(4)式 3 分,(5)式 3 分,求得(13)式 6 分。

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