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扫描数形结合思想在高考中的应用策略


扫描数形结合思想在高考中的应用策略
纵观多年的高考试题,巧妙运用数形结合思想解决一些抽象的数学问题,可以起到事半功倍的效果.高考命 题重点研究“以形助数”的应用,巧妙的运用数形结合思想,不仅可以直观容易发现解题途径,而且可以避免复 杂的计算与推理,大大简化了解题过程.尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与 速度. 1.以“形”助“数” (1)利用

韦恩图巧解有关数集的运算问题 韦恩图是集合的一种形象而又直观的表示法, 利用韦恩图有助于准确地显示出各集合间的关系, 捕捉有用的解题 信息,启发解题思路. 【典例 1】(2010?辽宁,理 1)已知 A,B 均为集合 的子集,且 , ,则 =( ) (A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

【解析】如图,因为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,所以选 D. 【点评】本题主要考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了同学们借助于 Venn 图解决集 合问题的能力, 对于用列举法表示的集合的有关运算, 借助韦恩图便可方便快捷的得到答案, 解题过程直观形象. (2)利用数轴巧解集合的基本运算 数轴上的点与实数建立了一一对应的关系, 巧妙利用数轴不仅可以表示不等式表示的集合, 进行集合的基本 本运算,求解两个集合的交集、并集、补集的运算是十分方便的,而且可以根据绝对值的几何意义求解简单的绝 对值不等式. 【典例 2】(2010?天津,文 7)设集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是 (A) (C) ,或 (B) ,或 (D)

【解析】 表示到数轴上到点 的距离小于 1 的点 的坐标,如图可知 .在数轴上表示出集合 ,显然,要使 ,则 必有 或 ,解得: 或 . 【点评】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算,属于中等题.不等式型集合的交、并集 通常可以利用数轴进行, 解题时注意验证区间端点是否符合题意.①绝对值 的几何意义是: 数轴上坐标分别为 、 的两个点间的距离,所以可以利用数轴解绝对值不等式;②两个集合交、并、补集的运算以及两个集合之间关系 的判断,可借助于数轴来分析. (3)利用函数图象巧妙解决函数的值域 函数图象直观反映了函数的性质,在处理函数问题时,要充分联系函数图象,把函数的性质融于函数的图形 之中,将数(量)与图形结合起来进行分析、研究,函数图象上点的横坐标的取值范围对应着函数的定义域,图象 上点的纵坐标的取值范围对应着函数的值域, 如果我们能较为准确地画出函数图象, 则根据函数图象的大体特征 以及函数的性质便可迅速地确定函数的值域. 【典例 3】(2010?天津,文 10)设函数 , ,则 的值域是 (A) (C) (B) (D)

【解析】依题意知 ,即 ,如图做出函数的图象(为三段不连续的图象),由图象可知:当 时,函数图象上 的最低点的坐标为 ,当 时,函数图象上的最低点的坐标为 ,与 轴的两个交点坐标为 、 ,所以此时函数的取值 范围为 ,综合上述,函数的值域为 ,故选 D. 【点评】本题主要考查分段函数值域的基本求法,首先根据已知条件明确函数的解析式,利用函数图象可直 观地观察出函数的性质以及图象所在的范围,然后根据函数的单调性以及二次函数的性质便可确定出函数的值 域. (4)巧解函数图象判断函数零点的个数求解参数范围
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方程 的根与函数 图象与 轴的交点以及不等式 解集的端点值之间的关系是我们能够构造函数图象解决方程的 根、两个函数的交点以及不等式解集的有关问题的依据. 【典例 4】(2009?山东,)若函数 ( 且 )有两个零点,则实数 的取值范围是 【解析】函数 的零点的个数就是两个函数 与 图象的交点个数, 如图 1,当 时,根据函数图象可知,两个函数图象必有两个交点; 如图 2,当 时,根据函数图象可知,两个函数的图象有且仅有一个交点.故实数 的取值范围是 . 【点评】函数 的图象无法直接做出,所以不能根据函数 的零点直接判断参数的取值范围,可把函数 的零点转 化为两个函数 与 图象交点进行讨论.本题中函数的零点就是函数图象与 轴交点的横坐标,也是与函数对应的方 程的根.通过构建函数模型并结合图象研究方程根的个数或根的范围是高考命题的一个热点. 【典例 5】(2010?全国Ⅰ,理 15)直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是 . .

【解析】曲线 关于 轴对称,当 时, ,画出其图象,然后做关于其 轴的对称图象,便可得到曲线 的图象. 如图可知,要使直线 与曲线 有四个交点,需 , 解得 .故 的取值范围是 . 【点评】 本题也可直接求解 的范围, 将已知条件转化为方程 有四个解, 将其看成关于 的方程: 有两个正根, 从而得到条件: ,解得 .但此种方法不如利用函数图象直观形象. (5)“借”曲线和方程的对应关系解决交点和最值问题 曲线是方程“形”的体现,方程是曲线“数”的表达,用“形”展示“数”的魅力,用“数”揭示“形”的 奥秘,是数形结合的完美体现.借助曲线的定义进行转化,利用平面几何的知识,根据曲线的性质解决曲线有关 的问题,是高考中考查的一个热点.我们不仅可以借助曲线的直观研究曲线的性质,也可以由方程出发去推理论 证曲线的交点、形状等问题. 【典例 6】(2010?湖北,理 2)设集合 , ,则 的子集的个数是 A.4 B. 3 C .2 D.1 【解析】画出椭圆 和指数函数 图象,可知其有两个不同交点,记为 ,则 的子集应为 , , , 共四个,故 选 A. 【点评】本题两个集合中的元素都是对应函数图象或圆锥曲线上的点,无法通过解方程的办法确定两个集 合交集中元素的个数,显然利用椭圆和指数函数的图象,很容易就可以判断出两个图像交点的个数——2! (6)利用向量的几何意义转化向量的基本运算 向量本身具有“形”的特性,我们可以利用向量的运算规律将一些难于解决的问题转化为平面几何中“形” 的问题来解决,此类问题多与三角形、平行四边形等平面图形中的计算推理问题相联系. 【典例 7】(2010?天津,文 9)如图,在 中, , , ,则 = (A) (C) (B) (D)

【解析】因为 ,所以 . 如图,过点 C 做 的延长线于 H.因为 ,所以 , 故. 而 ,所以 , 而 ,故 , 代入上式得: ,求得 . 所以 ,选 D.

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【点评】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,初看该题,三角形中的条件不全,如果 直接求解,则根本无法入手.在利用向量数量积的定义展开之后,通过三角形中的边、角之间的关系将所求问题 转化为三角形某边上的高,通过辅助线构造相似三角形求解. 【典例 8】(2009?浙江 )设向量 、 满足 , , ,以 , , 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆 的公共点个数最多为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】由 , , 可知,以 , , 为边可构造一个直角三角形,且 ,该三角形的内切圆半径为 1,如图所示, 将内切圆向上或向下平移可知该圆与直角三角形最多有四个交点,但 5 个以上的交点不能实现. 【点评】本题中的半径为 1 的圆就是三角形的内切圆,通过画图形,很容易得到交点的个数.在求解平面向量 问题时,若能自觉利用数形结合思想,则能简化运算,优化解法,令人赏心悦目. 由以上可知,数形结合有利于生成解题思路,探求结论,优化解题过程.在高考中,对数形结合思想考查的 重点在于将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识, 而在解答题中, 考虑到推理论证的严密性, 对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,所以解答题中对数形结合思想的考查以由 ‘形’到‘数’的转化为主”. 2.以“数”究“形” (1)用“数”探究解析几何问题 “坐标法”是研究平面解析几何的最基本方法,通过建立适当的直角坐标系,利用点的坐标——数字特征来 刻画平面图形的结构特征,利用代数的方法求解平面图形中的推理、运算问题,将几何问题“代数化”. 【典例 9】(2010?全国Ⅰ,理 11)已知圆 的半径为 1, 、 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 的 最小值为( ) (A) (B) (C) (D)

【答案】设 ,则 , (当且仅当 ,即 时取等号),故选 D. 【点评】本题主要考查向量的数量积与圆的切线长定理.该题无法直接根据平面图形的性质确定最值,所以要 利用“数”来探究,通过设角将最值变化为三角函数的最值,通过式子的化简变形便可利用均值不等式求解最值. (2)用“数”探究空间中的线面关系 在探究立体几何问题的过程中,我们往往运用代数的方法解决几何体中的有关问题,并且空间直角坐标系 的建立使得立体图形也具有了“数”的特征,空间中的点、线、面,我们都可以用“数来精确描述”,这也为我 们证明、探究空间线面关系带来了极大的方便.我们可以使用坐标(或基底)表示相关的向量,那么线面关系的 逻辑推理就可转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的坐标(或代数)运算,用代数运算代替了空间线 面关系严密的逻辑推理,使一些证明和运算过程具有程序化. 【典例 10】(2010?全国Ⅱ,理 9)已知正四棱锥 中, ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 (B) (C)2 (D)3

【解析】设底面边长为 ,则高 ,所以体积 ,设 ,则 ,当 取最值时, ,解得 或 时,体积最大,此时 , 故选 C. 【点评】本试题主要考查锥体的体积的最值,先将锥体的体积表示为底面边长 的函数,然后利用导数求解最 值,该题直接利用几何体的体积无法直接判断最值,所以只能利用代数的方法来解决. 【典例 11】(2010?安徽,理 18)如图,在多面体 中,四边形 是正方形, , , , , , 为 的中点. (1)求证: ∥平面 ; (2)求证: 平面 ; (3)求二面角 的大小. 【解析】∵四边形 为正方形,
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∴ . 又 ,∴ . 又 ,∴ 平面 . ∴ ,∴ . 又 ,为 的中点, ∴ ,∴ 面 . 以 点为坐标原点, 为 轴的正方向, 为 轴的正方向,建立如图所示的坐标系. 设 ,则 ,, , , , . (1)证:设 与 的交点为 ,连接 、 .则 . ∴ ,又 ∴ , 而 平面 ,平面 ∴ 平面 . (2)证:∵ , ∴ ∴ ,即 . (3) , . 设平面 的法向量为 , 则有 ,即 , 解得 ,即 . , 设平面 的法向量为 , 则有 ,即 ,解得 ,故 . 故 ∵ ,∴ . ∵所求二面角 为锐角,故二面角 的大小为 . 【点评】 空间向量的代数运算与坐标运算颠覆了传统几何中线面关系的逻辑推理, 使立体几何的线面关系的证 明也具备了“数字化”的特征.直线的方向向量和平面的法向量是证明线面关系中两个非常重要的向量. 数形结合思想是“数”与“形”的完美结合,充分体现了“代数”与“几何”的相互渗透,解决问题时,我 们既要考虑代数问题在“形”上的直观体现,也要考虑几何问题在“数”上的精确表示,两个方面相互结合,开 拓自己的解题思路,提高自己的数学思维.

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