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直线和双曲线的位置关系


直线和双曲线的位置关系
一、要点精讲 1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离. 2.弦长公式:设直线 y ? kx ? b 交双曲线于 P ?x1 , y1 ? , P ?x2 , y2 ?, 1 2 则 P P2 ? x1 ? x2 1 ? k ? 1 ? k ? 1
2 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

/>


或 P P2 ? y1 ? y2 1 ? 1 二、基础自测 1.经过点 P? (A) 4 条

1 1 ? 1? 2 ? 2 k k

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 ?k ? 0? .

?1 ? ,2 ? 且与双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 1仅有一个公共点的直线有( ?2 ?
(B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条



2.直线 y= kx 与双曲线 4 x ? y ? 16 不可能(
2 2

) (D)有两个公共点

(A)相交

(B)只有一个交点

(C)相离

3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径,则双曲线

y2 x2 ? ? 1 的通径长是 16 9
(A)

9 4

(B)

9 2

(C) 9

(D) 10 .

4.若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线,则 l 与双曲线的公共点个数为

解: 与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点, 应注意直线与双曲线不是 相切 5.经过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长
2 2





x2 y2 ? ? 1 上截得的弦长为 4,且 l 的斜率为 2,求直线 l 的方程. 6.直线 l 在双曲线 3 2

1/9

三、典例精析 题型一:直线与双曲线的位置关系 1. 如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 没有公共点,求 k 的取值范围.有两个公共点
2 2

呢?

2 解,所以△= ( ) ? 4 ? 0 , 所以

b a

b c a 2 ? b2 b ? 2,e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a

2.(2010· 安徽)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范 围是 ( A. ? ? ? )

? ?

15 15 ? , ? 3 3 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

15 ? ? 3 ? ?

C. ? ?

? ? ?

15 ? ,0? ? 3 ?

D. ? ?

? ? ?

? 15 , ?1 ? ? 3 ?

?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ?y=kx+2, ? ?? ? 16k ? 4 ?1 ? k ? ? ? ?10 ? ? 0 2 2 解:由? 2 2 得(1-k )x -4kx-10=0,∴ ? ,解得 ? ?x -y =6 ? x1 ? x2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2
- 15 <k<-1. 3

3、过点 P( 7,5) 与双曲线 的方程。

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们 7 25

2/9

题型二:直线与双曲线的相交弦问题 4. 过双曲线 x ?
2

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 ,作倾斜角为 的弦 AB ,求⑴ AB ;⑵ ?F2 AB 的周 6 3

长( F2 为双曲线的右焦点) 。

5. 已知双曲线方程为 3x ? y ? 3 ,求以定点 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.
2 2

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题, 一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标, 而是利用 根与系数的关系或“平方差法” 求解. 此时, 若已知点在双曲线的内部, 则中点弦一定存在, 所求出的直线可不检验,若已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而 对所求直线必须进行检验,以免增解,若用待定系数法时,只需求出 k 值对判别式△>0 进 行验证即可. 6. 双曲线方程为 3x ? y ? 3 .
2 2

问:以定点 B(1,1)为中点的弦存在吗?若存在,求出其所在直线的方程;若不存在,请说明

3/9

理由.

7、已知中心在原点,顶点 A1 , A2 在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求双曲线的方程;

21 的双曲线经过点 P(6, 6) 3

(Ⅱ)动直线 l 经过 ?A1 PA2 的重心 G ,与双曲线交于不同的两点 M , N ,问是否存在直线 l 使 G 平分线段 MN 。试证明你的结论。

题型三: 求双曲线方程 8. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P ,到双曲线两个焦点的距离分别为 4 和 8,直线

y ? x ? 2 被双曲线截得的弦长为 20 2 ,求此双曲线的标准方程.

9、设双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1?a ? 0?与直线 l : x ? y ? 1 相交于不同的点 A、B. 2 a

⑴求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;
4/9

⑵设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且 PA ?

5 PB ,求 a 的值。 12
① 由题设条

x2 解:(1)将 y=-x+1 代入双曲线 2-y2=1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 a 件知,

?1-a2≠0 ? 1+a2 ? 4 ,解得 0<a< 2且 a≠1, 又双曲线的离心率 e= = 2 2 a ? ?4a +8a ?1-a ?>0

1 +1, a2

∵0<a< 2且 a≠1,∴e>

6 且 e≠ 2. 2

→ → 5 5 (2)设 A(x1, 1), 2, 2), y B(x y P(0,1). ∵PA= PB, ∴(x1, 1-1)= (x2, 2-1). 1 y y ∴x 12 12 5 = x2, 12 ∵x1、x2 是方程①的两根,且 1-a2≠0, 2a2 289 消去 x2 得,- = , 1-a2 60 17 2a2 5 2 2a2 ∴ x2=- , x2=- , 12 1-a2 12 1-a2

17 ∵a>0,∴a= . 13

10. 已知双曲线的焦点为 F1 ?? c,0? ,F2 ?c,0? ,过 F2 且斜率为 两点,若 OP ? OQ

3 的直线交双曲线于 P 、Q 5

(其中 O 为原点) PQ ? 4 ,求双曲线方程。 ,

11. 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同 于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A, B 两点.已知 OA 、 、
向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解 :( Ⅰ ) 设 O A?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

m ?

d AB ? m , OB ? m ? d ,

由勾股定理可得:

(m ? d )2 ? m2 ? (m ? d )2
得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3
5/9

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? x2 y 2 a (Ⅱ) F 直线方程为 y ? ? ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立, a ? 2b , ? 5b 过 将 c b a b 2
代入, 化 简 有

1 2 5 x ? x?2 ? 2 4b b

1

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b 2 ? ?? ? , 解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ? ?4 5 ? ?? 15 ? ? ?? ?

故所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1。 36 9
x2 y2 12、已知双曲线 2- 2=1(b>a>0),O 为坐标原点,离心率 e=2,点 M( 5, 3)在双曲线上. a b (1) 求双曲线的方程; 若直线 l 与双曲线交于 P, 两点, OP ?OQ ? 0 .求 (2) Q 且 的值. x2 y2 解: (1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为a2-3a2=1,即 3x2-y2=3a2. ∵点 M( 5, 3)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 (2)设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),联立 - =1,得 4 12 1 1 2+ |OP| |OQ|2

12 ? 2 ?x ? 3 ? k 2 12?k2+1? ? ∴|OP|2=x2+y2= . ? 3-k2 12k 2 2 ?y ? ? 3? k2 ?

1 则 OQ 的方程为 y=- x, k

1 ? ? 12 ?1 ? 2 ? 2 2 2 2 ? k ? =12?k +1?, ∴ 1 2+ 1 2=3-k +?3k -1?= 2+2k 2 同理有|OQ| = |OP| |OQ| 3k2-1 12?k2+1? 12?k2+1? 1 3? 2 k
1 = . 6

6/9

13.(2012 上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角 形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥ OQ; (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1 、C2 上的动点,且 OM⊥ ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值. 解:(1)双曲线 C1:

? x2 2 ? ? y 2 ? 1 ,左顶点 A ? ? ? 2 , 0 ? ,渐近线方程为:y=± 2x. ? 1 ? ? 2
? 2? 2?x? ? ,即 y= 2x+1. ? 2 ? ? ?

过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 y ?

? 2 ?y ? ? ? y ? ? 2x 1 2 ? ? 4 . ∴ 解方程组 ? ,得 ? 所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8 ? y ? 2x ?1 ?y ? 1 ? ? ? 2
|b| (2)证明:设直线 PQ 的方程是 y=x+b,∵ 直线 PQ 与已知圆相切,∴ =1,即 b2=2. 2 由?

?y ? x ? b
2 2 ?2 x ? y ? 1

得 x2-2bx-b2-1=0.

设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 ?

? x1 ? x2 ? 2b
2 ? x1 x2 ? ?1 ? b

又 y1y2=(x1+b)(x2+b), ∴OP ? OQ =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. OP⊥ OQ. (3)证明:当直线 ON 垂直于 x 轴时,|ON|=1,|OM|= 2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3

??? ???? ?



当直线 ON 不垂直于 x 轴时,设直线 ON 的方程为 y=kx(显然 k ?

2 ), 2

1 则直线 OM 的方程为 y=- x. k

1 ? 2 ?x ? 4 ? k 2 ? y ? kx ? 由? 2 得? 2 2 ?4 x ? y ? 1 ? y 2 ? k ? 4 ? k2 ?
设 O 到直线 MN 的距离为 d. 3k2+3 1 1 1 3 ∴ 2= =3,即 d= . 2+ 2= 2 d |OM| |ON| 3 k +1

1+k2 1+k2 2 ∴ |ON|2= . 2.同理|OM| = 2 4+k 2k -1 ∵ (|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,

综上,O 到直线 MN 的距离是定值.

7/9

五、能力提升 1.若不论 k 为何值,直线 y=k(x-2)+b 与双曲线 x ? y ? 1 总有公共点,则 b 的取值范围是
2 2





(A) ? 3,3

?

?

(B) [? 3,3]

(C) ?? 2,2?

(D) ?? 2,2?

2 2.过双曲线 x ?

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则这样的 2

直线 l 有( (A)1 条

) (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

x2 y2 b? ? 3. 过点 P? ? 1,? ? 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 有且仅有一个公共点, 且这 a b a? ?
个公共点恰是双曲线的左顶点,则双曲线的实轴长等于( (A)2 4. 已知双曲线 (B)4 (C) 1 或 2 (D) 2 或 4 )

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 45? 的直线与 2 a b


双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( (A) (1,2] (B)(1,2)
2 2

(C) [2,+∞)

(D) (2,+∞)

6.直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C : x ? y ? 6 的右支交于不同两点,则 k 的取值范围 是 .

7. 已知倾斜角为

? 2 2 的直线 l 被双曲线 x ? 4 y ? 60 截得的弦长 AB ? 8 2 , 求直线 l 的方 4
程.

8. 设直线 l : y ? 3x ? 1 与双曲线于

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 相交于 A、B 两点,且弦 AB 中 a 2 b2

8/9

点的横坐标为

1 . 2

(1)求

a2 的值;(2)求双曲线离心率. b2

9. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率 e ? 1 ? 2 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 , a 2 b2

左准线为 l , 能否在双曲线的左支上找到一点 P, 使得 PF 是 P 到 l 的距离 d 与 PF2 的等比 1 中项?

9/9


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