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2015年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)


2015 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 17 日下午 14:30——16:30)
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 得 分 评卷人 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小

题 5 分,共 30 分) 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

1、已知 n 为正整数,二项式 ( x2 ?

1 n 7 ) 的展开式中含有 x 项,则 n 的最小值为 3 x





A、4

B、5

C、6

D、7
a b c ? ? ,则 ? A cos A 2 cos B 3 cos C 【 】 5? D、 12

2、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 的大小为 ? A、 6

B、

? 4

C、

? 3

3、 已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 30 0 , 则由平面 ? 上的圆在平面 ? 上的正射影得到的椭圆的离 心率为 A、
1 3

【 B、
1 2



C、

3 3

D、

3 2

4、记函数 f ( x) ? 2 ? x ? 3x ? 12 的最大值为 M,最小值为 m,则 A、
6 2

M 的值为 m





B、 2

C、 3

D、2

5 、已知正三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是正三角形,该三棱锥的外接球的球心 O 满足

OA ? OB? OC?0 ,则二面角 A ? PB ? C 的余弦值为
A、
1 6

【 D、
3 3



B、

2 8

C、

1 5

6、设质数 p,满足存在正整数 x,y 使得 p ?1 ? 2x 2 , p 2 ?1 ? 2 y 2 ,则符合条件的质数 p 的个数
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为 A、1
得 分 评卷人

【 B、2 C、 3 D、4



二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

7、 i 为虚数单位,复数 z ?

4 ? 2i ,则 z = 1? i

. . . .

8、若 4a ? 6b ? 9c ,则

1 2 1 ? ? ? a b c

9、已知点 P ( x, y ) 满足 x ? y ? 2 ,则到 x 轴的距离 d ? 1 的点 P 的概率是 10、设 x ? sin x ? cos? 1 ? 0,2 cos y ? 2 y ? ? ? 4 ? 0 ,则 sin(2 x ? y) 的值是

11、在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 为矩形 ABCD 所在平面上一点,满足 PA=2,PC= 21 , 则 PB ? PD ? .

12 、 对 任 意 正 整 数 n , 定 义 函 数 ? (n) 如 下 : ? (1) ? 1 , 且 当 n ? p1?1 ? p2?2 ????? pk?k ? 2 时 ,

? ( n) ? ?

?(?1)t , ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? t ? 1 ,其中 t ? 1, p1 ,? ? ?, pk 是不同的质数. 0,否则 ?
k

若记 A ? {x1 , x2 ,? ? ?, xk } 为 12 的全部不同正因数的集合,则 ? ? ( xi ) ?
i ?1

.

得 分

评卷人

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)

13、 已知数列 {an } 满足:a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,且对任意的正整数 n,均有 S n ? 成立,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)求数列 {an } 的通项公式.

1 3 an ?1 ? 2 n ? 2 2

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14、已知 f ( x) ? sin 4 x .

? ? 3? (1)记 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,求 g ( x) 在 [ , ] 上的最大值和最小值; 2 6 8 ? 2? 3? 88? 89? (2)求 f ( )? f( )? f( ) ? ??? ? f ( )? f( ) 的值. 180 180 180 180 180

15、过双曲线 x 2 ? 是 AB 的中点.

y2 ? 1 的右支上任意一点 P( x0 , y0 ) 作一直线 l 与两条渐近线交于 A、B,若 P 4

(1)求证:直线 l 与双曲线只有一个交点; (2)求证:△OAB 的面积为定值.

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16、已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? e? x sin x ? ax, x ?[0,2? ] . (1)记 f ( x) 的导函数为 g ( x) ,求 g ( x) 在 [0,2? ] 上的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (0,2? ) 的极大值和极小值恰好各有一个,求实数 a 的取值范围.

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