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7概率统计作业答案与提示2.6-2.8


1.随机地掷一颗骰子两次,设随机变量X表示第一次出现的点

概率统计作业第二章2.6-2.8

数,Y表示两次出现的点数的最大值,求(X,Y)的概率分布及Y的
边缘分布。 Y X 1 2 3 4 5 6

1 1/36 0 0 0 0 0

2 1/36 2/36 0 0 0 0

3 1/36 1/36 3/36 0 0 0

4 1/36 1/36 1/36 4/36 0 0

5

6
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36

1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 0

?1 ? 36 , i ? j ( i , j ? 1,2,? ,6. i ? j ) 即 P( X ? i ,Y ? j ) ? ? i ? , i? j ? 36

概率统计作业第二章2.6-2.8
2. 已知随机变量 ( X , Y )的联合分布为:

X
1

Y

1
1 6 1 3

2
1 9
?

3
1 18
?

2

解: X , Y独立, P xi , y j ? PX ? xi ?PY y j , 即: ? ? 1 1 1 1 1 1 1 PX ( X ? 1) ? ? ? ? . P ( X ? 2) ? ? ? ? ? ? 1 ? , ? ? ? ? ? . 6 9 18 3 3 3 3
1 1 1 又PY (Y ? 2) ? ? ? , P ( X ? 1, Y ? 2) ? PX ( X ? 1) PY (Y ? 2) ? ? ( ? ? ), 9 3 9 1 1 1 1 2 1 又P ( X ? 1, Y ? 2) ? ,? ? ( ? ? ) ? . ? ? ? , ? ? . 9 3 9 9 9 9

试问?,?为何值时,X、Y才相互独立。

?

?

? ?

概率统计作业第二章2.6-2.8
3.设 (X,Y)的分布函数为:
y? x?? ? F ( x , y ) ? A? B ? arctan ? ? C ? arctan ? 2?? 3? ? (1)确定常数A, B, C; (2) (X,Y)的概率密度;

(3)求边缘分布函数及边缘概率密度。(4) (X,Y)是否独立.
解:() F ( ? ?,? ?) ? 1,? A( B ? 1 ?

?
2

)(C ?

?
2

)?1

y ? ? F (? ?, y ) ? 0,? A( B ? )(C ? arctan ) ? 0,? B ? 2 3 2 x ? ? ? F ( x,??) ? 0,? A( B ? arctan )(C ? ) ? 0,? C ? 2 2 2

?

概率统计作业第二章2.6-2.8
代入F (??,??) ? 1, A?? ? 1, A? ? 1, A ?
2

1

y? 1 ?? x??? F ( x , y ) ? 2 ? ? arctan ? ? ? arctan ? 2?? 2 3? ? ?2 ?2 ?2 1 ? x ? y (2 f ( x , y ) ? ) F ( x , y ) ?? [ 2 ( ? arctan )( ? arctan )] ?x?y ?x?y ? 2 2 2 3
? 1 ? x 1 3 2 ? [ 2 ( ? arctan )( )] ? 2 y 2 ?x ? 2 2 1? ( ) ? (9 ? y 2 ) (4 ? x 2 ) 3 6 ? 2 ? (9 ? y 2 )(4 ? x 2 ) 1 3

?

概率统计作业第二章2.6-2.8 1 1 x (3 ? FX ( x ) ? F ( x,??) ? ? arctan ) 2 ? 2 d 1 2 ? f X ( x) ? FX ( x ) ? dx ? (4 ? x 2 )
同理,FY ( y ) ? F (??, y ) ? fY ? y ? ? 1 3 ?(9 ? y 2 ) 1 1 y ? arctan , 2 ? 3

(4 ? f ( x, y ) ? f X ? x ? fY ? y ?[或F ( x, y ) ? FX ? x ?FY ? y ?] ) ? X ,Y独立

概率统计作业第二章2.6-2.8
4. 已知( X , Y)的联合概率密度为:
?cx 2 y, x 2 ? y ? 1 ? f ? x, y ? ? ? 其它. ?0, ?
试求:(1 )常数 c, (2) X , Y的边缘密度函数,( 3)X与Y是否相互独立。

21 解:(1)c ? 4
? 21 2 ? ( x ? x 6 ), ? 1 ? x ? 1 (2) f X ( x) ? ? 8 , ? 0, 其它 ?

?7 5 ? y2, 0 ? y ?1 fY ( y ) ? ? 2 , ?0, 其它 ?

因为f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y),所以,不相互独立

概率统计作业第二章2.6-2.8
5.设(X , Y)服从单位圆上的均匀 分布,且
?1 ? , x2 ? y2 ? 1 f ( x, y ) ? ? ? ? 0, 其它 ? y ) ? f ( x, y ) 解: fY ( x X f X ( x)



f Y | X ( y | x)

f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ?
??

??

1? x 2

1

? 1? x 2

?

dy ?

2

?

1? x2

?2 ? 1 ? x2 , ?1 ? x ? 1 f X ( x) ? ?? ? 0, 其它 ?

概率统计作业第二章2.6-2.8
? 1? x2 f ( x, y ) ? , ? 1? x2 ? y ? 1? x2 fY / X ( y / x) ? ?? 2 f X ( x) ? 0, 其它 ? 6.设随机变量 ( X , Y )的联合概率密度函数为
?1, f ( x, y ) ? ? ?0, y ? x,0 ? x ? 1, 其它

求条件概率密度函数 f X ( x )和fY ( y ) y x Y X

f X ( x) ? ?

??

??

? 2 x,0 ? x ? 1 f ( x, y )dy ? ? dy ? 2 x, f X ( x) ? ? ?x 其它 ?0,
x

?2, ? x ? y ? x 同理, fY ( y ) ? ? ? 0, 其它

概率统计作业第二章2.6-2.8
1 f ( x, y ) ? , y ? x ? 1 ? f X / Y ( x / y) ? ? ?2 f X ( x) ? 0, 其它 ? 1 f ( x, y ) ? , ? x ? y ? x ? 类似地, fY / X ( y / x) ? ? ? 2x fY ( y ) ? 0, 其它 ? 7.设随机变量 X与Y相互独立,其密度函数 分别为
? e?x , x ? 0 ? e? y , y ? 0 f X ( x) ? ? fY ( y ) ? ? 其它 其它 ?0, ?0, 求( X , Y )的联合密度函数 f ( x, y )以及条件密度函数 fY / X ( y / x) 和f X / Y ( x / y )

概率统计作业第二章2.6-2.8
?e ? ( x ? y ), ? X与Y独立, f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( y ) ? ? ? ? 0, y ? 0, f ( x, y ) ?e ? y , fY / X ( y / x) ? ?? f X ( x) ? 0, 其它 x ? 0, y ? 0 其它

f ( x, y ) ?e ? x , f X / Y ( x / y) ? ?? fY ( y ) ? 0,

x ? 0, 其它


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