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命题及其关系、充分条件和必要条件


第2节 课时训练 【选题明细表】

命题及其关系、充分条件和必要条件 练题感 提知能

知识点、方法 四种命题 命题真假判断 充分必要条件的判断 充分必要条件的探求 充分必要条件的应用

题号 1、5、14 2、9、12 3、4、6、7、10 11 8、13、15、16

一、选择题 1.“若 b2-4ac<0,则 ax2+bx+c=0 没有实根”,其否命题是( (A)若 b2-4ac>0,则 ax2+bx+c=0 没有实根 (B)若 b2-4ac>0,则 ax2+bx+c=0 有实根 (C)若 b2-4ac≥0,则 ax2+bx+c=0 有实根 (D)若 b2-4ac≥0,则 ax2+bx+c=0 没有实根 解析:由原命题与否命题的关系知选 C. 2.(2014 甘肃兰州第一次诊断)下列命题中的真命题是( (A)对于实数 a、b、c,若 a>b,则 ac2>bc2 (B)不等式 >1 的解集是{x|x<1} (C)? α ,β ∈R,使得 sin(α +β )=sin α +sin β 成立 C ) C )

(D)? α ,β ∈R,tan(α +β )=

成立

解析:对于选项 A,当 c=0 时,结论不成立; 对于选项 B,不等式 >1 的解集应为{x|0<x<1}. 对于选项 D,当α = +kπ 或β = +kπ 或α +β = +kπ (k∈Z)时式子没有 意义. 只有选项 C 是真命题,故选 C. 3.(2013 宜宾市高三一诊考试)设甲为:0<x<5,乙为:|x-2|<3,那么乙 是甲的( B )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:由|x-2|<3 得-1<x<5,故甲能推出乙,而由乙不能推出甲. 故选 B. 4.(2012 年高考山东卷)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减 函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 A )

解析:∵函数 f(x)=ax 在 R 上递减, ∴0<a<1, ∵函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上递增,

∴2-a>0,得 a<2,即 0<a<2 且 a≠1, 0<a<1 是 0<a<2 且 a≠1 的充分不必要条件. 故选 A. 5. (2013 眉山市模拟)命题“若α = ,则 sin α = ”的逆否命题是 ( D )

(A)若α ≠ ,则 sin α ≠ (B)若α = ,则 sin α ≠ (C)若 sin α = ,则α ≠ (D)若 sin α ≠ ,则α ≠ 解析:以否定的条件作结论,否定的结论作条件得出的命题为逆否命 题.即 “若α = ,则 sin α = ” 的逆否命题是 “若 sin α ≠ ,则α ≠ ” . 故选 D. 6.(2013 年高考浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ω x+
? ∈R),则“f(x)是奇函数”是“ ? =

? )(A>0,ω >0,

”的(

B

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若 ? = ,则 f(x)=Acos(ω x+ )=-Asin ω x 是奇函数;若 f(x)=Acos(ω x+
? )是奇函数,则

f(0)=Acos

? =0, ? =

+kπ ,k∈Z,不

一定是 ,所以“f(x)是奇函数”是“ ? = ”的必要不充分条件,故选 B. 7.(2013 年高考安徽卷)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0,+∞)内单调递增”的( C )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:当 a≤0,x∈(0,+∞)时,f(x)=-(ax-1)·x=-ax2+x,易知 f(x)是 增函数,即 a≤0? f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增.反之, 因 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上是增函数,若 a=0,则 f(x)=x 符 合要求,若 a≠0,则函数 y=ax2-x 与 x 轴有两个交点,因 y 在(0,+∞) 上是增函数,需使 <0,即 a<0,从而 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上 是增函数? a≤0,故选 C. 8.已知 p: ≥1,q:|x-a|<1,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围为( C )

(A)(-∞,3] (B)[2,3] (C)(2,3] (D)(2,3)

解析:由 ≥1 得 2<x≤3; 由|x-a|<1 得 a-1<x<a+1.

由 p 是 q 的充分不必要条件得 解得 2<a≤3, ∴实数 a 的取值范围为(2,3],选 C. 二、填空题 9.在命题“若 m>-n,则 m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命 题的个数是 .

解析:原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否 命题也是假命题.故假命题个数为 3. 答案:3 10.(2014 四川广安模拟)若 p: 条件. 解析:显然 p? q,若 x= ,y= 时,q 成立,但 p 不成立, 所以 q? / p,故 p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案:充分不必要 11.(2014 广元市模拟)若方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一 根小于 3 的充要条件是 . q: 则 p 是 q 成立的

解析:方程 x2-mx+2m=0 对应二次函数 f(x)=x2-mx+2m, 若方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3,则 f(3)<0,解 得 m>9, 即方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m>9.

答案:m>9 12.下列命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b; ②若 sin α =sin β ,则α =β ; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条 件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是 .

解析:对于命题②,sin 0=sin π ,但 0≠π ,命题②不正确;命题①③ ④均正确. 答案:①③④ 13.(2014 四川凉山州高三模拟)已知 p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若
?p

是 ? q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为

.

解析:∵ ? p 是 ? q 的充分不必要条件, ∴q 是 p 的充分不必要条件. 对于 p,|x-a|<4, ∴a-4<x<a+4, 对于 q,2<x<3, ∴(2,3) ∴ (a-4,a+4), (等号不能同时取到),

∴-1≤a≤6. 答案:[-1,6]

三、解答题 14.写出命题 “若 a≥0,则方程 x2+x-a=0 有实根” 的逆命题,否命题和 逆否命题,并判断它们的真假. 解:逆命题:“若方程 x2+x-a=0 有实根,则 a≥0”. 否命题:“若 a<0,则方程 x2+x-a=0 无实根.” 逆否命题:“若方程 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”. 其中,原命题的逆命题和否命题是假命题,逆否命题是真命题. 15.已知集合 A= ,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是

“x∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:y=x2- x+1= ∵x∈ , , + ,

∴ ≤y≤2,∴A= 由 x+m2≥1, 得 x≥1-m2, ∴B={x|x≥1-m2},

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, ∴A? B, ∴1-m2≤ , 解得 m≥ 或 m≤- ,

故实数 m 的取值范围是



.

16.设 p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:p 对应的集合为 ,

q 对应的集合为{x|a≤x≤a+1},
?

p 对应的集合 A=

,

?q

对应的集合 B={x|x>a+1 或 x<a},

∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,∴B A, ∴a+1>1 且 a≤ 或 a+1≥1 且 a< , ∴0≤a≤ .



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