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浙江省杭州地区重点中学2016届高三上学期期中联考数学(理)答案(PDF版)


2015 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高三年级理科数学学科参考答案

1.C 9. 40

2.A 3.D 4.A 3940

5.A

6.A

7.C

8.B

10. {x| x ? 0}, { y | y ? 0且y ? }

1 3

11. 1 ? k ? 2,

sin( x1 ? x2 ) ? 1

12. 6

13. 15.

14 4 14. log 2 45 3 ?2, 2, 1 2

16.解:若 p 真, 则 ? ? 4 ? 4m ? 0 ? m ? ?1 若 q 真,则 ? ? 4 ? 4(m2 ?

--------4 分

5 m) ? 0 ? 2m2 ? 5m ? 2 ? 0 2
---------9 分

1 ? m ? ? , 或 m ? ?2 2
因为 p ? q 为假, p ? q 为真, 所以 m 的范围是 ?2 ? m ? ?1或m ? ?

1 2

---------14 分

17.解:(1)

cos B sin C ? ( 3 a ? sin B )cos( A ? B ) ? 0

? cos B sin C ? ( 3 a ? sin B )cos C ? 0
1

?sin A ? 3a cos C ? 0 ?sin C ? 3 cos C ? 0
?C ?

------4 分

?
3 C?
--------7 分

(2)

?
3

?A? B ?

2? 3

∴a?b ?

1 sin

?
3

(sin A ? sin B ) ?

2 3 2? (sin A ? sin( ? A)) 3 3

?

2 3 2? 2? (sin A ? sin cos A ? cos sin A) 3 3 3

? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) , 6 --------12 分
即 f ( x ) ? 2sin( x ? 当x?? 18.解:(1)

?

?
6

).
3 ? f ( x) ? 2

? ? 2? ?? ? ? ,? , ? 时, ? x ? ? 3 6 3 ?6 2?
1 a ? ?b ? a ? b 2

--------15 分

1 1 1 ? a? b? (? ? ) b ? a? b 2 2 2

1 2 1 1 ? (? ? )2 b ? 2(? ? )( a ? b) b ? 0 恒成立, 2 2 2 1 ? ( a ? b) b ? 0 2 1 2 ?a b ? b ? 2 2
(2) ------7 分

a与b 的夹角为

|a| 3 ? 1 2 ? , a b ? b ,? 6 2 |b| 3
2

| 2a ? tb | 2 4a ? 4tab ? t 2 b 4a 4 1 ?( ) ? ? t 2 ? 2t ? 2 ? t 2 ? 2t ? ? 2 3 3 |b| b b

2

2

2

?

| 2a ? tb | 3 的最小值为 3 |b|

------15 分

19.解:(1) f ( x ) ? ?

?ax ? 1,
2

?1 ? x ? 1

?2 x ? ax ? 1, x ? 1

当 ?4 ? a ? ?1 时, f ( x ) 在 (?1,1) 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增, f ( x)min ? a ? 1 , 当 a ? ?4 时, f ( x ) 在 ( ?1, ? ] 递减,在 ? ? , ?? ? 上递增, f ( x )min ? ?

a 4

? a ? 4

? ?

a2 ?1 8

综上 f ( x )min

?a ? 1, ? 4 ? a ? ?1 ? ? ? a2 ?? 8 ? 1, a ? ?4 ?

---------4 分

(2)由题可知, f ( x ) 在 (?1,1) , (1, ??) 上各有一个零点,设 x1 ? x2
2 ? ax1 ? 1 ? 0,2 x2 ? ax2 ? 1 ? 0

2 1 x2 x2 ? x1 x2 ? ? x2 ? ? ? x ? ?1 2 2 2 a 1 ? 2 x2 2 x2 ?1

?0 ? x1 x2 ? 1,? f ( x1 x2 ) ? a ? 1
(3)设 t1 ? t2 ,由(1)可知 a ? ?4 因此 t1 ? (1, ? ), t2 ? ( ? , ??) 当 ( a ? 1) ? 2 ? ?

---------9 分

a 4

a 4

a2 ? 1 ,即 a ? ?8 时, 8

由?

?( ax ? 1) ? 2 ? a ? 1 2 2 解得 1 ? ? x ? 1 ,即 t0 ? (1 ? ,1) a a ?x ? 1

2 ? ( m, n) ? (1 ? ,1) a
3

?n ? m ? ?

2 1 ? a 4

--------12 分

当 ( a ? 1) ? 2 ? ?

a2 ? 1 ,即 ?8 ? a ? ?4 时, 8

?( ax ? 1) ? 2 ? a ? 1 2 a 2 a ? 由? 解得 1 ? ? x ? ? ,即 t0 ? (1 ? , ? ) a2 a 8 a 8 ?( ax ? 1) ? 2 ? ? 8 ? 1 ?
2 a ? ( m, n) ? (1 ? , ? ) a 8 2 a ?n ? m ? ? ? ?1 a 8 2 a 1 ? ? ? 1 在 a ? ?8 时取得最大值 a 8 4 ?n ? m ? 1 4

---------15 分

?an ? S n ? n 2 ? 3n ? 20.解:(1)当 n ? 2 时, ? 2 ? ?an?1 ? S n?1 ? ( n ? 1) ? 3( n ? 1)

? 2an ? an?1 ? 2n ? 2 ? 2(an ? 2n) ? an?1 ? (2n ? 2)
a1 ? 2,? an ? 2n
解法二:

--------4 分

--------8 分

2 an ? an ?1 ? 2 n ? 2 2 an ?1 ? an ? 2 n ? 4

? 2(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? 2
设 cn ? an?1 ? an ,则 2cn ? cn?1 ? 2 ? 2(cn ? 2) ? cn?1 ? 2

c1 ? 2,? cn ? 2,? an ? 2n
4

1 1 1 1 2n2 ? 2n ? 1 (2) bn ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1? 2 an an?1 4n 4( n ? 1)2 4n ( n ? 1)2

? 1?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1? ? 2 ? 1? 2 2 2n( n ? 1) 4n ( n ? 1) n( n ? 1) 4n ( n ? 1) 2n( n ? 1)

1 1 1 ?1? ( ? ) 2 n n ?1 1 1 1 ?1 ? bn ? 1 ? ( ? ) 2 n n ?1 1 1 ? 2015 ? Tn ? 2015 ? (1 ? ) 2 2016

-------12 分

? M max ? 2015

--------15 分

5


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