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运动界面追踪问题论文+代码


2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写) : 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话) : 所属学校(请填写完整的全名) : 参赛队员 (打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 孙元 于冰 陈魁东 (打印并签名):

A

日期: 2

010 年 7 月 16 日

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2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):

41 运动界面追踪问题
孙 元 于 冰 陈魁东

摘要
本题专业性很强, 运用到很多的专业理论公式,我们结合专业知识和生活实际解 决两个问题。 对于问题一,我们针对管线的两种状态采用微元法进行分析。对于落水过程,我 们建立了微分方程模型, 模拟出水流下降过程, 计算水流断面的速度和下降时间。 对涨水过程, 我们构建灌水模型,并分别讨论了前一峰点比后面的高和前一峰点 比后面的低这两类情形, 利用matlab计算出水流到达每一谷点和峰点的时间。计 算结果为水流到达终点需要12.28天。 对于问题二, 我们在对有压管道非恒定流分析的基础上建立了水流的运动方程和 连续方程, 并利用特征线的计算方法将偏微分方程转化为常微分方程,然后对特 征线方程组进行差分变换, 配合初边值条件,编程求解输水管线全程的水头压力 分布和从一种恒定流到另一种恒定流的时间。 由于在额定功率下最大输水流量为 5.2m3/s;所以我们选取第一阶段和第二阶段流量的增量相等的方案;即第一阶 段流量从0.6变为2.9; 第二阶段从2.9升至5.2;这样我们得出两阶段的水压分布 图以及总的时间

关键词:

局部分析法

有压管壁模型

特征线法

初边值条件

问题重述
某输水管线是利用114米地面落差有压、重力流输水工程。管径2.2米,管 线长度176公里,地面高程变化很大。 当输水管线建成后,首次通水时,为了防止水流速波动产生水击破坏管线, 只能以每秒0.6立方米的流速由某水库向管线内灌水。 当被供水城市水厂出流稳定后,再逐步提高入流速度达到每天45 万吨的额定工 作状态。 我们要解决两个问题 1.第一阶段:假设以每秒Q(=0.6)立方米入流速度向管线内灌水,模拟 出水头前沿面的运动过程, 计算出水头前沿面顺序到达管线高程谷点和峰点的时 间。 2.第二阶段:再分两阶段提高入流速度达到每天45万吨的额定工作状态, 请设计通水方案, 计算出由一种恒定流达到另一种稳定流后的管线水头压力分布 和需要的时间。

问题分析
1. 问题一,我们针对管线的两种状态采用微元法进行分析。对于落水过程,我 们建立了微分方程模型, 模拟出水流下降过程, 计算水流断面的速度和下降时间。 对涨水过程, 我们构建灌水模型,并分别讨论了前一峰点比后面的高和前一峰点 比后面的低这两类情形,利用matlab计算出水流到达每一谷点和峰点的时间。 2. 问题二,我们在对有压管道非恒定流分析的基础上建立了水流的运动方程和 连续方程, 并利用特征线的计算方法将偏微分方程转化为常微分方程,然后对特 征线方程组进行差分变换, 配合初边值条件,编程求解输水管线全程的水头压力 分布和从一种恒定流到另一种恒定流的时间。 由于在额定功率下最大输水流量为 5.2m3/s;所以我们选取第一阶段和第二阶段流量的增量相等的方案;即第一阶 段流量从0.6变为2.9; 第二阶段从2.9升至5.2;这样我们得出两阶段的水压分布 图以及总的时间

术语和符号说明
由于这道题是水力学问题,很多术语专业性较强,因此我们在此列出所用术 语,有利于非专业人士阅读。 符号 物理量 符号解释 单位 单位时间内通过某一个过水 Q 水流量 m3/s 断面的液体的体积 v 断面平均流速 单位时间内断面前进的距离 m/s 过水段面是与所有流线正交 A 过流断面面积 m2 的横断面 水流断面上流体与固体壁面 c 管壁湿周长度 m 接触的周界线 R 水力半径 过水断面面积与湿周之比 m 单位重量的水体流动时由于 hf 沿程水头损失 边壁阻力在流程中所引起的 m 水头损失 由局部边界急剧改变导致水 hj 局部水头损失 流结构流速分布改变并产生 m 漩涡区引起的水头损失 沿程水头损失和局部水头损 hw 总水头损失 m 失之和 实际液体沿元流单位流程上 i 水力坡度 1 的水头损失, 即总水头线坡度 水流沿铅垂线方向到某水准 Z 水流高程 m 面的距离 e 压力水头 管壁对水的压强产生的水头 m 即测压管水头, 等于水流高程 H 管道水头压力 m 与压力水头之和 根据以上定义结合物理规律,有以下公式成立: Q v? (1-1) A A R? (1-2) c

h f ? il
e? P ?g P ?g

(1-3)

(1-4)

H ? Z ?e ? Z ?

(1-5)

注:P压强(帕), ? 水的密度(kg/m3),g为重力加速度(m/s2);符号解释同上。

问题一
在问题一中出水头前沿面的运动不外乎从高程下降、 从低程上升和同高度向前传 播三种状态。 从所给数据可以发现绝大部分管线处于前两种状态,几乎不存在同 高度管线, 所以我们重点分析水流下降和上升两种状态。 管线的总体高程变化图:

模型假设:水流刚刚到达谷点时,谷点与相邻的峰点之间管线充水量很少,再后 续计算时可以忽略。 水流下降过程模型 在最初充水阶段,由于水并未充满水管,因此水流下降时为无压流,我们取一小 段管道中的水流结合动能定理利用微元法分析:

1 1 d m v 2 ? d m g ( H 0 ? d H ) ? d m (v ? d v ) 2 ? d m g ( H 0 ? h f ) 2 2

(1-6) (1-7)

dH ? sin ? dS
忽略 d v 项后化简得:
2

vdv ? g (dH ? hf )
根据达西—魏斯巴赫(Darcy—Weisbach)公式:

(1-8)

hf ? ?

ds v2 4R 2 g

(1-9)

式中,λ 为无量纲待定系数,习惯上称为沿程阻力系数, 根据已经定义的水力坡度表达式和谢才公式得:

i?
再结合巴甫洛夫斯基公式

? v2
4R 2 g
C?

?

v2 C2R

(1-10)

1 y R n

(1-11) (1-12)

式中,R 为水力半径,y 表达式:

y ? 2.5 n ? 0.13 ? 0.75 R ( n ? 0.1) D 2.2 ? ? 0.55m ? 1.0m ;所以近似计算时,y 可取 本题中由于 Rmax ? 4 4 y ? 1.5 n 最后再讨论水力半径R的表达式:

(1-13)

如上图,由几何关系可得:过水断面面积 A ?
湿周 c ?

d2 (? ? sin ? ) 8

(1-14)

1 ?d 2

(1-15)

水力半径 R ?

A d sin ? ? (1 ? ) c 4 ?

(1-16)

我们联立(1-1) (1-14) (1-15) (1-16)理论上可以整理得水力半径R和断面平均流速v的关 系式,但实际计算时由于R、V的关系式过于复杂,不易求解,我们利用matlab最小二乘法 进行多项式拟合,近似求解,并得出表达式:

R?

34.4580v 2 ? 61.2317v ? 6.3853 358.9340v 2 ? 29.8083v ? 2.6058

(1-17)

平均误差平方和为0.0184。 拟合曲线与实际曲线对比图如下:

将式(1-7)(1-10)(1-13)代人(1-8)式得: 0.00012v 2 sin ? ? dv R1.313 ? ds 0.102v 其中R和V的关系式为式(1-17) 由于利用matlab求解ODE方程。具体求解过程见附录程序。

(1-18)

水流上升过程模型 水流上升的过程中输水管线必然是充满水的,管壁对水流速的影响就不能忽略 了,由于此时按照上述模型分析情况比较复杂,我们用总流量、流速以及时间之 间的关系来求解水流上升所需的时间。问题一中流速Q一定,只需确定流量即可, 根据连通器原理可知该峰点与上一个峰点的绝对高度差对充水的总流量是有影 响的,我们需要分别考虑两种情况: 1)前一个峰点高于该峰点

此时我们可得断水面上升到峰点时注入的水量体积为峰点高度以下的管线体积, 如图所示, 我们也可以认为峰点与相邻谷点的时间差为充满该部分水量的所需时 间。

体积=管线截面积×管线长度 时间=体积/流量Q 2)前一个峰点低于该峰点

此时由于断水面到达前一峰点时, 有一部分管线已经充满水了, 如图中横线所示。 继续注水, 直到水流充满峰点高度以下部分的管线,如图中涂黑部分以及竖线部 分。由于节点与节点之间的距离较远,竖线部分水量较之涂黑部分微乎其微,可 以忽略, 所以我们可以近似认为峰点与相邻谷点的时间差为充满涂黑部分水量的

时间。

体积=管线截面积×管线长度 时间=体积/流量Q 模型的求解: 我们通过编程利用迭代思想分段累加积分求解水断面到达各点的时间。 假设入水 口的初速度为V0=0.2,可以证明V0的大小对输水时间的影响不大。 程序流程图:

运行结果: 峰点与到达峰点时间表: 峰点 时间 峰点 8 0.02 156 42 0.35 160 52 0.47 163 58 0.72 169 66 0.99 182 70 1.15 184 72 1.47 186 76 1.53 197 79 1.59 200 83 1.76 209 95 1.94 214 105 1.99 219 110 2.10 225 112 2.22 235 116 2.37 240 121 2.48 245 125 2.63 250 137 2.76 253 143 2.85 255 147 2.92 260 149 3.01 262 152 3.25 264 如下图:

时间 3.40 3.47 3.53 3.59 3.76 3.84 3.90 4.21 4.23 4.35 4.45 4.57 4.65 4.91 4.99 5.03 5.10 5.14 5.17 5.28 5.37 5.40

峰点 273 278 292 295 306 312 315 322 325 335 337 342 358 368 372 378 388 401 408 414 417 424

时间 5.47 5.59 5.67 5.75 5.86 6.04 6.07 6.14 6.18 6.23 6.32 6.36 6.45 6.75 6.82 6.89 6.98 7.10 7.31 7.86 8.45 8.65

峰点 时间 427 8.87 434 9.00 451 9.28 468 9.78 477 10.01 482 10.24 494 10.58 500 10.71 512 11.05 515 11.14 527 11.19 539 11.32 549 11.39 555 11.45 562 11.49 573 11.55 588 11.72 594 11.91 596 12.06 599 12.10 601 12.19 时间单位:天

谷点与到达谷点时间表: 谷点 时间 谷点 11 0.16 157 43 0.39 161 53 0.66 165 60 0.96 174 68 1.15 183 71 1.46 185 73 1.52 194 77 1.57 198 80 1.75 203 92 1.94 210 96 1.96 216 106 2.05 220 111 2.22 234 115 2.37 237 118 2.46 241 122 2.63 249 132 2.74 251 138 2.82 254 144 2.91 259 148 3.00 261 151 3.25 263 155 3.39 267 如下图:

时间 3.47 3.52 3.57 3.74 3.84 3.90 4.20 4.23 4.34 4.43 4.53 4.61 4.90 4.98 5.02 5.10 5.14 5.17 5.25 5.37 5.39 5.46

谷点 276 282 293 302 309 313 319 323 326 336 338 345 366 369 375 383 390 403 411 415 418 425

时间 5.58 5.66 5.74 5.84 6.03 6.06 6.14 6.17 6.22 6.32 6.36 6.42 6.75 6.82 6.89 6.98 7.05 7.23 7.74 8.36 8.61 8.78

谷点 时间 429 8.96 446 9.21 462 9.77 475 10.01 478 10.14 492 10.56 497 10.69 510 11.04 514 11.14 518 11.17 533 11.32 543 11.39 553 11.45 559 11.48 567 11.54 577 11.69 593 11.91 595 12.06 598 12.10 600 12.17 602 12.28 时间单位:天

结果可知:水流传到终点需要12.28天。

解决问题二
有压管道非均流模型 我们可以知道, 在管道中的水流恒定的状态下,管道水流的截面积为一个圆 形管道的截面,即水是充满整个管道的。可以从下图得出,水力学中,这种状态 属于有压管道的状态。 而管道中的水流由一种恒定流过渡到另一种恒定流的过程是一个非恒流的 过程,因此我们使用有压管道的非恒流方程来求解。 我们作如下假设: (1)压力管道的管壁被看作是弹性的。由于弹性水击更能反映水击的实际 情况,因此我们忽略刚性水击而只考虑弹性水击。 (2)瞬变流的基本微分方程有运动方程和连续方程。 运动方程 从管道水体中选取控制体, 应用牛顿第二定律可以推导出有压管道非恒流的运动 方程。如下图:

有压管道运动方程控制体 在管道液体中选取长度为 dx 的微小控制体,x 轴取与恒定流时的水流一致的方 向,管轴线与水平线的夹角为 a,则作用于微小控制提上的力如下图所示,上下 游断面的水压力为 P1 , P2 ,控制体周界面上的阻力为 P ,侧水压力 P4 ,以及重 3 力 mg。若上游面的密度为 ? ,过水断面的面积为 A,湿周为 ? ,压强为 P,则下
?? ?? ?A ?P dx , A ? dx , ? ? dx 。 ,P? ?x ?x ?x ?x 则作用于微小控制体上的外力在 x 轴上的分力为【2】 : (1) 上下游断面的水压力之差。 ?P ?A P ? P2 ? PA ? ( P ? )( A ? ) 1 ?x ?x (2) 控制体周界面上的阻力(设控制体周边平均阻力为t )

游断面相应各量分别为 ? ?

(2-1)

?? )dx]cos ? (2-2) ?x 其中q 为控制体侧壁与管轴线的夹角,一般是很小的,可取 cos ? ? 1 . (3) 侧面水压力4 P 沿x轴的分量 ?P dx ?A (P ? ) dx (2-3) ?x 2 ?x (4) 重力分量 ?? dx ?A dx mg sin ? ? ( ? ? )( A ? )dx ? g sin ? (2-4) ?x 2 ?x 2 设控制体沿x轴方向的速度为v,则有压管道水体的加速度为 dv a? (2-5) dt 由牛顿第二定律可得, 作用与x轴方向的所有外力的合力等于控制体的质量与沿x 轴方向的加速的乘积,即: ?P dx ?A ( P ? P2 ) ? P3 cos ? ? ( P ? ) ? dx ? mg sin ? ? ma (2-6) 1 ?x 2 ?x 因为v是时间t和坐标x的函数,所以可以得到: dv ?v ?v ? ?v (2-7) dt ?t ?x ?Z 把式(2-1)、(2-2)、(2-3)、(2-4)、(2-7)代入式(2-6),并取 sin ? ? ? ?x 整理可得: P3 cos ? ? ?[? ( ? ?

1 ?P ?v ?v 1 ?Z ?? ? ?( ?v ) ? ? ?0 ? ?x ?t ?x g ?x ? A

(2-8)

因为测压管水头线 H ? Z ?

P

?

,而控制体周边平均阻力 ? 可由达西—魏斯巴赫

公式表示 ? ?

?f vv
8

,其中 f为恒定流时的沿程阻尼系数,可将式(2-8)化为

?H ?v ?v 1 f v v? ?( ?v ) ? ?0 ?x ?t ?x g 8gA
因为湿周 ? ?
A ,其中R为水力半径,将其代入式(2-9)可得: R

(2-9)

?H ?v ?v 1 f v v ?( ?v ) ? ?0 ?x ?t ?x g 8gR
此即有压管道非均流的运动方程。

(2-10)

连续方程 利用质量守恒原理可以直接推导出有压管流的非恒定流连续方程, 在管路中选取 两个非常接近的横截面作为控制体,两截面的间距为dx,如下图:

我们给出最终推导结果:

?H ?H a 2 ?v ?v ? ? v sin ? ? 0 ?t ?x g ?x
此即有压管道非均流过渡过程连续方程。 联立方程(2-10),(2-11),用特征线法求解,得到常微分方程组:

(2-11)

? dx ? dt ? v ? a ? c? ? ? 1 dH ? 1 dv ? f v v ? 0 ? a dt g dt 8 gR ? ? dx ? ?v?a ? ? dt c ? ?? 1 dH ? 1 dv ? f v v ? 1 v sin ? ? 0 ? a dt g dt 8 gR a ?

(2-12)

(2-13)

在给出该方程的初始条件和边界条件后,即可通过迭代法求解第一个问题。 我们的输水方案采取分两阶段输水,即先把流量从0.6m3 / s提升到一半即 2.9m3 / s,然后再提升另外一半至5.2m3 / s。 水头压力分布的计算如下: 首先我们假设有一种恒定流过渡到另一恒定流的过程中水头损失时局部水 头损失可以忽略不计。沿程水头压力分布计算如下:
? H 0 ? H x ? ix ? ? 10.67Q1.852 ?i ? C 1.852 D 4.87 h ?
(2-14)

其中 H 0 为入水口的水头压力, H x 为管道上任一点的水头压力,i为水力坡 度,x为管道上任一点距入水口的距离。

代入 Ch =150,D =2.2 化解并整理可以得到:

H x ? H0 ? 2.14 ?10?5 Q1.85 x
再分别计算Q=2.9和Q=5.2时的压力分布: Q=2.9时:H0= 325.6 此时式(2-15)化简为:

(2-15)

H x ? 325.6 ?1.534 ?10?4 x

(2-16)

Q=5.2时:H0= 381 此时式(2-15)化简为:

H x ? 381 ? 4.52 ?10?4 x

(2-17)

模型的评价
模型优点: 该问题是专业性很强的实际应用问题,构建模型时我们充分考虑了输 水的实际情况,由于输水管线较长,节点间距都是以千米度量,所以模型中计算

体积时直接利用管线截面积与管线长乘积来表示是合理的, 并且这样忽略弯头处 的体积也方便计算。 第一问, 下降阶段利用微分方程精确的描述了水流的运动过 程, 但是在建立方程的过程中遇到一些项比较复杂无法计算, 我们采用matlab 的 拟合工具箱,化简方程,从而很好的解决了问题。全文中有丰富的理论基础,并 配合大量的图像,从直观上和理论上给出了较为正确的结果。 模型不足:模型中实际考虑出的物理因素太少,与实际输水问题还有一定差距, 比如说我们没有考虑水库出水口的压力变化对出水口水压的影响; 还忽略了很多 实际的阻力因素, 考虑的仅仅是较为理想的输水管道问题,在一些专业的理论运 用上,该模型也显得较为理想化。模型中还采用了大量的近似计算,在输水管线 很长时这种近似还是可以接受的。

参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] 吴持恭.水力学.高等教育出版社.2008 张德丰.MATLAB程序设计与典型应用.北京:电子工业出版社,2009.6 曲世琳.长距离输水管线的非恒定流动分析.【J】中国给水排水,2005.12 杨敏等.有压管道充水过程数值模拟.【J】水利学报,2007年02期 穆祥鹏.长距离输水系统的过渡过程数值计算及水力特性研究.【J】天津大 学建筑工程学院,2004年12月 [6] 吴家鸣等,流体力学,【M】机械工业出版社,2005年11月

附录
第一问程序:
data1;data; p=data1(:,3); k=1;l=1;m=1;n=1; downnode=[]; upnode=[]; fengnode=[]; gunode=[]; downnode(l)=1; gutime=[]; fengtime=[]; l=l+1; s=zeros(1,602); %每次灌水的长度 t=zeros(1,602); %流经两个节点的时间 e=zeros(1,602); %各节点的局部阻力系数 v=zeros(1,602); %水进入各节点的速度 v1=zeros(1,602); %水流出各节点的速度 tt=zeros(1,602); %水流到各节点所需时间 w=zeros(1,5000); %水在两个节点之间的速度 node=[]; c=[0.003549 0.1 0.003549 0.2 0.0894 0.003549 0.000588 1.5 0.00833 0.5 0.06 0.1 1.0

0.1]; node(1)=1; global sina for i=2:602; %确定各点属性 if ((p(i)<=p(i-1))&&(p(i)<p(i+1))) fengnode(m)=i; m=m+1; end if ((p(i)>p(i-1))&&(p(i)>=p(i+1))) gunode(n)=i; n=n+1; end if p(i)<=p(i-1) downnode(l)=i; %下降节点 l=l+1; node(i)=1; end if p(i)>p(i-1) upnode(k)=i; %上升节点 node(i)=2; for j=i:-1:1 %求与该节点等高的前一个点到该节点的距离 h=abs(data1(j,3)-data1(j-1,3)); L=data1(j,2)-data1(j-1,2); if data1(j-1,3)>data1(i,3) h=abs(data1(j-2,3)-data1(j-1,3)); s(k)=sqrt(h^2+L^2)+s(k); %距离累和 renode(k)=j; %等高节点(近似) break; end s(k)=sqrt(h^2+L^2)+s(k); end k=k+1; end end k=1;l=1; for i=1:602 if(i==1) h=data(1,3)-data1(1,3); L=data(1,2)-data1(1,2); sina=h/sqrt(h^2+L^2); w(1)=1; for j=2:data1(i,2)-data(i,2) %划分两个节点间的距离 R=((34.4580*w(j-1)^2+61.2317*w(j-1)-6.3853)/(358.934*w(j-1)^2-29.8083*w(j-1)+2. 6058))^1.313; w(j)=w(j-1)+((sina-0.0012*w(j-1)^2/R)/(0.102*w(j-1))); t(i)=t(i)+1/w(j); end tt(i)=t(i); v1(i)=w(j); %w=w+dw 近似微分

v(i)=v1(i)*sqrt(1-e(i)); %局部阻力影响 else for j=1:14 if(data(i+1,5)==j) e(i)=c(j); if(e>=1) e=0.95; end break; end end if node(i)==1; %下降节点 h=data1(i,3)-data1(i-1,3); L=data1(i-1,2)-data1(i,2); sina=h/L; w(1)=v(i-1); for j=2:data1(i,2)-data1(i-1,2) R=((34.4580*w(j-1)^2+61.2317*w(j-1)-6.3853)/(358.934*w(j-1)^2-29.8083*w(j-1)+2. 6058))^1.313; w(j)=w(j-1)+((sina-0.0012*w(j-1)^2/R)/(0.102*w(j-1))); t(i)=t(i)+1/w(j); end tt(i)=tt(i-1)+t(i); v1(i)=w(j); v(i)=v1(i)*sqrt(1-e(i)); %局部阻力影响 end if node(i)==2 %上升节点时间计算 v(i)=0.158/2; %上升节点处流速 0.158 t(i)=s(k)*6.33; tt(i)=tt(renode(k))+t(i); k=k+1; end end end for j=m-1:-1:1 fengtime(j)=tt(fengnode(j)); end for j=n-1:-1:1 gutime(j)=tt(gunode(j)); end day1=tt(602)/(24*3600);


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