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甘肃省会宁县第一中学2016届高三上学期第四次月考数学(文)试题


会宁一中 2016 届高三年级第四次月考 数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? ? x y ? lg x? ,则 M ? N 为 A. (0,+ ? ) B. (1,+ ? )

C. [2,+ ? )

?

?

(

)

D.[1,+ ? ) )

2.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积为( A. 4 3 3 B. 4 3 C.8 D.12

3.

? ? ? 2 2 ? 若 非 零 向 量 a, b 满 足 a ? b , 且 3 ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 ( )

A.

? 4

B.

? 2


C.

3? 4

D.

?

4、下列说法中,正确的是(

2 2 A.命题“若 a ? b ,则 am ? bm ”的否命题是假命题

B.设 ? , ? 为两不同平面,直线 l ? ? ,则“ l ? ? ”是 “ ? ? ? ” 成立的充分不必要条 件
2 2 C.命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R, x ? x ? 0 ”

D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 5.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为( A.0 6.设 a ? 2
?0.5

) D.3 )

B.1
?

C.2

, b ? log 2015 2016 , c ? sin 1830 , 则 a, b, c 的大小关系是(

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? c ? a
·1·

D. b ? a ? c

7. 如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 图象的最高点, M 、 N 是图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 等于( ? A. 8 B. 8 C. ?
4
???? ? ????

)

D. ? 2

8.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,有以下四个命题: ① α∥ β ? ??β∥γ α∥ γ ? ④ m∥n? ??m∥α n? α ? ② α⊥ β ? ??m⊥β m∥α? ③ m⊥α? ??α⊥β m∥β ? )

其中正确的命题是(

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 9. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算 经》卷上第 22 题为: “今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织 相同量的布) ,第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布” ,则从第 2 天 起每天比前一天多织( )尺布. A. B. C. D.

10.已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f (a) ? f (b) ,则 A. 5 B. 2 3 C. 2 ? 3 D. 2 2

a 2 ? b2 的最小值等于( a ?b

).

n +1 11. 已知函数 f n ( x)=x ,n∈N*的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与

x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +?+ log 2013 x2012 的值为(
A.-1 B. 1-log20132012
2 2



C.-log20132012

D.1

12. 已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? (? ? , ? ) 满足 f ?( x) cos x ? f ( x) sin x ? 0 (其中 f ?( x) 是函数
f ( x) 的导函数),则下列不等式成立的是

(
?

)
?

A.

2 f (? ) ? f (? ) 3 4 3

?

?

C. f (0) ? 2 f ( ? )

2f( )? f( ) 3 4 ? D. f (0) ? 2 f ( ) 4

B.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须
·2·

做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 1 13. 已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的 3 结论是_______________________________________________

? x ? y ? 1 ≤ 0, y ? 14.若实数 x,y 满足 ? x ? 0, 则 的取值范围是 x ?y ≤2 ?

.

15.设三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面, AB ? AC ? 2, ?BAC ? 90?, AA1 ? 2 2 , 且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是 16.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连 接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,?, 如此继续,若共得到 1023 个正方形,设初始正方形的边长为 .

2 ,则最小正方形的边长为 2

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos A ? 2 5 , AB ? AC ? 3.
2 5

(1)求△ABC 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 a 的值.

18. (本小题满分 12 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an ,n∈N .设 Sn 为数列{bn}的前

*

n 项和,已知 b1≠0,2bn–b1=S1Sn,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=bnlog3an,求数列{cn}的前 n 项和 Tn;

19. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1 ⊥底面 ABC,AB=2,AA1=4,E 为 AA1 的中点,F 为 BC 中点. (1)求证:直线 AF∥平面 BEC1; (2)求点 C 到平面 BEC1 的距离.

·3·

a? ? 20.(本小题满分 12 分)设命题 P : 函数 f ? x ? ? lg? ax 2 ? x ? ? 的值域为 R ;命题 q : 不等 16 ? ?
x x 式 3 ? 9 ? a 对一切 x ? R 均成立.如果命题“ p ? q ”为真命题,且“ p ? q ”为假命题,

求实数 a 的取值范围.
1 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x, (a ? R) . 2 1 (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间 [ , e] 上的最大值; e

(2)若在区间(1, +∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求

a 的取值范围.
四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. C 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的切 线 EP 交 CB 的延长线于 P ,已知 ?EAD ? ?PCA . 证明: (1) AD ? AB ; (2) DA ? DC ? BP .
2

D E

?O

B P

A

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲
1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ? 线 C1 方程为 ? ? 2sin ? . C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ?y ? 3 t ? ? 2

(1)写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (2)设点 P 为曲线 C1 上的任意一点,求点 P 到曲线 C2 距离的取值范围.

·4·

24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 [0, 4] . (1)求 m 的值; (2)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a 2 ? b 2 的最小值.

·5·

高三年级第四次月考数学参考答案(文)
一、BCABC 二、13.答案 14. DCCDD AA 1 4 正四面体的内切球的半径是其高的 15. 16? 16.
1 32

? ∞? 答案 ? 2,

三、

17. (1)解:因为 cos

A 2 5 A 3 ? ,所以 cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? , 2 2 2 5

??? ? ???? 4 .又由 AB · AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3 ,所以 bc ? 5 . 5 1 因此 S△ ABC ? bc sin A ? 2 . 2 (2)解:由(1)知 bc ? 5 .又 c ? 1 ,所以 b ? 5 .

sin A ?

由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,所以 a ? 2 5 .??????12 分 18、 解: (1)∵an+1=3an,∴{an}是公比为 3,首项 a1=1 的等比数列,

∴通项公式为 an=3n–1. ??????2 分 ∵2bn–b1=S1?Sn,∴当 n=1 时,2b1–b1=S1?S1, ∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1. ∴当 n>1 时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1, ∴{bn}是公比为 2,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 bn=2n–1. ????6 分 n–1 n–1 n–1 (2)cn=bn?log3an=2 log33 =(n–1)2 , Tn=0?20+1?21+2?22+?+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ① 1 2 3 n–1 2Tn= 0?2 +1?2 +2?2 +??+(n–2)2 +(n–1) 2n ② ①–②得:–Tn=0?20+21+22+23+??+2n–1–(n–1)2n =2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n ∴Tn=(n–2)2n+2. ????12 分 19、 解: (1)证明:取 BC1 的中点为 R,连接 RE,RF,

则 RF∥CC1,AE∥CC1,且 AE=RF, 所以四边形 AFRE 为平行四边形, 则 AF∥RE,即 AF∥平面 REC1.? (2)由等体积法得 = = = = = =4, AF= , , ,EC1=2 =
·6·

,BE=2

,BC1= ,



则 . 得

, .

20.试题解析: (1)若命题 p 是真命题,则有①当 a ? 0 时,符合题意;
?a ? 0 ?a ? 0 ? ②由 ? ,得 ? ,? 0 ? a ? 2 a ? 2 ? a ? 2 1 ? 4 a ? ? 0 ? ? 16 ?

因此所求实数 a 的取值范围 0 ? a ? 2
x x x ( 2) 命题 q 是真命题, 不等式 3 ? 9 ? a 对一切 x ? R 均成立,令 t ? 3 ,y ? t ? t 2 ,t ? 0 ,

当t ?

1 1 1 1 1 , ymax ? ? ? ,? a ? 2 2 4 4 4

若命题“ p ? q ”为真命题,且“ p ? q ”为假命题,则 p, q 一真一假
?0 ? a ? 2 1 ? ①若 p 真 q 假,则 ? ,得 0 ? a ? 1 4 a? ? 4 ? ?a ? 0或a ? 2 ? ②若 p 假 q 真,则 ? ,得 a ? 2 1 a ? ? 4 ?

综上,实数 a 的取值范围 0 ? a ? 21.

1 a?2 或 . 4 1 解: (1)当 a ? 0 时 f ( x) ? ? x 2 ? ln x 2 ?( x ? 1)( x ? 1) ?????1 分 f ?( x) ? ( x ? 0) x 1 当 x ? [ ,1) ,有 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, e] ,有 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在区间 e 1 ????? 3 分 [ ,1) 上是增函数,在 (1, e] 上为减函数, e 1 又 f max ( x) ? f (1) ? ? . ?????4 分 2 1 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为 (0, ??) 2

在区间 (1, ??) 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方
·7·

等价于 g ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立.
g ?( x) ?

???5 分

( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ① x 1 1 ①若 a ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1, x2 ? 2 2a ? 1 1 当 x1 ? x2 , 即 ? a ? 1 时, 在 (0 , 1)上有 g ?( x) ? 0 , 在 (1, x2 ) 上有 2

g ?( x) ? 0 ,

在 ( x2 , ??) 上有 g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间 ( x2 , ??) 上是增函数, 并且在该区间上有
g ( x) ? ( g ( x2 ), ??)

不合题意;

当 x2 ? x1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间 (1, ??) 上,有
g ( x) ? ( g (1), ??) ,也不合题意;

????????8 分

② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1, ??) 上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间 (1, ??) 上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ? ? 0 ? a ? ?
1 1 由此求得 a 的范围是 [? , ] 。 ????11 分 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ? [? , ] 时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 2 2 ?????12 分
1 2 1 2



方. 22.

解: (Ⅰ)∵ EP 与⊙ O 相切于点 A , ∴ ?EAD ? ?DCA . ??2 分 又 ?EAD ? ?PCA , ∴ ?DCA ? ?PCA , ∴ AD ? AB . ??????????5 分 (Ⅱ)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O , ∴ ?D ? ?PBA , ???????????6 分 又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB , ∴ ?ADC ∽ ?PBA . DA DC DA DC ∴ ,即 , ? ? BP BA BP DA ∴ DA2 ? DC ? BP . ??10 分
2

23. 解: (I) C1 的直角坐标方程: x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ,
·8·

C2 的普通方程: 3 x ? y ? 3 ? 0 .

??????4 分

(II)由(I)知, C1 为以 ? 0,1? 为圆心, r ? 1 为半径的圆,

C1 的圆心 ? 0,1? 到 C2 的距离为 d ?

?1 ? 3 3 ?1

?

3 ?1 ? 1 ,则 C1 与 C2 相交, 2

P 到曲线 C2 距离最小值为 0,最大值为 d ? r ?

3 ?1 , 2
????10 分

? 3 ? 1? 则点 P 到曲线 C2 距离的取值范围为 ?0, ?. 2 ? ?
24.解: (Ⅰ)不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,

????2 分

?3 ? m ? 0 ∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? , m ? 3 . ??5 分 ?m ? 1 ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? b 2 ) ? 2(a 2 ? b 2 ) ,
9 3 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, 2 2 9 a 2 ? b 2 取最小值为 .?????10 分 2 . (方法二:利用柯西不等式)

∴ a 2 ? b2 ?

∵ (a 2 ? b 2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1) 2 ? (a ? b) 2 ? 9 ,
9 3 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, 2 2 9 a 2 ? b 2 取最小值为 .?????10 分 2

∴ a 2 ? b2 ?

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·9·


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