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第五讲 直线与圆的位置关系


第五讲
【考纲要求】: 1.能判断直线与圆的位置关系.

直线与圆的位置关系

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题. 【要点整合】:
1.基本概念:

直线 l:Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系: (1)几何

方法:圆心(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

d<r?直线与圆相交;d=r?直线与圆相切;d>r?直线与圆相离.
? ? Ax ? By ? C ? 0 (2)代数方法: ? 2 2 2 ? ?? x ? a? ? ? y ? b? ? r

消元得到的一元二次方程,它的判别式

为Δ ,则Δ >0?直线与圆相交;Δ =0?直线与圆相切;Δ <0?直线与圆相离. 2.基本性质: (含定理和公式) 圆的切线 (1)求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率 k,再 由垂直关系知切线斜率为-
1 ,由点斜式方程可求得切线方程.如果 k=0 或 k k

不存在,则可直接得切线方程为 x=x0 或 y=y0. 经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条; (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: ①几何方法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y-kx0+y0=0.由圆心到直 线的距离等于半径,可求得 k. ②代数方法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆的方程, 得到一个关于 x 的一元二次方程,由Δ =0,可求得 k. 经过圆外一点 P(x0,y0)的圆的切线有两条 (3)从圆外一点 P(x1,y1)引到圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的切线,则点 P 到切点的 切线长 d ? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F .
3.基本方法:

直线被圆截得的弦长: (1)几何方法:运用弦心距 d、半径 r 及弦的一半构成直角三角形,计算弦长
AB ? 2 ? r 2 ? d 2 .

(4)代数方法:运用韦达定理求弦长 AB ? 1 ? k 2 ? 4.易错警示:

?xA ? xB ?

2

? 4 xA ? xB

(1)讨论直线与圆相切、相交的问题时,大多数运用几何方法,即用圆心到直线 的距离和半径讨论,而用判别式法计算量大,且易出错. (2)点在圆外时,过该点的圆的切线有两条,因此用点斜式或斜截式直线方程求 切线时,若仅有一解,应添上垂直于 x 轴的那一条. (3)用几何法解有关问题时应注意多个答案的情况,防止漏解. 【例题精析】: 考点 1:直线与圆的位置关系. 例 1: ( 06 湖南)若圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线
l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(



? ? A. [ , ] 12 4
2

B. [

, ] 12 12
2

? 5?

? ? C. [ , ] 6 3

? D. [0, ] 2

解:圆方程化为: ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 18 ,直线可设为 l: y=kx,由题意圆心 P(2,2) 到 l 的距离 d ? 2, ?有

2k ? 2 k 2 ?1

? 2 ? 2 ? 3 ? k ? 2 ? 3 ,故选 B.

点评:直线与圆位置关系的判断是解本题的关键.
x y 变式 1:(08 全国一)若直线 ? ? 1 通过点 M (cos ?, ) sin ? ) ,则( a b 1 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 D. 2 ? 2 ≥ 1 a b a b

考点 2:圆和直线相切、轨迹 例 2: 已知圆的方程是 x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中 a≠1,且 a∈R. (1)求证:a 取不为 1 的实数时,上述圆恒过定点; (2)当 a∈R 且 a≠1 时,求与所有的圆都相切的直线方程. (3)求圆心的轨迹方程.

(1)证明:将方程 x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0 整理得 x2+y2-4y+2-a(2x -2y)=0.
2 2 ?x +y -4y+2=0 ?x=1 令? ,解之得? . ?2x-2y=0 ?y=1

?x=1 将? 代入圆方程的左边,得 1+1-2a+2(a-2)+2=0=右边, ?y=1 ∴定点为(1,1). (2)解一:已知圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为 2|a-1|. 设所求切线方程为 y=kx+b, 则圆心到直线的距离应等于圆的半径, 即 |ka-(2-a)+b| = 2|a-1|恒成立. k2+1

整理得 2(1+ k2)a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b- 2)2 恒成立. (k+1) ?2(1+k )= 2 比较系数可得?-4(1+k )=2(b-2)(k+1) ?2(1+k2)=(b-2)2 解之得 k=1,b=0. 所以,所求的切线方程是 y=x. 解二:∵已知圆为 ? x ? a ? ? ? ? y ? ? 2 ? a ?? ? ? 2 ? a ? 1?
2 2 2

2

2



∴圆心

? x0 , y0 ? 满足 ? y0 ? 2 ? a ? a ? 1?
?
0

?x ? a

即 y0 ? ? x0 ? 2 为圆心轨迹方程,其经过定点(1,1) ∴公切线为过点(1,1)且垂直于 y ? ? x ? 2 的直线,即 y ? x ?x=a (3) 设圆心坐标为(x,y),又圆心坐标为(a,2-a) ,a≠1,则有? , ?y=2-a 消去参数 a 得 x+y=2(x≠1)为所求圆心的轨迹方程.
点评: (1)证明曲线过定点问题, 一般先关于参数整理,求出定点坐标,再代回原方程验证; (2) 求与所有圆都相切的直线方程时, 所满足的条件应对任意

参数恒成立; (3)求轨迹消参后,要注意轨迹的纯粹性。 (4)与圆有关的问题运用几何法往 往比较简捷。

变式 2: (05 江苏卷) 如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4, 过动点 P 分别作圆 O1、 圆 O2 的切线 PM、 PN (M、 N 分别为切点) , 使得 PM ? 2PN , 试建立适当的坐标系, 求动点 P 的轨迹方程. 考点 3:圆和直线相切的应用 例 3: (08 年浙江大学自主招生)
5? ? 2 2 A ? ??x, y ? | ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? ?, B ? ??x, y ? | x ? 1 ? 2 y ? 2 ? a?, A ? B ,求 a 的取值 4? ?
范围。

解:注意到问题的结构特点,可先换元化简,令 X=x-1,Y=y-2,则问题等价转化
为:
5? ? A1 ? ?? X , Y ? | X 2 ? Y 2 ? ?, B1 ? ??x, y ? | X ? 2 Y ? a?, A1 ? B1 ,求 a 的取值范围。 4? ?

因为 A1、B1 关于 x 轴、y 轴、原点对称,所以只要考虑第一象限的情况。由数 形结合得,a 越大,越容易满足要求,故最小的正数 a 恰好是二者相切的情形, 此时,圆心 O(0,0)到直线 X+2Y=a 的距离等于半径,即 d ? 最小正数 a=
5 5 ,所以 a 的取值范围是 a ? 2 2

?a 1? 2
2

?

5 ,所以 2

点评:此题利用数形结合的思想,通过换元,直观地看清集合间的关系,从而转 化为直线与圆的位置关系,使问题迎刃而解. 变 式 3 : 若 不 等 式 9 ? x2 ? k ( x ? 2) ? 2 的 解 集 为 区 间 ? a, b? , 且 b ? a ? 2 , 则

k?



考点 4:直线与圆综合 例 4: (07 广东)在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O,椭圆 点的距离之和为 10。
x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦 a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离 等于线段 OF 的长,若存在求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解析: (1)由题意可求得圆心 C 为(-2,2) ,∴圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ; (2)由条件可知 a=5,椭圆
x2 y 2 ,若存在,则 F 在 OQ 的中 ? ? 1 ,∴F(4,0) 25 9

垂线上,又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;
?y ?x ?3 1 直线 CF 的方程为 y= ? ( x ? 4) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,设 Q(x,y) ,则 ? , ? 3 ? x ? 3y ? 4 ? 0 ? ?2 2 4 ? x? ? ? 5 解得 ? ? y ? 12 ? 5 ?

所以存在,Q 的坐标为 ( , )

4 12 5 5

点评:本题是椭圆、圆和直线的综合题,第(1)问用待定系数法,第(2)问是开 放题。一般求解方法是假设命题成立,然后如求出符合条件的结论,则存在;如 求不出,则不存在。 变式 4: (09 江苏)在平面直角坐标系 xoy 中, 已 知 圆

C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4





C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .

(1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长 为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的 无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 , 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标。
………………………………

【同步练习】: 1.(08 安徽卷) .若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点,则直线
l 的斜率的取值范围为(

) C. [?

A. [? 3, 3]

B. (? 3, 3)

3 3 , ] 3 3

D. (?

3 3 , ) 3 3

2.(08 陕西卷)直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于 ( ) B. ? 3 或 3 3 C. ?3 3 或 3 D. ?3 3 或 3 3
( )

A. 3 或 ? 3

3.(99 年)直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

4.(09 上海)过圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半 轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足

S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有(
(A) 0 条 (B) 1 条

) (D) 3 条

(C) 2 条

5.已知直线 ax+by-1=0(a, b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公共点, 且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 ( A.66 条 B.72 条 C.74 条 D.78 条 )

6.(09· 浙江)已知三角形的三边长分别为 3,4,5, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( ) A.3 B.4 C.5 D .6

7.(08 天津卷 15)已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线
3x ? 4 y ? 11 ? 0 与 圆 C 相 交 于 A, B 两 点 , 且 AB ? 6 , 则 圆 C 的 方 程 为

__________________. 8.(08 四川卷 14)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上
2 2

各点到 l 的距离的最小值为_______。
9. (07 山东理 15)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的

半径最小的圆的标准方程是



10.(05 湖南)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: x2+y2=1 相交于 A、 B 两点, 且|AB| = 3 ,则 OA ? OB = .

11.已知圆 x2+y2=a2(a>0)与直线 y=bx 的交点是 M(c,4),过此交点的圆的切线是 3x+dy=25,则 a,b,c,d 的值分别为 。

12.已知直线 l:x+y-9=0 和圆 M:2 x2+2y2-8x-8y+1=0,点 A 在直线 l 上,B、C 为 圆 M 上两点,在Δ ABC 中,∠BAC=45°,AB 过圆心 M,则点 A 的横坐标的范围 为 。

13. (07 江西理)设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . D.所有的圆均不 经过原点 . 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) 14.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

15.已知圆 C:x2 +y2 -2x-2y+1=0,直线 l:y=kx,直线 l 与圆 C 相交于 P、 Q 两点, 点M (0,b)满足 MP⊥MQ. (I)当 b=1 时,求 k 的值; (II)若 k>3,求 b 的取值范围。
16.已知以点 C ?t , ? ?t ? R, t ? 0? 为圆心的圆与 x 轴交与点 O、A,与 y 轴交与点 O、B, 其中 O 为原点。 (I)求证:△AOB 的面积为定值; (II)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交与点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程; (III) 在 (II) 的条件下, 设 P、 Q 分别是直线 l: x+y+2=0 和圆 C 上的动点, 求|PB|+|PQ|

? 2? ? t?

的最小值及此时点 P 的坐标。 【变式和练习的答案】: 变式 1:D
x y 解一:由直线 + =1通过点M( cos ? ,sin ? ),而M点的轨迹为单位圆,所以说直 a b -1 1 1 线与单位圆有公共点,即直线与圆相切或相交。∴d= ? 1,∴ 2 + 2 ? 1 a b 1 1 + 2 2 a b ∴答案为D

解二:由题意

cos ? sin ? + =1 ? b cos ? ? a sin ? =ab a b ab a +b
2 2

? sin ?? ? ? ? ? ∴答案为D

?1?

1 1 + ?1 a 2 b2

变式 2:解:如图,以直线 O1O2 为 x 轴,线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴,建立平 面 直 角 坐 标 系 , 则 两 圆 心 分 别 为 O1 (?2,0), O2 (2,0) . 设 P( x, y ) ,则
2 PM 2 ? O1P 2? O1M ? ( x ? 2) ? 2y ? 12







y

P

P

2

? N(

.2 y ? 1 ?2 x2 ) ?
M

∵ PM ? 2PN , ∴ ( x ? 2)2 ? y2 ? 1 ? 2[( x ? 2)2 ? y 2 ? 1] , 即 x2 ? 12x ? y 2 ? 3 ? 0 ,即 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 33 . 这就是动点 P 的轨迹方程.

N

O1

O

O2

x

变式 3:提示:由数形结合,直线 y=k(x+2)- 2 与上半圆 x2+y2=9(y≥0)交与 点(1,2 2 ) ,即有 2 2 =k(1+2)- 2 ,解得 k= 2 . 变式 4: 解:(1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:
| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24
2 3 2 ) ? 1, 2

? 1, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

化简得: 24k 2 ? 7k ? 0, k ? 0或k ? ? ∴直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:
1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k

因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 两圆半径相等。 由垂径定理,得圆心 C1 到直线 l1 与 C2 到直线 l2 的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |
k 2 ?1 4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5

5 3 ? ? m? m?? ? ?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ? ? ? 2 2 ,或 ? ?? 或? 关于 k 的方程有无穷多解,有: ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0 ?n ? ? 1 ?n ? 13 ? ? ? 2 ? 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∴所有满足条件的点 P 的坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。
2 2
2 2

练习: 1.C 2.C 3.C 4.B 5. B 解:因为在圆 x2+y2=50 上, 横坐标、 纵坐标都为整数的点一共有 12 个, 即: (1,± 7),(5,± 5),(7,± 1),(-1,± 7),(-5,± 5),(-7,± 1),经过其中任意 1 两点的割线有2×(12×11)=66 条,过每一点的切线共有 12 条,可知与该圆有公 共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有 66+12=78 条,而方程 ax +by-1=0 表示的直线不过原点,上述 78 条直线中过原点的直线有 6 条,故符 合条件的直线共有 78-6=72 条.故选 B. 6. B
3+4-5 解: 边长为 3,4,5 的三角形内切圆半径为 r= =1.而半径为 1 的圆的圆心在圆心 2 与三角形任一顶点连线段上移动时,都可能产生 4 个交点,故选 B.

7. x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 8.

2

9. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 10. (-1/2) 11. (a=5,b=4/3,c=3,d=4;或 a=20/3,b=3/4,c=16/3,d=9/4;) 12.
9- 5 9+ 5 ?a? 2 2

解:设 A(a,9-a),则圆心 M(2,2)到直线 AC 的距离 d=|AM|sin45°= 由于直线 AC 与圆 M 相交, 所以 d ? r ? 13. B,D 14.解: 假设存在,且令 l 为 y=x+m
圆 C 化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心 C(1,-2)

2 |AM|. 2

34 9- 5 9+ 5 2 2 ,? AM ? 15,即 ? a ? 2 ? ? ? 7 ? a ? ? 15 ? ?a? . 2 2 2

m+1 m-1 则 AB 的中点 N 是两直线 x-y+m=0 与 y+2=-(x-1)的交点,即 N(- , ) 2 2 以 AB 为直径的圆过原点,∴|AN|=|ON| |1+2+m| 又∵CN⊥AB,|CN|= 2 ∴|AN|= CA2-CN2= 又|ON|= (- 9- (3+m)2 2

m+1 2 m-1 2 ) +( ) 2 2

由|AN|=|ON|得 m=1 或 m=-4 ∴存在直线 l 方程为 x-y+1=0 和 x-y-4=0. [点评] 设 l:y=x+m 与圆方程联立, 其根为 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标, 由条件 OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,可求 m=1 或-4.

15. 解: (I) 因为圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1,所以当 b=1 时, 点 M 在圆上, 又 MP⊥MQ, 所以圆心(1,1)在直线 l 上,故 k=1; (II)将 y=kx 代入 x2 +y2 -2x-2y+1=0,消去 y 可得(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0. 设点 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 x1 ? x2 ?
2 ?1 ? k ? 1 , x1 x2 ? 2 1? k 1? k 2.

???? ???? ? ? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0,即x1 x2 ? ? y1 ? b?? y2 ? b? ? 0, 又y1 ? kx1 , y2 ? kx2 , ? x1 x2 ? ?kx1 ? b??kx2 ? b? ? 0,即?1 ? k 2 ? x1 x2 ? kb ?x1 ? x2 ? ? b 2 ? 0, ? ?1 ? k 2 ? ? 2 ?1 ? k ? 2 1 ? kb ? ? b ? 0,当b ? 0时,此式不成立, 2 1? k 1? k 2 2 ?k ? 1? 1 2k 2 ? 2k 从而有b+ ? ? 2? . 2 2 b 1? k ?k ? 1? ? 2 ?k ? 1? ? 2

1 2 又 ? k ? 3, 令t ? k ? 1 ? 2,? b+ ? 2 ? . 2 b t? ?2 t 2 令函数g ?t? ? t ? ? 2,在(2,+?)为增函数, t 1 12 6 ? 11 6 ? 11 ? g ?t? ? 5, 从而2 ? b ? ? , 解此不等式得 ? b ? 1或1 ? b ? . b 5 5 5

2? 4 ? 16. 提示: (I)由题设知,圆 C 方程为 ?x ? t? ? ? y ? ? ? t 2 ? 2 , t? t ?
2

2

化 简 得 x ? 2tx ? y ?
2 2

4y ? 0. 当 y=0 时 , x=0 或 2t, 则 A(2t,0); 当 x=0 时 , y=0 或 t

4 1 1 4 ? 4? , 则B ?0, ? ,? S?AOB ? OA ? OB ? 2t ? ? 4 为定值。 t 2 2 t ? t?
(II)因为|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN.

2 2 1 所以 C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 k ? t ? 2 ? ,? t ? 2或 ? 2. t t 2
所以圆 C 的方程为 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 5 或 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 5
2 2 2 2

由于当圆方程为 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 5 时, 直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时
2 2

不满足直线和圆相交,故舍去。 所以圆 C 的方程为 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 5 .
2 2

( III ) 点 B(0,2) 关 于 直 线 x+y+2=0 的 对 称 点 为 B’(-4,-2), 则

PB ? PQ ? PB' ? PQ ? B'Q , 又
B'C -r ?

B’ 到 圆 上 点

Q

的 最 短 距 离 为

??6?

2

? 32 ? 5 ? 3 5 ? 5 ? 2 5.

所以|PB|+|PQ|的最小值为 2 5 , 直线 B’C 的方程为 y=x/2,则直线 x+y+2=0 的交点
? 4 2? P 的坐标为 ? ? , ? ? . ? 3 3?


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“等腰”三角形 三 球面三角形的周长 四 球面三角形的内角和 第五讲 球面...直线与圆的位置关系 圆周角定理 圆内接四边形的性质与判定定理 圆的切线的性质...


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第五讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 第六讲 命题点 1 命题点 2 命题点...直线的位置关系 距离和角 对称问题 简单的线性规划 简单的线性规划 圆 圆的...


2014年教案——第十三章 平面解析几何初步

第十三章 平面解析几何初步第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第一节 ...直线与圆的位置关系的判断及其综合运 用.难点是用待定系数法求圆的方程、直线...


新课标人教A版高中数学教材目录

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北京市高中数学教材及考试教材内容目录

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湖南新人教A版高中数学教材目录汇编

阅读与思考 4.2 4.3 直线圆的位置关系 空间直角坐标系 用《几何画板》探究点...第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 ...

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