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山东省泰安市2013届高三数学第一轮复习质量检测试题 文(泰安市一模,含解析)新人教A版


泰安市高三第一轮复习质量检测 数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? ? ? 1,1? , B ? ? x 1 ? 2 ? 4 ? ,则 A ? B 等于
x

A. ? ? 1, 0 ,1? 【答案】B

r />B. ?1?

C. ? ? 1,1?

D. ? 0,1?

【解析】 B ? ? x 1 ? 2 ? 4 ? ? { x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {1} ,选 B.
x

2.复数 A. 5

3i ? 1 1? i

(i 为虚数单位)的模是 B. 2 2 C.5 D.8

【答案】A 【解析】
3i ? 1 1? i ? (3 i ? 1)(1 ? i ) (1 ? i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 2 ? 1 ? 2 i ,所以
3i ? 1 1? i ? 1 ? 2i ? 5 ,选 A.

3.下列命题中,是真命题的是 A. ? x 0 ? R , e
x0

? 0
a b ? ?1

B. ? x ? R , 2 ? x
x

2

C. a ? b ? 0 的充要条件是 【答案】D

D. a ? ? ? b ? 1 是 a b ? 1 的充分条件

【解析】A 因为 e ? 0 ,所以 A 错误。B 当 x ? ? 1 时, 2
x

?1

?

1 2

, ( ? 1) ? 1 ,所以 B 错误。C 当
2

a ? b ? 0 时,

a b

? ? 1 不成立,所以 C 错误,选 D.

4.从 ?1, 2 , 3, 4 , 5 ? 中随机选取一个数为 a 从 ? 2 , 3, 4 ? 中随机选取一个数 b,则 b ? a 的概率是 A.
4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【答案】C 【 解 析 】 从 两 个 集 合 中 各 选 1 个 数 有 15 种 , 满 足 b ? a 的 数 有 ,
(1, 2 ), (1, 3), ( 2, 3), (1, 4 ), ( 2, 4 ), (3, 4 ) 共有 6 个,所以 b ? a 的概率是

6 15

?

2 5

,选 C.

-1-

5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是 A.4 C.6 【答案】B B.5 D.7
16 2 8 2

【解析】第一次 n ? 3 ? 5 ? 1 ? 1 6, k ? 1 ;第二次 n ? 第四次 n ?
?
4 4 2 ? 2 , k ? 4 ;第五次 n ? 2 2

? 8, k ? 2 ;第三次 n ?

? 4, k ? 3 ;

? 1, k ? 5 此时满足条件输出 k ? 5 ,选 B.
? 3? ? ? x?是 ? 4 ?

6.当 x ?

时,函数 f ? x ? ? A sin ? x ? ? ? ? A ? 0 ? 取得最小值,则函数 y ? f ?
?? ? , 0 ? 对称 ? 2 ?

A.奇函数且图像关于点 ?

B.偶函数且图像关于点 ? ? , 0 ? 对称 C.奇函数且图像关于直线 x ?
??

?
2

对称

D.偶函数且图像关于点 ? 【答案】C 【 解 析 】 当 x?
?
4 ?? ? ?

? , 0 ? 对称 ? 2 ?

?
4

时 , 函 数 f ? x ? ? A sin ? x ? ? ? ? A ? 0 ? 取 得 最 小 值 , 即 , 即
? ? ?
3? 4 ? 2k? , k ? Z

?
2

? 2k? , k ? Z







-2-

f

?x? ?

A s in ( x ?

3? 4

) ? A ? 0 ? ,所以 y ? f (

3? 4

? x ) ? A s in (

3? 4

? x?

3? 4

) ? ? A s in x ,

所以函数为奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称,选 C.
3 2

7.在 ? A B C 中 , ? A = 6 0 , A B ? 2 ,且 ? A B C 的面积为

?

,则 BC 的长为

A. 3 【答案】A

B.3

C. 7

D.7

【 解 析 】 S ?

1 2

? A B ? A C sin 6 0 ?

?

1 2

?2?

3 2

AC ?

3 2

, 所 以 AC ? 1 , 所 以

BC

2

? A B ? A C ? 2 A B ? A C co s 6 0 ? 3 ,,所以 B C ?
2 2

?

3 ,选 A.

8.已知 a ? 1, b ? 6 , a ? ? b ? a ? ? 2 则向量 a与 b 的夹角为 A.
?
2

?

?

?

?

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
6

【答案】B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 a ?b 3 1 ? 【解析】 a ? ( b ? a ) ? a ? b ? a ? 2 ,所以 a ? b ? 3 ,所以 c o s ? a , b ? ? ? ? ? ,所 1? 6 2 a b

以? a, b ??

? ?

?
3

,选 B.

9.若 a , b ? R , 且 a b ? 0, 则下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2 a b 【答案】C 【解析】因为 a b ? 0 ,所以
3

B.

1 a

?

1 b

?

2 ab

C.

b a

?

a b

? 2 D. a ? b ? 2 a b
2 2

b a

? 0,

a b

? 0 ,即

b a

?

a b

? 2

b a ? ? 2 ,所以选 C. a b

10.设函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1 、x2、x3,且 x1 ? x 2 ? x 3 , 则下列结论 正确的是 A. x1 ? ? 1 【答案】D 【解析】∵函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? ,
3

B. x 2 ? 0

C. x 3 ? 2

D. 0 ? x 2 ? 1

∴f′(x)=3x ﹣4.令 f′(x)=0,得 x=±

2



-3-

∵当 x ? ?

2 3 3

时 , f ' (x )? 0; 在 ( ?

2 3

3

,

2 3

3

) 上 , f '( x ) ? 0 ; 在 (

2 3 3

, ?? ) 上,

f ' (x )? 0. 故函数在 ( ? ? , ?

2 3 3

)) 上是增函数, ( ? 在

2 3 2 3 2 3 , ) 上是减函数, ( , ?? ) 在 3 3 3

上是增函数.故 f ( ?

2 3 3

) 是极大值, f (

2 3 3

) 是极小值.再由 f (x)的三个零点为 x1,x2,

x3,且 x1 ? x 2 ? x 3 , 得 x1<﹣ 根据 f(0)=a>0,且 f( ∴0<x2<1.选 D.

,﹣ )=a﹣

<x2 <0,得

,x3>



>x2>0.

11.直线 x ? ? a ? 1 ? y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是
2

A. ? 0 ,
?

?

? ?
4? ?

B. [

3? 4

,? )

C. ? 0 ,
?

?

? ?

? 4?

?? ? ? ? ,? ? ? 2 ?

D. ?

?? ?4

,

? ?

? 3? ? ,? ? ?? ? 2 ? ? 4 ?

【答案】B 【解析】直线的斜截式方程为 y ? ?
t a n? ? ?
[ 3? 4

1 a ?1
2

x?

1 a ?1
2

,所以斜率为 k ? ?

1 a ?1
2

,即

1 a ?1
2

, 所 以 ? 1 ? t a n? ? 0, 解 得

3? 4

? ? ? ? , 即倾 斜角 的 取值 范 围是

, ? ) ,选 B.
2

12.设奇函数 f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数,且 f ? ? 1 ? ? ? 1 ,若函数, f ? x ? ? t ? 2 a t ? 1 对所 有的 x ? ? ? 1,1 ? 都成立,则当 a ? ? ? 1,1 ? 时 t 的取值范围是 A. ? 2 ? t ? 2 C. t ? ? 2 或 t ? 0 或 t ? 2 【答案】C 【解析】因为奇函数 f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上是增函数,且 f ? ? 1 ? ? ? 1 ,所以最大值为 f (1) ? 1 , 要使 f ? x ? ? t ? 2 a t ? 1 对所有的 x ? ? ? 1,1 ? 都成立,则 1 ? t ? 2 a t ? 1 ,即 t ? 2 a t ? 0 ,
2
2

B. ?

1 2

? t ? 1 2

1 2 1 2

D. t ? ?

或 t ? 0或 t ?

2

即 t ( t ? 2 a ) ? 0 ,当 t ? 0 时,不等式成立。当 0 ? a ? 1 时,不等式的解为 t ? 2 a ? 2 。当
? 1 ? a ? 0 时,不等式的解为 t ? 2 a ? ? 2 。综上选 C.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容

-4-

量为 280 的样本,则此样本中男生人数为 【答案】160 【解析】设样本中男生人数为 n ,则有
n 560
2



.
280

?

560 ? 420
2 2

,解得 n ? 1 6 0 。
*

14.正项数列 ? a n ? 满足: a 1 ? 1, a 2 ? 2 , 2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? n ? N , n ? 2 ? , 则 a 7 ? 【答案】 1 9



.

【 解 析 】 因 为 2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ? n ? N , n ? 2 ? , 所 以 数 列 { a n } 是 以 a1 ? 1 为 首 项 , 以
2 2 2 *

2

2

d ? a 2 ? a 1 ? 4 ? 1 ? 3 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 a n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 3 n ? 2 , 所 以
2 2 2

an ?

3 n ? 2 , n ? 1 ,所以 a 7 ?

3? 7 ? 2 ?

19 。

15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 A B ? 8, B C ? 2 3 ,则棱锥 O— ABCD 的体积为 【答案】 1 6 2 【解析】球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上。所以对角线长为 8 ? ( 2 3 ) ? 2 1 9 ,
2 2



.

所以棱锥的高为 5 ? ( 1 9 ) ?
2 2

6 ,所以棱锥的体积为

1 3

?

6 ? 8 ? 2 3 ? 16

2 。

16.设双曲线 线的方程为

x

2

?

y

2

? 1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x ? 8 y 的焦点相同,则此双曲
2

m

n


x
2

.
?1

【答案】 y ?
2

3

【解析】抛物线的焦点坐标为 ( 0 , 2 ) ,所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c ? 2 ,所以双曲线的方
y
2

程为

?

x

2

n

?m

? 1 ,即 a ? n ? 0, b ? ? m ? 0 ,所以 a ?
2 2

n ,又 e ?

c a

?

2 n

? 2 ,解

得 n ? 1 , 所 以 b ? c ? a ? 4 ?1 ? 3 , 即 ? m ? 3 , m ? ? 3 , 所 以 双 曲 线 的 方 程 为
2 2 2

y ?
2

x

2

? 1。

3

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 设等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a 4 ? a 1 ? 9 , a 5 , a 3 , a 4 成等差数列.

-5-

(I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)证明:对任意 R ? N , S k ? 2 , S k , S k ? 1 成等差数列.
?

18.(本小题满分 12 分) 已知 m ? ? A sin
? ?? ? ? ? ? , A?,n ? ? 3 ? ? x 3 , cos x? ?, f 3?

?x? ?

?? ? ?? ? m ? n, 且 f ? ? ? ? 4 ?

2.

(1)求 A 的值;
, f ? 3 ? ? ? ? ? ? , 求 c o s ? ? ? ? ? 的值. (II)设 ? 、 ? ? ? 0 , ? , f ? 3? ? ? ? ? 17 2 ? 5 ? 2? ? ?

? ?

30

?

7

?

8

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 P A B ? 平面 ABCD,AB=AD,? B A D ? 6 0 ,E,F 分别是 AP, AB 的中点. 求证: (I)直线 EF//平面 PBC; (II)平面 DEF ? 平面 PAB.
?

20.(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布 表(时间单位为:分) :

将日将收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ,已知“体育迷”中有 10 名 女性. (I)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(II)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷” ,已知“超级体育迷” 中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率.

-6-

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 1 :
y
2

?

x

2

? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的短轴为长轴,且与 C1 有相同的离心率.

16

4

(I)求椭圆 C2 的方程; (II)设直线 l 与椭圆 C2 相交于不同的两点 A、B,已知 A 点的坐标为 ? ? 2 , 0 ? ,点 Q ? 0 , y 0 ? 在 线段 AB 的垂直平分线上,且 Q A ? Q B ? 4 ,求直线 l 的方程.
??? ??? ? ?

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ? a x ? x ? 1 ? e .
2 x

(I)若曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)当 a ? 0 时,是否存在实数 m 使不等式 m x ? 1 ? ? x ? 4 x ? 1和 2 f ? x ? ? m x ? 1 对任意
2

x ? ? 0 , ? ? ? 恒成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由

-7-

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -


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