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清北学堂 2012年暑假南京--北大专题班课前讲义大纲 李伟固 母函数


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1.

(1) an = 2an?1 + 1, a0 = 0; (2)Fn+2 = Fn+1 + Fn , F0 = F1 = 1; (3)an = 5an?1 ? 6an?2 + 2n , a1 = 0, a2 = 1. 2. 1

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? ?? · ? ?? 3. ? 3 ?? 3 ¤?? 6 ??  ? 8 ? ? · ??? 4. ? x1 + x2 + · · · + xk = n, 0 ≤ xi ≤ m ≤ n ¨ ? ?¨ ? 5. ¨ ? ר n ¨ (10 ? ) ? · ¨ ? 1 3 ¨? ? ¨? 6. ± ? ? ? n ? A1A2 · · · An n ?± ? 0 1 ± ? ?? ?± ±?? ?? ?± ¨ ?± ? ? ?· ? ? ??? 7. ? ¨n? ? 1?2 ? ? ¨ ? α(n), ? n ? ? ?1 ¨ ? ? ? β (n). ? ? α(n) = β (n + 2), n ≥ 1. ? n ?? ? ?? ? ± ? ¨ ? 8. ? k ? ? ? k 9. ? ? ? ? ? ? ¨ {an }, {bn } ? an = n k =0 Cn bk , n = 0, 1, 2, ... ?? n
bn =
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10. 11.

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? an ? {1, 2, ..., 6n} ? ? ¨ ? ? ¨ ?6? ?¨ 5; ? ? bn ? {1, 2, ..., 7n} ? ? ¨ ??  ? ¨ a ? 7 ?¨ 5. ? b . 12. ? k ≥ n ¨ ? k ? n ? ¨ ? 2n ? ? 1, 2, ..., 2n. ?? “? ” “ ”. ? ¤? ??? ? § ?? ? ?? ? ??  ± ? ? ?? ? k ?¨ ?¨ ° i ? § ° i ?? ?? ? ? ? ?? Nk § k ? ? ? 1, 2, ..., n § “? ” ? ? n + 1, n + 2, ..., 2n § “ ” ?? ? ?¨ ¨ ?? Mk § k ? ? ? 1, 2, ..., n § “? ” ?? n + 1, n + 2, ..., 2n § “ ” N ? n + 1, n + 2, .., 2n ¤ ? ?? ?? ? ?¨ ¨ ??§ M .
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1

? S (x) ? X ???? ?? X ? {1, 2, ..., 2000} ? ?? 5|S (X ). ? ?? ° X ¨? 14. ?? n + 1 ? ?? · ?? ·? ± ???? ?? ???? ? ? ?? 15. ? ¨ m, n, m ≤ n, A = {1, 2, ..., n}. f : A → A (1)|f (A)| = m; (2) ? k, l ∈ A, k ≤ l ? f (f (k )) = f (k ) ≤ f (l). ? ° ?? f ¨? 16. n? ?±? ?? ±? ± ·? ?±? ·? ? ? ¨ ? 17. ? ?¨ p ¨ n ≥ p. A §± n ? k¨ ?? fk ? ? A ?? p ? ¨ k ? ? ¨ ?? ? p| n k =1 (?1) fk + 1. ?? p ?¨ p ? ? ¨? 18. p > 2 ?¨ ?? {1, 2, ..., 2p} 19. n §± ?ר? {r1 , r2, ..., rk } §?? ? n ?? n ?? ¨?? ai , i = 0, 1, ..., n ? 1, ? ? {1, 2, ..., k } ? ? J ¨ ??  J j∈J rj ≡ i mod n. ? ? a0 = a1 = · · · = an?1 . n?1 20. ? m, n ≥ 2, ¨ a1, a2, ..., an ?? §m ? ¨ ?? ? ? ?? 0 n n ¨ e1, e2, ..., em, |ei| < m, ? m | i=1 ei ai. 21. ? ¨ a1 , a2 , ..., an p? ? ?? ? ak + ak+p + ak+2p + ? ? ± 50 ¨ § p ? ? ?? p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, · · · , k = 1, 2, .., p ¨ ? ?¨ ?? ? 0.
13.

2


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