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山东省临沂市临沂一中2014届高三9月月考 理科数学


13—14 高三上学期 9 月月考 试题
数 学 (理)
2013.9.26

D





log a 2 ? 0









f ( x) ? log a x(

a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数
3.幂函数 f ( x) ? x 的图象过点 (2, 4) ,那么函数
?

f ( x) 的单调递增区间是(
A. (?2, ??) C. [0, ??) 4 .



温馨提示:态度决定高度,细节决 定成败!
(本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟)

B. [?1, ??) D. (??, ?2) 函 数

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,
共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1 . 已 知 集 合

1 f ( x) ? 1n( x 2 ? 3x ? 2) ? ? x 2 ? 3x ? 4 的 定 x
义域为( A ) .

(??, ?4][2, ??)

B. (?4, 0) ? (0,1) C,

M ?{

?2

, ,?
)

,则 M ? N ? ( A.{0,1} C.{?1, 0,1}

1 N 1 2

x ?1

,, ? 0 x

?

x 1

. ,?

2

[ ?} ?4, 0)(0,1]

{

D.[?4, 0) ? (0,1] 5 . 已 知 f ( x) 在 R 上 是 奇 函 数 , 且

B.{?1 0} , D.{?2, ?1, 0,1, 2}

f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x 2 , 则f (7) ?
2.命题“若函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定 义域内是减函数,则 log a 2 ? 0 .”的逆否命题 是( A . ) 若 ( ) A.-2 D.98
?1

B.2

C.-98

1) 6. x ? (e ,,a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x , 若
3

log a 2 ? 0









f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函
数 B . 若

则( ) A. a < b < c C. b < a < c

B.c < a < b D. b < c < a
2

log a 2 ? 0









7. 若函数 f (x) ? x ? 2(a ?1) x ?2 在区间 (??, 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?3] C. (??,5] 8. 已知p : x ? 1, q :
第1页

f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函
数 C . 若

)

B. (??, 4] D.[3, ??)

log a 2 ? 0









f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数

1 ? 1, 则p是?q成立的 ( x

)

条件 A.充分不必要 C.充要 非必要 9 . 函 数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1 的 零 点 的 个 数 是 ( ) A.0 D.3 10.若不等式 x ? B. 必要不充分 D. 既非充分也

最大值,也无最小值

第Ⅱ卷 (非选择题 共 60 分)
二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
把答案填在题中横线上) 13.若命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 是真命
2

题” ,则实数 a 的取值范围是 B.1 C.2 14 . 设



1 ? a ? 2 ? 1 对于一切非零实数 x


?e x x ≤ 0, g ( x) ? ? ?ln x, x ? 0,

2x ?1 ?0 x ?1



x 均成立,则实数 a 的取值范围是(
A . 2?a?3 C. 1 ? a ? 3

? ? 1 ?? g ? g ? ?? ? ? ? 2 ??
15 . 设 命 题

B . 1? a ? 2 D. 1 ? a ? 4

p:

, 命 题

q: x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0, 若 p 是 q 的充分不
必要条件, 则实数 a 的取值范围是___________.

11.若函数 f (x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函 数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有(
x

)

A



f (2) ? f (3) ? g (0)

3 1990 ,则 f (64) 的值 16.已知 f (3 ) ? 4 xlog 2 ?
x

B. g (0) ? f (3) ? f (2) C .

等于



f (2) ? g (0) ? f (3)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

D. g (0) ? f (2) ? f (3) 12.已知函数 f ( x) ? 2 ? 1, g ( x) ? 1 ? x ,构造函
x 2

已知命题 p: 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的
2

数 F ( x) 的 定 义 如 下 : 当 | f ( x )?| g (x 时 , )

负实根,命题 q:方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0
2

F ( x)? | f ( x ) |, 当 | f F ( x) ? ?
,则 ) g ( xF ( x) ( )

( x? ) |g 时 ( , ) x

无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取 值范围.

A. 有最小值 0, 无最大值 最小值-1,无最大值 C. 有最大值 1, 无最小值

B. 有

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 , x ? ?2,6? ,试判断此函 x ?1

D. 无

数 f (x) 在 x ? ? 2, 6? 上的单调性,并求此函数 f (x)
第2页

在 x ? ? 2, 6? 上的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分) 已 知
a


a



f (x ?

?) ? x

x ? l < a < .o

g

(

1

)

l

(1)求函数 f ( x) 的定义域 ; (2)若函数 f ( x) 的最小值为 ? 4 ,求实数 a 的 值. 20. (本小题满分 12 分) 22. (本小题满分 13 分) 设 a 为 实 数 , 记 函 数

f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的 最 大 值 为

g (a ) .
(1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围, 并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (2)求 g (a ) ; 1 (3)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a. a

?cx ? 1 ? 已 知 函 数 f ( x) ? ? ? x 2 ?2 c ? 1 ?
满足 f (c ) ?
2

(0 x?c ) ? (c ≤ x ? 1)

9 . 8 (1)求常数 c 的值 ;
(2)解不等式 f ( x) ?

高三理科上学期 9 月月考试题
2 ?1 . 8

答案
一、选择题: 1-5 CACDA 6-10

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 .

CABBC

11-12 DB
13.a ? ?2或a ? 1; 14. ;

二、 填空题:

(1)在区间[ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图象 ; 15. ?0,2? ; ( 2 ) 设 集 合 A ? ? x f ( x) ? 5 ?, B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间 的关系,并给出证明 ; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上,

1 2

16.2014 .

三、解答题:
?? ? 0 ? 17.解:若 p 真 ? ? x1 ? x 2 ? ? m ? 0 ? m>2;若 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2

y ? kx ? 3k 的图象位于函数 f (x) 图象的上方.

q 真 ? ? <0 ? 1<m<3. ?????4 分 由题意,p , q 中有且仅有一为真,一为
假. 当 p 假 q 真,则 ? ?????6 分

?m ? 2, ? 1<m≤2; 当 ?1 ? m ? 3

第3页

p 真 q 假,则 ?

?m ? 2 ? m≥3. ?m ? 1或m ? 3

. ??????6 分 ? ∵?3 < x < 1

, .

????10 分 综上所述实数 m 的取值范围(1,2]∪[3, +∞). ?????12 分 18.解:设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个实数, 且 x1<x2, ?????1 分 则

∴ 0 < -( x ? 1)2 ? 4 ? 4
??????8 分

∵0 < a < 1
∴ log a ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? log a 4 ? ?


, 即

f ( x1 ) ? f ( x2 )

=

2 x1 ? 1

-

2 x2 ? 1

=

f (x

m

) i ?

an

.l

o

g 4 ????9 分

2[( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x 2 ? x1 ) = . ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
???4 分 由于 2<x1<x2<6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0, 于 是

?4 由 log a 4 ? ?4 , 得 a ? 4 ,

??

∴a ? 4

?

1 4

?

2 . 2

?

?????11 分 , 即 . 故 实 数

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

a







f ?x1 ? ? f ?x2 ?
?????6 分 所以函数 f ( x) ? 数.

2 . 2
??????12 分 20 .解: )因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ;由 (1
2

2 是区间[2,6]上的减函 x ?1
?????7 分

2 因此函数 f ( x) ? 在区间[2,6]的两个端 x ?1
点上分别取得最大值与最小值,

f (c 2 ) ?
4分

9 9 1 3 , c ?1 ? , c ? . 即 ? 8 8 2
( 2 ) 由 ( 1

????

2 ? f max ( x) ? f (2) ? 2, f min ( x) ? f (6) ? . 5
?????11 分 故函数 f (x) 在 x ? ? 2, 6? 上的最大值和最小值





2 分别为 2 和 . 5

?????12 分

?1 1? ? ? ? 2 x ? 1,? ? x ? 2 ? 2 ? ? ? f ( x) ? ? ) ? 1 , f (x ? 由 8 ? ?2?4 x ? 1,? ≤ x ? 1? ? ? ? ?? ? ?
得, 当 ????6 分

?1 ? x > 0 19.解: (1)要使函数有意义:则有 ? ,解 ?x ? 3 > 0
之得 ?3 < x < 1 . ????3 分 所 以 函 数 的 定 义 域 为

0? x?

1 2









?x ? 3 ? x ? 1?.
?????4 分 ( 2 ) 函 数 可 化

2 1 ?x? 4 2
??????8 分 当



?



1 ≤ x ?1 2









f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a ( ? x 2 ? 2 x ? 3) ? log a ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? ?
第4页

1 5 ≤x? 2 8
??????10 分 所 以

.



当 ?1?

x?

4?k 2

4?k ?1 , 即 2 ? k ? 6 时 , 取 2


f (x ? )

2 ? 8

的 解 集 为 1

g (x) min ? ?

k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . 4 4

?

?

? 2 5? ? ? ? x? ?. ?x 8? ? 4 ? ?

??

????12 分 21. 解: (1)函数 f (x) 在区间[ ? 2, 6 ] 上画出的图 象如下图所示:

? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 , 则 g ( x) min ? 0 . ??????11 分 4?k ② 当 ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , 2 g (x) min = 2k ? 0 . 由 ① 、 ② 可 知 , 当 k ? 2 时 , g ( x) ? 0 , ?????? x ?[ ? 1, 5 ] . 12 分 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图象 位于函数 f (x) 图象的上方. ??????13 分 解 法 二 : 当 x ?[ ? 1, 5 ] 时 , f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 .

? y ? k ( x ? 3), ? 2 ? y ? ? x ? 4 x ? 5, x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 ,
由 ?????? 2分 (2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和



2 ? 14 , 由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1] 和[ 2, 5 ] 上单调递减, 在[ ? 1, 2 ] 和[ 5, ? ? ) 上单调递增, 因 此 A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14 , ? ? . ??????6 分 由 于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A . ??????8 分 ( 3 ) 解 法 一 : 当 x ?[ ? 1, 5 ] 时 ,

令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 , 解得 k ? 2 或 ??????10 分 k ? 18 , 在区间[ ? 1, 5 ] 上, k ? 2 时,y ? 2( x ? 3) 的 当 图象与函数 f (x) 的图象只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图象与函数 f (x) 的图象没有交点. ??????11 分 如 图 可 知 , 由 于 直 线 y ? k ( x ? 3) 过 点 ( ? 3, 0 ) , 当 k ? 2 时 , 直 线 y ? k ( x ? 3) 是 由 直 线 y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图象 位于函数 f (x) 图象的上方. ?????13 分

?

?

?

?

f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 . 设 g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 5) ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5)

22. 解: (1)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x ,∴要使 t 有意 义,必须1 ? x ? 0 且1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 .
∵ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2,4] , 且
2 2

4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? ??x ? , ? ? 2 ? 4 ?
??????9 分 4?k ? k ? 2,? ? 1. 又 ?1? x ? 5 , 2

2

t ? 0 ……①


t











是 ,

[ 2 ,2]
??????2 分 由①得: 1 ? x ?
2

1 2 t ? 1, 2

第5页



1 m(t ) ? a( t 2 ? 1) ? t 2
, ??????4 分

?

1 2 at ? t ? a 2 t ? [ 2 ,2] . ?

1 2 1 , ?( ,1] ,∴ ? a ? ? 2a 2 2a g (a )
1 1 ? 2 (?a) ? (? ) ? 2 2a 2a
, 故 当

? ?a ?

( 2 ) 由 题 意 知 g (a ) 即 为 函 数

1 m(t ) ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2 1 1 ∵直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at 2 ? t ? a a 2
的对称轴, ??????5 分 ∴可分以下几种情况进行讨论:

t ①当 a ? 0 时, 函数 y ? m(t ) , ? [ 2 ,2] 的 图象是开口向上的抛物线的一段,
由t ? ?

1 故 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增, a g (a ) ? m(2) ? a ? 2 ;
②当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有

g (a ) =2;
t ③当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , ? [ 2 ,2] 的 , 图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 ? (0, 2 ] 即 a ? ? 时, 2 a g (a ) ? m( 2 ) ? 2 ,
若t ??

2 时, g (a ) ? 2 ; 2 1 1 当 a ? 0 时, ? 0 ,由 g (a ) ? g ( ) 知: a a 1 a ? 2 ? ? 2 ,故 a ? 1 ; a 1 1 当 a ? 0 时, ? ? 1 , a ? ?1 或 ? ?1 , 故 a a a 1 从而有 g ( a ) ? 2 或 g ( ) ? 2 , a 2 1 要 使 g (a ) ? g ( ) , 必 须 有 a ? ? , 2 a 1 2 2 ,即 ? 2 ? a ? ? , ?? a 2 2 1 此时, g ( a ) ? 2 ? g ( ) . a a??
??????13 分

2 1 1 ? ( 2 ,2] 即 a ? (? ,? ] 2 2 a 1 1 时, g (a ) ? m(? ) ? ?a ? , a 2a 1 1 若 t ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, a 2 g (a ) ? m(2) ? a ? 2 .
若t ? ? ? ?????9 分 综 上 所 述 , 有

g (a )

=

1 ? a?? , ? a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? ?a?? , ??a ? , ? 2a 2 2 ? ? 2 a?? . ? 2, 2 ?

??????10 分 (3)当 a ? ?

1 3 时, g (a ) ? a ? 2 ? ? 2 ; 2 2 2 1 1 2 ? a ? ? 时, ? a ?[ , ), 当? 2 2 2 2
第6页


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