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河南省三门峡市陕州中学2015-2016学年高二上学期第二次精英对抗赛数学(文)试题


2015-2016 学年上期高二第二次精英对抗赛 (文科)数学试题
试卷总分:150 分 时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每題给出的四个选中,只有一项是 符合题目要求) 1.命题甲:x≠2 或 y≠3;命题乙:x+y≠5,则甲是乙的

( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条 件 D. 既不充分又不必要条件 2.若“0<x<1 是“(x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 是( ) A. [﹣1,0] B. (﹣1,0) C. (﹣∞,0]∪[1,+∞) D. (﹣∞, ﹣1]∪[0, +∞) 3.运行如右图所示的程序框图.若输入 x=4,则输出 y 的值为( ) A. 49 B. 25 C. 13 D. 7 4.下列说法正确的是( ) A. x≥3 是 x>5 的充分而不必要条件 B. 若¬p?¬q,则 p 是 q 的充分条件 C. x≠±1 是|x|≠1 的充要条件 D. 一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形 5.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 (单位: 万吨) 柱形图。以下结论不正确的是( )

A.逐年 比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 3? 1 ? 6.已知曲线 y= x2-2 上一点 P?1,- ?,则过点 P 的切线的倾斜角为( 2? 2 ? A.30° B.45° C.135° D.165°

).

7. 直线 y ? x ? b 与抛物线 x2 ? 2 y 交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 且 OA ? OB , 则 b ?(
A. 2



B. ?2

C. 1

D. ?1

π 8. 设 P 为曲线 C: y=x2+2x+3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为[0, ], 4 则点 P 横坐标的 取值范围为( 1 A.[-1,- ] 2
C.[0,1]

) B.[-1,0] 1 D.[ ,1] 2

9、有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A. 3 4 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 3 )

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其交于 M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ?
2 ,则此双曲线的方程是( 3



x2 y2 ? ?1 A. 3 4

x2 y2 ? ?1 B. 4 3

x2 y2 ? ?1 C. 5 2
). C. ?
2 2

x2 y2 ? ?1 D. 2 5

x ?1? 11.已知 f? ?= ,则 f′(x)等于( ?x? 1+x
A. 1 1+x B.- 1 1+x

1 (1 ? x)2

D.

1 (1 ? x) 2

12、 若不论 k 为何值, 直线 y ? k ( x ? 2) ? b 与曲线 x ? y ? 1总有公共点, 则 b 的取值范围是 ( A. (? 3, 3) B. ??2, 2? C. (?2, 2) D.
? ? 3, 3 ? ? ?



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中的横线上) 13.椭圆的焦点为 F1、F2,过点 F1 作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段 MN 长为
?MF2 N 的周长为 20,则椭圆的离心率为 __________

32 , 5

14.设 p:|2x+1|<m(m>0) ,

,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取

值范围为 15 .为了“城市品位、方便出行、促进发展”,南昌市拟修建穿 江隧道,市某部门问卷调查了 n 个市民,其中赞成修建穿江隧道 的市民占 80%,在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组,得 样本频率分布直方图如图,其中年龄在[20,30)岁的有 400 人, [40,50)岁的有 m 人,则 n= ,m= 16.已知函数 f(x)= x3 ? 3 x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围 是________.

三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) .p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0,q:实数 x 满足

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

18. 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x=±1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程.

19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣2)x﹣b2+16=0 (1)若 a,b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率. (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率.

20.(本小题满分 12 分)某种产品广告的支出 x 与销售收入 y(单位:万元)之间有下列所 示的对应数据. 广告支出 x/万元 1 2 3 销售收入 y/万元 12 28 42 (1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 与 x 的回归直线方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少? 4 56

[来源:学科网 ZXXK]

? ?xi- x ??yi- y
^
i=1

n

? ^ ^ , a= y -b x .

b=

? ?xi- x
i=1

n

?

2

a 21.设函数 f(x)=3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,-b) 2 a b 3

和 B(a,0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、 D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理 由.

第二次精英对抗赛文科数学试题答案
3 14.(0,2] 15.4000,1120 16. (-2,2) 5 17.分析: (1)若 a=1,分别求出 p,q 成立的等价条件,利用且 p∧q 为真,求实数 x 的 取值范围; (2) 利用¬p 是¬q 的充分不必要条件, 即 q 是 p 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 2 2 解答: 解: (1)由 x ﹣4ax+3a <0,得(x﹣3a) (x﹣a)<0.又 a>0, 所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3.

BABCD BAADD

CD

13.





得 2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.

若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p? ¬q ,且¬q 推不出¬p. 即 q 是 p 的充分不必要条件,则 ,解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 18. [解析] (1)f′(x) =3ax2+2bx-3,依题意,

f′(1)=f′(-1)=0,即
解得 a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1.若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故

f(x)在(-∞, -1)上是增函数, f(x)在(1, +∞)上是增函数. 若 x∈(-1,1), 则 f′(x)
<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数.∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x3 0-3x0.
2 ∵f′(x0)=3(x2 0-1),故切线的方程为 y-y0=3(x0-1)(x-x0). 2 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16-(x3 0-3x0)=3(x0-1)(0-x0).
[来源:Z,xx,k.Com]

3 化简得 x0 =-8,解得 x0=-2.∴切点为 M(-2,-2),切线方程为 9x-y+16=0. 19.解答: 解: (1)由题意知本题是一个古典概型 用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知,基本事件(a,b)的总数有 36 个 二次方程 x2﹣2(a﹣2)x﹣b2+16=0 有两正根,

等价于



, “方程有两个正 根”的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件为(6,1) 、 (6,2) 、 (6,3) 、 (5, 3)共 4 个 ∴所求的概率为

(2)由题意知本题是一个几何概型,试验的全部结果构成区域 Ω ={(a,b)|2≤a≤6, 0≤b≤4},其面积为 S(Ω )=16 满足条件的事件为:B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4, (a ﹣2)2+b2<16}其面积为
20.解答: (1)散点图略.

∴所求的概率 P(B)=

(2)由散点图可知 y 与 x 之间具有线性相关关系. 由题意知 x ? 2.5 , y ? 34.5 , x1
2

? x2 ? x3 ? x4 ? 30 ,
418 ? 4 ? 2.5 ? 34.5 ? 14.6 30 ? 4 ? 2.5 2

2

2

2

x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 ? 418,? b ?

? ? 14.6 x ? 2 ? b ? y ? b , x ? ?2 ?回归直线方程为 y ? ? 14.6 x ? 2 ,得 y ? ? 129.4 ,故投入 9 万元广告费,销 售收入约为 129.4 (3)将 x=9 代入 y
万元. a 21.解:由 f(x)=3x3+bx2+cx+d,得 f′(x)=ax2+2bx+c. ?a+2b+c-9=0, ∵f′(x)-9x=ax2+(2b-9)x+c=0 的两个根分别为 1,4,∴? (*) ?16a+8b+c-36=0,
学科网]

[来源:

?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ?8b+c+12=0, 解得 b=-3,c=12,又因为曲线 y=f(x) 过原点,所以 d=0,故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0,∵f(x)=3x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点, ∴f′(x)=ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立.由(*)式得 2b=9-5a,c=4a, ?a>0, 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).解? ?Δ=9?a-1??a-9?≤0. 得 a∈[1,9],即 a 的取值范围为[1,9].
?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b

22. 解析: (1) 直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1



椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? 2, (2)假若存在这样的 k 值,由 ? 2 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0



? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?



而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的 圆过点 E (-1, 0) , 当且仅当 CE⊥DE 时,则 ∴
y1 ? y2 ? ?1 ,即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 . x1 ? 1 x2 ? 1

(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?
[来源:学科网 ZXXK]

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6


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