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两角和与差的余弦公式导学案(修改后)


15.1

两角和与差的余弦公式

课题:两角和与差的余弦公式 课型:新授 班级:13(3)班 审核: 丁恩安 授课时数: 1 课时 教学工具: 三角板、 圆规 授课时间: 2015-4-14 教学目标:1,经历了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2,能正确区分公式的结构特点,识记两角和与差的余弦公式,会用两角和与 差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 3,初步学会运用两角和与差的余弦公式解决简单的专业问题. 教学重难点: 重点: 两角和与差的余弦公式及其应用. 难点: 两角和与差的余弦公式的推导证明. 学情分析: 本节课的学习是在任意角的三角函数的基本概念、向量内积等知识的基础上 进行的.在进行新课教学时需要学生对教学准备部分的知识点熟练的掌握。

教学过程
一、教学准备.
本节课的学习是在任意上角三角函数的基本概念、向量内积等知识的基础上进行的。 1. 正弦函数、余弦函数的定义 设 P(x , y)为角 终边上任意一点, , ,则

.

在单位圆中,x=

,y=

.

(注:单位圆指的是平面直角坐标系上,圆心为

原点,半径为单位长度 1 的圆) 由此可知,在单位圆上任意一点的坐标 P( 2. 如图 15-1 所示, 正弦函数 y= 的正负号相同.
y y



)即为角 终边上的坐标。 在各象限内的符号分别与 y,x

、 余弦函数 x=

+
O

+
x

O

+
x

-

-

-

+

3. 角 的终边与角— 的终边关于 x 轴对称,根据正弦、余弦函数的定义得到下列 诱导公式: , 4.特殊角的正弦函数、余弦函数值 表 15-1 .

5.向量的内积 若向量 a=( 或 a·b=|a|b| 角. = ),b=( · ),则 a·b= , 为向量 a=( . ) 与 b=( ) 的夹

二、新课讲授
在实际问题中,为了对复杂的含有三角函数的式子进行推导和化简,常常要用 到两角和与差的三角函数的计算。 ¤ 两角和与差的余弦公式 ※ 探究:已知 下列各式是否成立?

(1) (2)

= =

※ 分析概括 1. 请同学们通过小组合作的形式,应用计算器探讨下列等式是否成立: + -

+ 通过直接用计算器求值或根据余弦函数的性质(单调性,最大值、最小值,正负号 的判定)可分析得出两角和(差)的余弦值不等于两角余弦值的和(差). 2.如图 15-2 所示,在单位圆中, 圆交点的横坐标 x, 与 的函数值是角 的终边与单位

的函数值分别是角 , 的终边与单位圆的横坐标 , .

显然,x 与 , 不一定存在等量关系,即两角和(差)的余弦值不等于两角余弦值的和 (差).

图 15-2 ※ 验证推理 通过前面的探究及分析分析我们知道“两角和(差)的余弦值不等于两角的和 (差) ”并不正确,那么就有新的问题摆在我们面前, “对于两个一般角的和与差的 余弦究竟怎样计算它的值?”. 根据向量内积的定义,角 终边所在的向量 a 与角 终边所在的向量 b 的夹角为 . 因此可用向量内积来研究 角 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 P( Q( ). 与 , 之间的关系.如图 15-3,设

),角的终边与单位圆的交点为

y

x O

记向量 a= OP=( 则 a·b=|a||b|

) ,b=OQ=( =

),

应用向量数量积的坐标公式,可得到 a·b= 因此,有 + = + (15-1)

我们把(15-1)叫做两角差的余弦公式. 由于角 = 的 终 边 与 角 的 终 边 关 于 x 轴 对 称 , 由 公 式 ( 15-1 ) 可 得 = = 故有 = — . + — (15-2)

我们把(15-2)叫做两角和的余弦公式. 小贴士:两角和与差的余弦公式记忆 “余弦同名加减异” 即 意角.) = ( 具有任意性,即 可以是任

三、例题分析
例1 不用计算器,求 的值.

分析:在运用两角和与差的余弦公式求非特殊角的余弦函数值时,讲非特殊角转化 为 角的和与差的形式,然后再运用公式求解 . 如本题 可化为

或 解:

求解.

注:我们自己可以把能用特殊角的和与差表示出来的角称为“半特殊角” 。 例2 已知 = ,且 为第二象限的角,求 的值.

分析: 运用两角和与差的余弦公式求

的值时, 需要带入

的值,

因此根据已知条件, 运用三角恒等式 ( 自然公式 在求值时,需要根据角 所在的象限来确定的

) 求出

的值.

正负号;若题中未给出角 所在的象限,

还需要分类讨论,分别求 解:

取正号、符号时

的值.

四,思考交流
(1) 用两角和与差的余弦公式证明诱导公式: = (2)你能解释这两个式子的意义吗? 提示:1,在证明 = 时,可将 化成 ,然后再运用两角 = .

和与差的余弦公式. 2,以上两个等式表明正弦函数与余弦函数存在互余关系.

五,

课堂练习
; ;

1,不用计算器,求下列各式的值: (1) (2)

(3) (4) (5)

; ;

注:在三角函数的化简、求值、证明过程中,常常要逆用两角和与两角差余弦公式, (3) (4) (5)小题可通过凑角的技巧逆用公式. 2,已知 = , ,求 , 的值.

六,课堂总结
自我评价 1, 本节课学习了哪些知识、技能和方法?有什么收获? 2, 关于本节内容,还有哪些问题需要进一步理解? 教师总结 两角和与差的余弦公式 即 可以是任意角.) = ( 具有任意性,

七,课后作业 1. 2. 3. A. B. C. ( D. )

4.已知

=



,求



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