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2012年全国高中数学联赛模拟试题三


年全国高中数学联赛模拟试题 试题三 2012 年全国高中数学联赛模拟试题三

一、选择题 1.由 0,1,2,3,4,5 六个数字能组成数字不重复且百位数字不是 5 的偶数有( )个 A.360 B.252 C.720 D.240 2.已知数列{ an }(n≥1)满足 an + 2 = an+1 - an ,且 a2 =1,若数列的前 2005 项之和为 2006,则 前 2006 项的和等于( ) A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 3.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个底角是 600 ,又侧棱与底面所成的角都是 450 ,则这个棱锥的体积是( )

3 3 D. 4 2 3 1? x x + 3x 4.设 f ( x) = lg ,| x |< 1, 则 f ( ). ) 等于( 1+ x 1 + 3x 2 (A) f 2 ( x) (B) f 3 ( x ) (C) 2 f ( x ) (D) 3 f ( x ) 3π 5. a, b 是不等于 1 的正数, θ ∈ ( ). , 2π ), 若 a tanθ > b tanθ > 1 ,则成立的是( 2 (A) a > b > 1 (B) a < b < 1 (C) b < a < 1 (D) b > a > 1 B C B 2 A 6. ?ABC 中, BC = a, AC = b, AB = c, 则使等式 sin + sin 2 + sin 2 = cos 2 成立的充要条件 2 2 2 2
A.1 B. 3 C.
是( ). (B) b + c = 2a (C) c + a = 2b (D) c ? a = b 2 (A) a + b = 2c

二、填空题
1.设 f ( x) 适合等式 f ( x ) ? 2 f ( ) = x, 则 f ( x) 的值域是 2.若对满足 α ± β ≠ k ? 360° 的任何角 α , β ,都有

1 x



= m cot

β ?α
2

sin(α + 30°) + sin( β ? 30°) cos α ? cos β
。 个。

+ n ,则数组 (m, n) =

3.等差数列 3,10,17,…,2005 与 3,8,13,…,2003 中,值相同的项有

4.盒子里装有大小相同的球 8 个,其中三个 1 号球,三个 2 号球,两个 3 号球.第一次从 盒子中先任取一个球,放回后第二次再任取一个球,记第一次与第二次取到的球上的号码 的积为随机变量ξ,则ξ的数学期望 Eξ=________________ 5.在锐角三角形 ABC 中,设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则 f(x)的解析是为_______________ 6. ∑ [(10i + 1)(10i + 3)(10i + 7)(10i + 9)] 的末三位数是_______
i =1

100

三、解答题 1.三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3,两两外切且均内切于⊙O,从⊙O 上任意一点向三个小圆引三条 切线,求证:其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.

2.设 a,b,c∈(1,+∞),证明:2(

log b a log c b log a c 9 + + )≥ . a+b b+c c+a a+b+c

3.试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.



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