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江苏省南京市海安高级中学、外国语学校、金陵中学联考2015届高考数学四模试卷


江苏省南京市海安高级中学、外国语学校、金陵中学联考 2015 届高考数学四模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.已知集合 A={﹣1,0,2},B={x|x=2n﹣1,n∈Z},则 A∩B=__________. 2.已知复数 z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中 i 是虚数单位,a∈R) ,

若 z1?z2 是纯虚数,则 a 的值 为__________. 3.从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为 a,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记 为 b,则 a≤b 的概率为__________. 4.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 400,右图为检测结果的 频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20, 25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为__________.

5.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为__________.

6.若函数 f(x)=sinωx (ω>0)在区间[0, 则 ω=__________.

]上单调递增,在区间[



]上单调递减,

7.在平面直角坐标系 xoy 中,若双曲线 C: 则双曲线 C 的渐近线方程为__________.

=1(a>0,b>0)的离心率为



8. 已知实数 x, y 满足

, 则当 2x﹣y 取得最小值时, x +y 的值为__________.

2

2

9.在平面直角坐标系 xoy 中,P 是曲线 C:y=e 上的一点,直线 l:x+2y+c=0 经过点 P,且 与曲线 C 在 P 点处的切线垂直,则实数 c 的值为__________.

x

10. 设 x>0, y>0, 向量 = (1﹣x, 4) ,= (x, ﹣y) , 若 ∥ , 则 x+y 的最小值为__________. 11.以知 f(x)是定义在区间[﹣1,1]上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(x﹣1) ,则关于 2 m 的不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0 的解集为__________. 12.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn=nan﹣3n(n﹣1) (n∈N ) ,且 a2=11,则 S20 的值为 __________. 13.在△ ABC 中,已知 sinA=13sinBsinC,cosA=13cosBcosC,则 tanA+tanB+tanC 的值为 __________. 14.在平面直角坐标系 xoy 中,设 A,B 为函数 f(x)=1﹣x 的图象与 x 轴的两个交点,C, D 为函数 f(x)的图象上的两个动点,且 C,D 在 x 轴上方(不含 x 轴) ,则 范围为__________. ? 的取值
2 *

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的所对边的长,若 acosB=1,bsinA= ,且 A ﹣B= .

(1)求 a 的值; (2)求 tanA 的值. 16.如图,在四面体 ABCD 中,AD=BD,∠ABC=90°,点 E,F 分别为棱 AB,AC 上的点, 点 G 为棱 AD 的中点,且平面 EFG∥平面 BCD.求证: (1)EF= BC; (2)平面 EFD⊥平面 ABC.

17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计) ,易拉罐的 体积为 108πml.设圆柱的高度为 hcm,底面半径半径为 rcm,且 h≥4r,假设该易拉罐的制 造费用仅与其表面积有关,已知易拉罐侧面制造费用为 m 元/cm ,易拉罐上下底面的制造 2 费用均为 n 元/cm (m,n 为常数) (1)写出易拉罐的制造费用 y(元)关于 r(cm)的函数表达式,并求其定义域; (2)求易拉罐制造费用最低时 r(cm)的值.
2

18. (16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,

左准线为 l.P 为椭圆 C 上任意一点,直线 OQ⊥FP,垂足为 Q,直线 OQ 与 l 交于点 A. (1)若 b=1,且 b<c,直线 l 的方程为 x=﹣ (i)求椭圆 C 的方程 (ii)是否存在点 P,使得
2 2

?,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
2

(2)设直线 FP 与圆 O:x +y =a 交于 M,N 两点,求证:直线 AM,AN 均与圆 O 相切.

19. (16 分)设函数 f(x)=(x﹣a)lnx﹣x+a,a∈R. (1)若 a=0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a<0,试判断函数 f(x)在区间(e ,e )内的极值点的个数,并说明理由;
﹣2

2

(3)求证:对任意的正数 a,都存在实数 t,满足:对任意的 x∈(t,t+a) ,f(x)<a﹣1. 20. (16 分)定义:从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列 的一列数叫做{an}的子数列,成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列. (1)求数列 1, , , , 的等比子列; (2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列,且公比 q≠1. (i)试给出一个{an},使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程) ; (ii)若{an}存在无穷项的等差子列,求 q 的所有可能值.

江苏省南京市海安高级中学、外国语学校、金陵中学联 考 2015 届高考数学四模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.已知集合 A={﹣1,0,2},B={x|x=2n﹣1,n∈Z},则 A∩B={﹣1}. 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:观察发现集合 B 为所有的奇数集,所以找出集合 A 解集中的奇数解即为两集合的交 集. 解答: 解:由集合 A={﹣1,0,2}, 根据集合 A 中的关系式 x=2n﹣1,n∈Z,得到集合 B 为所有的奇数集, 则集合 A∩B={﹣1}. 故答案为:{﹣1}. 点评:此题属于以不等式解集中的奇数解为平台,考查了交集的运算,是一道基础题.也是 2015 届高考中常考的题型. 2.已知复数 z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中 i 是虚数单位,a∈R) ,若 z1?z2 是纯虚数,则 a 的值 为﹣4. 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的乘法运算化简,然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 值. 解答: 解:∵z1=1﹣2i,z2=a+2i, ∴z1?z2=(1﹣2i) (a+2i)=a+4+(2﹣2a)i, 又 z1?z2 是纯虚数,∴ 故答案为:﹣4. ,解得:a=﹣4.

点评:本题考查复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题. 3.从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为 a,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记 为 b,则 a≤b 的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:先确定的所有的基本事件,共有 9 种,再求出 a>b 的概率,根据互斥事件的概率公 式计算即可. 解答: 解:从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为 a,从集合{2,3,4}中随机取一个 元素,共有 3×3=9 种, 因为 a>b 的取法只有一种:a=3,b=2, 所以 a>b 的概率是 , 所以 a≤b 的概率是 1﹣ = . 故答案为: . 点评:本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题,属于基础题. 4.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 400,右图为检测结果的 频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20, 25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 100.

考点:频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析:由频率分布直方图可知,算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数. 解答: 解:根据频率分布直方图可知,三等品的数量是[(0.0125+0.025+0.0125) ×5]×400=100(件) . 故答案为:100 点评:本题主要考查频率分布直方图的读图能力,属于简单题型,注意纵坐标意义.

5.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为



考点:伪代码. 专题:算法和程序框图. 分析:模拟执行伪代码,可得伪代码的功能是计算并输出 S=0+ 值,从而得解. 解答: 解:模拟执行伪代码,可得:S=0+ +…+( ﹣ )=1﹣ . = . + + …+ =(1﹣ )+( ﹣ ) + +…+ 的

故答案为:

点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基本知识的考查. ]上单调递增,在区间[ ]上单调递减,

6.若函数 f(x)=sinωx (ω>0)在区间[0, 则 ω= .



考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析: 由题意可知函数在 x= 时确定最大值, 就是 时确定最大值,就是 , 求出 ω 的值即可. ,k∈Z,所以

解答: 解:由题意可知函数在 x=

ω=6k+ ;只有 k=0 时,ω= 满足选项. 故答案为: . 点评:本题是基础题,考查三角函数的性质,函数解析式的求法,也可以利用函数的奇偶性 解答,常考题型.

7.在平面直角坐标系 xoy 中,若双曲线 C: 则双曲线 C 的渐近线方程为 y=±3x.

=1(a>0,b>0)的离心率为



考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用( ) =1+( ) =10,可得 =3,即可求出双曲线的渐近线方程. 解答: 解:因为( ) =1+( ) =10,所以 =3,所以渐近线方程为 y=±3x. 故答案为:y=±3x. 点评:本题给出双曲线的离心率,求双曲线的渐近线方程,着重考查了双曲线的标准方程与 基本概念,属于基础题.
2 2 2 2

8.已知实数 x,y 满足

,则当 2x﹣y 取得最小值时,x +y 的值为 5.

2

2

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先画出满足条件的平面区域,求出 2x﹣y 取得最小值时 A 点的坐标,将 A 点的坐标 2 2 代入 x +y ,求出即可. 解答: 解:画出满足条件的平面区域,如图,

, 令 z=2x﹣y, 则当直线 z=2x﹣y 经过直线 x﹣y+1=0 和直线 x+y﹣3=0 的交点 A 时,z 取得最小值. 此时 A 的坐标为(1,2) , 2 2 ∴x +y =5, 故答案为:5. 点评: 本题考察了简单的线性规划问题, 考察数形结合思想, 求出 2x﹣y 取得最小值时的 x, y 的值是解题的关键,本题是一道中档题. 9.在平面直角坐标系 xoy 中,P 是曲线 C:y=e 上的一点,直线 l:x+2y+c=0 经过点 P,且 与曲线 C 在 P 点处的切线垂直,则实数 c 的值为﹣4﹣ln2. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用;直线与圆.
x

分析:求出导数,设出切点,求得切线的斜率,再由两直线垂直的条件,可得切点坐标,由 代入法,即可得到 c. 解答: 解:y=e 的导数 y′=e , 与曲线 C 在 P 点处的切线垂直,则所求切线的斜率为 2, 设切点 P 为(x0,y0) ,则 e
ln2 x x

=2,

所以 x0=ln2,y0=e =2. 所以直线 x+2y+c=0 经过点 P(ln2,2) , 所以 c=﹣4﹣ln2. 故答案为:﹣4﹣ln2. 点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率,同时考查两直线垂直的条件:斜率为﹣1,考 查运算能力,属于中档题.

10.设 x>0,y>0,向量 =(1﹣x,4) , =(x,﹣y) ,若 ∥ ,则 x+y 的最小值为 9.

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用;不等式. 分析:先根据向量平行得到 + =1,再利用基本不等式即可求出最值. 解答: 解:因为 ∥ , 所以 4x+(1﹣x)y=0, 又 x>0,y>0, 所以 + =1, 故 x+y=( + ) (x+y)=5+ + 当 = ≥9.

, + =1 同时成立,即 x=3,y=6 时,等号成立.

(x+y)min=9. 故答案为:9. 点评:本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用,属于基础题. 11.以知 f(x)是定义在区间[﹣1,1]上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(x﹣1) ,则关于 m 的不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0 的解集为[0,1) . 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可. 解答: 解:由题意,奇函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的减函数,不等式 f(1﹣m)+f(1 2 ﹣m )<0, 2 即 f(1﹣m)<f(m ﹣1) ,
2



,即



解得 0≤m<1, 即 m∈[0,1) . 故答案为:[0, 1) . 点评: 本题主要考查不等式的求解, 根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 12.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn=nan﹣3n(n﹣1) (n∈N ) ,且 a2=11,则 S20 的值为 1240. 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由 S2=a1+a2=2a2﹣3×2(2﹣1) ,a2=11,可得 a1=5. * 解法 1:当 n≥2 时,由 an=Sn﹣Sn﹣1,可得 an﹣an﹣1=6(n≥2,n∈N ) ,利用等差数列的通项 公式及其前 n 项和公式即可得出. 解法 2:当 n≥2 时,由 Sn=nan﹣3n(n﹣1)=n(Sn﹣Sn﹣1)﹣3n(n﹣1) ,化为 =3,
*

利用等差数列的通项公式即可得出. 解答: 解:由 S2=a1+a2=2a2﹣3×2(2﹣1) ,a2=11,可得 a1=5. 解法 1:当 n≥2 时,由 an=Sn﹣Sn﹣1,得 an=nan﹣3n(n﹣1)﹣[(n﹣1)an﹣1﹣3(n﹣1) (n ﹣2)], ∴(n﹣1)an﹣(n﹣1)an﹣1=6(n﹣1) ,即 an﹣an﹣1=6(n≥2,n∈N ) , ∴数列{an}是首项 a1=5,公差为 6 的等差数列, ∴S20=20×5+ ×6=1240.
*

解法 2:当 n≥2 时,由 Sn=nan﹣3n(n﹣1)=n(Sn﹣Sn﹣1)﹣3n(n﹣1) , 可得(n﹣1)Sn﹣nSn﹣1=3n(n﹣1) , ∴ =3,

∴数列{ ∴

}是首项

=5,公差为 3 的等差数列,

=5+3×19=62,

∴S20=1240. 点评:本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 13. 在△ ABC 中, 已知 sinA=13sinBsinC, cosA=13cosBcosC, 则 tanA+tanB+tanC 的值为 196. 考点:同角三角函数基本关系的运用.

专题:三角函数的求值. 分析:已知两式相除,利用同角三角函数间基本关系化简得到 tanA=tanBtanC,化简 cosA=13cosBcosC,求出 tanBtanC 的值,利用两角和与差的正切函数公式变形即可求出所求 式子的值. 解答: 解:∵cosA,cosB,cosC 均不为 0,由 sinA=13sinBsinC①,cosA=13cosBcosC②, 得:tanA=tanBtanC, ∵cosA=13cosBcosC,且 cosA=﹣cos(B+C)=sinAsinB﹣cosAcosB, ∴sinAsinB=14cosAcosB, ∴tanBtanC=14, ∵tanB+tanC=tan(B+C) (1﹣tanBtanC)=﹣tanA(1﹣tanBtanC)=﹣tanA+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=196. 故答案为:196. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 14.在平面直角坐标系 xoy 中,设 A,B 为函数 f(x)=1﹣x 的图象与 x 轴的两个交点,C, D 为函数 f(x)的图象上的两个动点,且 C,D 在 x 轴上方(不含 x 轴) ,则 范围为(﹣4, ﹣ ]. ? 的取值
2

考点:平面向量数量积的运算. 专题:导数的综合应用;平面向量及应用. 2 2 分析:由题意 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,设 C(x1,1﹣x1 ) ,D(x2,1﹣x2 ) ,﹣1<x1,x2 <1,则 ? =(x1+1) (x2﹣1)+(1﹣x1 ) (1﹣x2 )=(x2﹣1)[(x2+1)x1 +x1﹣x2],
2 2 2 2

构造函数记 f(x)=(x2+1)x +x﹣x2,﹣1<x<1,应先将 f(x)求导,再令 f'(x)=0, 得出 x0,再讨论 x0 与区间(﹣1,1)的关系,即可求出则 ? 的取值范围.
2 2

解答: 解:由题意 A(﹣1, 0) ,B(1,0) ,设 C(x1,1﹣x1 ) ,D(x2,1﹣x2 ) ,﹣1 <x1,x2<1, 则 ? =(x1+1) (x2﹣1)+(1﹣x1 ) (1﹣x2 )=(x2﹣1)[(x2+1)x1 +x1﹣x2].
2 2 2 2

记 f(x)=(x2+1)x +x﹣x2,﹣1<x<1. (1)当﹣1<x2≤﹣ 时,则 0<2(x2+1)≤1,﹣ 又 x2+1>0,所以 f(x)在(﹣1,1)上单调递增, 因为 f(﹣1)=0,f(1)=2, 所以 0<f(x)<2.又 x2﹣1<0, 所以 2(x2﹣1)< 根据﹣1<x2≤﹣ , ? <0. ≤﹣1,

则﹣4<

?

<0. <﹣ .

(2)当﹣ <x2<1 时,则 1<2(x2+1)<1,﹣1<﹣ 又 x2+1>0, 所以 f(x)在(﹣1,1)上先减后增,x=﹣

时取的最小值 f(﹣



=﹣[x2+ 又 f(1)=2, 所以 x2+ 又 x2﹣1<0,

],

<f(x)<2.

所以 2(x2﹣1)<

?

≤[x2+

](1﹣x2) .

令 g(x)=x(1﹣x)+ 则 g(x)=﹣x +x﹣ +
2

, ,

g'(x)=1﹣2x﹣

=﹣

=﹣



当﹣ <x< 当

时,g'(x)>0

<x<1 时,g'(x)<0;

所以 g(x)在(﹣ ,1)上先增后减, 所以 g(x)max≤g( )= ﹣ , ? ≤ ﹣ , ﹣ ].

又 2(x2﹣1)>﹣3,所以﹣3< 综上, ?

的取值范围是(﹣4,

故答案为: (﹣4,

﹣ ].

点评:本题以向量为载体,考查了导数和函数的单调性质,最值的关系,构造函数,利用函 数的思想是解决本题的关键,运算量大,属于难题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的所对边的长,若 acosB=1,bsinA= ,且 A ﹣B= .

(1)求 a 的值; (2)求 tanA 的值. 考点:正弦定理的应用. 专题:解三角形. 分析: (1)由正弦定理可知 bsinA=asinB,进而利用 acosB=1,相加即可求得 a. (2)根据第一问先求得 tanB 的值,进而求得 A 和 B 的关系,利用正切的两角和公式求得 答案. 解答: 解: (1)由正弦定理知,bsinA=asinB= ,①, 又 acosB=1,② ①,②两式平方相加,得(asinB) +(acosB) =3, 2 2 因为 sin B+cos B=1, 所以 a= (负值已舍) ; (2)①,②两式相除,得 因为 A﹣B= ∴A=B+ , )= = =﹣3﹣2 , = ,即 tanB= ,
2 2

∴tanA=tan(B+

点评:本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键. 16.如图,在四面体 ABCD 中,AD=BD,∠ABC=90°,点 E,F 分别为棱 AB,AC 上的点, 点 G 为棱 AD 的中点,且平面 EFG∥平面 BCD.求证: (1)EF= BC; (2)平面 EFD⊥平面 ABC.

考点:平面与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用平面与平面平行的性质,可得 EG∥BD,利用 G 为 AD 的中点,可得 E 为 AB 的中点,同理可得,F 为 AC 的中点,即可证明 EF= BC; (2)证明 AB⊥平面 EFD,即可证明平面 EFD⊥平面 ABC. 解答: 证明: (1)因为平面 EFG∥平面 BCD, 平面 ABD∩平面 EFG=EG,平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 EG∥BD,… 又 G 为 AD 的中点, 故 E 为 AB 的中点, 同理可得,F 为 AC 的中点, 所以 EF= BC.… (2)因为 AD=BD, 由(1)知,E 为 AB 的中点, 所以 AB⊥DE, 又∠ABC=90°,即 AB⊥BC, 由(1)知,EF∥BC,所以 AB⊥EF, 又 DE∩EF=E,DE,EF?平面 EFD, 所以 AB⊥平面 EFD,… 又 AB?平面 ABC, 故平面 EFD⊥平面 ABC.…

点评:本题考查平面与平面平行的性质,考查平面与平面垂直的判定,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计) ,易拉罐的 体积为 108πml.设圆柱的高度为 hcm,底面半径半径为 rcm,且 h≥4r,假设该易拉罐的制 2 造费用仅与其表面积有关,已知易拉罐侧面制造费用为 m 元/cm ,易拉罐上下底面的制造 2 费用均为 n 元/cm (m,n 为常数) (1)写出易拉罐的制造费用 y(元)关于 r(cm)的函数表达式,并求其定义域; (2)求易拉罐制造费用最低时 r(cm)的值.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 2 分析: (1)由题意,体积 V=πr h,可求得 h,再由易拉罐的制造费用公式求得费用,根据 函数得意义求得定义域. (2)利用导数求出函数的单调区间,继而求得函数在定义域内的最值. 解答: 解: (1)由题意,体积 V=πr h,得 h= y=2πrh×m+2πr ×n=2π ( 因为 h≥4r,即 (2)令 f(r)= 由 f'(r)=0,解得 r= ①若 R f'(r) f(r) 得,当 r= ②若
2 2



+nr ) .…

2

≥4r,所以 r≤3,即所求函数定义域为(0,3].… +nr ,则 f'(r)=﹣ . .∈(0,3],由 . + 增 ( . ,3]
2

+2nr.

.<1,当 n>2m 时, (0, ﹣ 减 ) . 0

.时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.… .≥1,即 n≤2m 时,由 f'(r)≤0 知 f(r)在(0,3]上单调递减,

当 r=3 时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.…

点评: 本题主要考查导数在实际应用题中的应用, 利用导数求得单调区间求出满足题意的结 果.属于中档题型,在 2015 届高考中时有考查.

18. (16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,

左准线为 l.P 为椭圆 C 上任意一点,直线 OQ⊥FP,垂足为 Q,直线 OQ 与 l 交于点 A. (1)若 b=1,且 b<c,直线 l 的方程为 x=﹣ (i)求椭圆 C 的方程 (ii)是否存在点 P,使得
2 2

?,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
2

(2)设直线 FP 与圆 O:x +y =a 交于 M,N 两点,求证:直线 AM,AN 均与圆 O 相切.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) (i)将 b=1 代入椭圆的方程,根据椭圆的性质从而求出 b,c; (ii)设 P(m,n) , 表示出 P 点的坐标,根据 FP、FQ 的关系从而得到答案; (2)设出 M(x0,y0) ,表示出 A(﹣ 得到 ? 的表达式,从而证出结论. = ,又 a =b +c ,
2 2 2 2

,t) ,求出



的坐标,由

?

=0,求出 t,

解答: 解: (1) (i)由题意,b=1,
2

所以 2c ﹣5c+2=0,解得 c=2,或 c= (舍去) .故 a =5. 所求椭圆的方程为 +y =1. +n =1,即 n =1﹣
2 2 2

(ii)设 P(m,n) ,则



当 m=﹣2,或 n=0 时,均不符合题意; 当 m≠﹣2,n≠0 时,直线 FP 的斜率为 直线 FP 的方程为 y= (x+2) . ,

故直线 AO 的方程为 y=﹣

x,

Q 点的纵坐标 yQ=



所以

=|

|=|

|

=|

|,
2 2



=
2

,得 4m +21m+27=0 ①,或 4m +19m+23=0 ②,

由 4m +21m+27=0,解得 m=﹣3,m=﹣ , 又﹣ ≤m≤ ,所以方程①无解. 2 由于△ =19 ﹣4×4×23<0,所以方程②无解, 故不存在点 P 使 = . ,t) , ,t) . )+ty0=0,

(3)设 M(x0,y0) ,A(﹣ 则 =(x0+c,y0) , =(﹣ ?

因为 OA⊥FM,所以 由题意 y0≠0,所以 t=

=0,即(x0+c) (﹣ ? .

所以 A(﹣



?

) .

因为

=(x0+

,y0﹣

?

) ,

=(x0,y0) ,

所以

?

=(x0+

)x0+(y0﹣

?

)y0

=x0 +y0 +
2 2 2 2

2

2

x0﹣

?
2

y0

=x0 +y0 +
2

x0﹣

x0﹣a

=x0 +y0 ﹣a . 因为 M(x0,y0)在圆 O 上,所以 ? =0.

即 AM⊥OM,所以直线 AM 与圆 O 相切. 同理可证直线 AN 与圆 O 相切.

点评:本题考察了直线和椭圆的关系,考察椭圆的方程问题,考察向量的应用,本题是一道 难题. 19. (16 分)设函数 f(x)=(x﹣a)lnx﹣x+a,a∈R. (1)若 a=0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a<0,试判断函数 f(x)在区间(e ,e )内的极值点的个数,并说明理由; (3)求证:对任意的正数 a,都存在实数 t,满足:对任意的 x∈(t,t+a) ,f(x)<a﹣1. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求解 f′(x)=lnx,利用 f′(x)>0,f′(x)<0,解不等式求解单调递增区间, 单调递减区间. (2)f′(x)=lnx﹣ ,其中 x>0, 再次构造函数令 g(x)=xlnx﹣a,分析 g(x)的零点情况.g′(x)=lnx+1, 令 g′(x)=0,x= ,列表分析得出 g(x)单调性,判断 g(x)min=g( )=﹣ ﹣a, 分类讨论求解①若 a≤﹣ ,②若﹣ <a<﹣ ,③若﹣ ≤a<0,f(x)的单调性,f(x)
﹣2

2

最大值,最小值, 确定有无零点问题. (3)先猜想 x∈(1,1+a) ,f(x)<a﹣1 恒成立. 再运用导数判断证明.令 G(x)=lnx﹣x+1,x≥1.G′(x)= ﹣1≤0,求解最大值, 得出 G(x)<G(1)=0 即可. 解答: 解: (1)当 a=0 时,f(x)=xlnx﹣x,f′(x)=lnx, 令 f′(x)=0,x=1,列表分析 x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) 单调递减 单调递增 故 f(x)的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1,+∞) . (2)f(x)=(x﹣a)lnx﹣x+a,f′(x)=lnx﹣ ,其中 x>0,

令 g(x)=xlnx﹣a,分析 g(x)的零点情况.g′(x)=lnx+1,令 g′(x)=0,x= ,列表分 析 x g′(x) g(x) (0, ) ﹣ 单调递减 0 ( ,+∞) + 单调递增

g(x)min=g( )=﹣ ﹣a, 而 f′( )=ln ﹣ae=﹣1﹣ae,f′(e )=﹣2﹣ae =﹣(2+ae ) ,f′(e )=2﹣ ﹣a) , ①若 a≤﹣ ,则 f′(x)=lnx﹣ ≥0, 故 f(x)在(e ,e )内没有极值点; ②若﹣ <a<﹣ ﹣a)>0, 因此 f′(x)在(e ,e )有两个零点,f(x)在(e ,e )内有两个极值点; ③若﹣ >0, 因此 f′(x)在(e ,e )有一个零点,f(x)在(e ,e )内有一个极值点; 综上所述,当 a∈(﹣∞,﹣ ]时,f(x)在(e ,e )内没有极值点; 当 a∈(﹣ ,﹣ 当 a∈[﹣ )时,f(x)在(e ,e )内有两个极值点;
﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2

2

2

2

=

(2e

2

2

,则 f′( )=ln ﹣ae<0,f′(e )=﹣(2+ae )>0,f′(e )=
2
﹣2

﹣2

2

2

(2e

2

2

≤a<0,则 f′( )=ln ﹣ae<0,f′(e )=﹣(2+ae )≤0,f′(e )=
2
﹣2

﹣2

2

2

(2e ﹣a)

2

2

2

2

,0)时,f(x)在(e ,e )内有一个极值点.

2

(3)猜想:x∈(1,1+a) ,f(x)<a﹣1 恒成立. 证明如下: 由(2)得 g(x)在( ,+∞)上单调递增,且 g(1)=﹣a<0,g(1+a)=(1+a)ln(1+a) ﹣a. 因为当 x>1 时,lnx>1﹣ (*) ,所以 g(1+a)>(1+a) (1﹣ 故 g(x)在(1,1+a)上存在唯一的零点,设为 x0. 由 x (1,x0) x0 f’(x) ﹣ 0 f(x) 单调递减 知,x∈(1,1+a) ,f(x)<max{f(1) ,f(1+a)}. 又 f(1+a)=ln(1+a)﹣1,而 x>1 时,lnx<x﹣1(**) , 所以 f(1+a)<(a+1)﹣1﹣1=a﹣1=f(1) . 即 x∈(1,1+a) ,f(x)<a﹣1. )﹣a=0.

(x0,1+a) + 单调递增

所以对任意的正数 a,都存在实数 t=1,使对任意的 x∈(t,t+a) ,使 f(x)<a﹣1. 补充证明(*) : 令 F(x)=lnx+ ﹣1,x≥1.F′(x)= ﹣ 所以 F(x)在[1,+∞)上单调递增. 所以 x>1 时,F(x)>F(1)=0,即 lnx>1﹣ . 补充证明(**) 令 G(x)=lnx﹣x+1,x≥1.G′(x)= ﹣1≤0, 所以 G(x)在[1,+∞)上单调递减. 所以 x>1 时,G(x)<G(1)=0,即 lnx<x﹣1. 点评:本题主要考查导数与函数单调性的关系,会熟练运用导数解决函数的极值与最值问 题.求函数的单调区间,应该先求出函数的导函数,令导函数大于 0 得到函数的递增区间, 令导函数小于 0 得到函数的递减区间,考查了不等式与导数的结合,难度较大. 20. (16 分)定义:从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列 的一列数叫做{an}的子数列,成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列. (1)求数列 1, , , , 的等比子列; (2)设数列{an}是各项均为实数的等比数列,且公比 q≠1. (i)试给出一个{an},使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程) ; (ii)若{an}存在无穷项的等差子列,求 q 的所有可能值. 考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:新定义;等差数列与等比数列. * 分析: (1)设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为 k(1≤k≤3,k∈N ) ,讨论 k=1, k=2,k=3,由新定义,即可得到; (2) (i)形如:a1,﹣a1,a1,﹣a1,a1,﹣a1,…(a1≠0,q=﹣1)均存在无穷项,等差子 数列:a1,a1,a1,…或﹣a1,﹣a1,﹣a1, (ii)设{ }(k∈N ,nk∈N )为{an}的等差子数列,公差为 d,当|q|>1 时,当|q|<1 时,
* *

=

≥ 0,

运用等比数列的通项和性质,判断推理,即可得到 q=﹣1. * 解答: 解: (1)设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为 k(1≤k≤3,k∈N ) , 当 k=2 时,①设 ,
*

, 成等比数列,则

= ? ,即 m=n+ +2,

当且仅当 n=1 时,m∈N ,此时 m=4,所求等比子数列为 1, , ; ②设 , , 成等比数列,则 = ? ,即 m=n+1+ ﹣2?N ;
*

当 k=3 时,数列 1, , ; , , ; , , 均不成等比,

当 k=1 时,显然数列 1, , 不成等比; 综上,所求等比子数列为 1, , . (2) (i)形如:a1,﹣a1,a1,﹣a1,a1,﹣a1,…(a1≠0,q=﹣1)均存在无穷项, 等差子数列:a1,a1,a1,…或﹣a1,﹣a1,﹣a1, (ii)设{ }(k∈N ,nk∈N )为{an}的等差子数列,公差为 d,
n * *

当|q|>1 时,|q| >1,取 nk>1+log|q|



从而





故| ≥|a1|? 这与|



|=|a1

﹣a1

|=|a1|?

?|

﹣1|

?(|q|﹣1)>|d|, ﹣
n

|=|d|矛盾,故舍去; ,

当|q|<1 时,|q| <1,取 nk>1++log|q| 从而 故| 1|≤|a1|? <2|a1|? 这与| ﹣ ﹣ <| |=|a1 ?| <|d|, |=|d|矛盾,故舍去; , ﹣a1 |+1

|=|a1|?

?|



又 q≠1,故只可能 q=﹣1, 结合(i)知,q 的所有可能值为﹣1. 点评:本题考查新定义的理解和运用,主要考查等差数列和等比数列的通项和性质,考查推 理分析能力,属于中档题和易错题.


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