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顺义区2013届初三第一次统一练习数学试卷2013.4


顺义区 2013 届初三第一次统一练习 数学试卷 2013.4
学校 姓名 准考证号

考 生 须 知

1.本试卷共 5 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4.在答题卡上,选择

题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1. ?3 的倒数是 A. ?

1 3

B.

1 3

C. ?3

D.3

2.据 2013 年 4 月 1 日《CCTV—10 讲述》栏目报道,2012 年 7 月 11 日,一位 26 岁的北 京小伙樊蒙,推着坐在轮椅上的母亲,开始从北京到西双版纳的徒步旅行,圆了母亲的 旅游梦,历时 93 天,行程 3 359 公里.请把 3 359 用科学记数法表示应为
xkb1.com

A. 33.59 ?10

2

B. 3.359 ?10

4

C. 3.359 ?10

3

D. 33.59 ?10

4

3.下面四个几何体中,俯视图为四边形的是

A

B

C

D

4.我区某一周的最高气温统计如下表: 最高气温(℃) 天 数 13 1 15 1 17 2 18 3 )Xk b1. Com C.18,17

则这组数据的中位数与众数分别是( A.17,17 B. 17,18 5.下列计算正确的是 A. a ? a ? a
2 3 5

D.18,18

B. a ? a ? a
2 3

6

C. (a ) ? a
2 3

5

D. a ? a ? a
5 3

2

6. 如图, AB ∥ CD , E 在 BC 上,?BED ? 68? ,?D ? 38? , 点 则 ? B 的度数为 A. 30? B. 34? C. 38? D. 68? 7.若 x, y 为实数,且 x ? 3 ?

A E C

B

? y? y ? 3 ? 0 ,则 ? ? ?x?

2013

D

的值为

A.1 B. ?1 C. 2 D. ?2 8.如图,AB 为半圆的直径, 点 P 为 AB 上一动点,动点 P 从 点 A 出发,沿 AB 匀速运动到点 B,运动时间为 t ,分别以 AP 和 PB 为直径作半圆, 则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的 函数图象大致为

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.分解因式: 3ab2 ? 12ab ? 12a = .ww w.X kb1.coM

10.袋子中装有 3 个红球和 4 个黄球,这些球除颜色外均相同.在看不到球的条件下,随机 从袋中摸出一个球,则摸出红球 的概率是_____________. 11.如图,扇形的半径为 6,圆心角 ? 为 120? ,用这个扇形围 成一个圆锥的侧面,所得圆锥的底面半径为 .

12.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60° ,则菱形 ABCD 的 面积是 ,连结对角线 AC ,以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1 , D2 D1

C2

使 ?D1 AC ? 60° ;连结 AC1 ,再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2 D2 ,使

C1 D A 图 B C

?D2 AC1 ? 60° ;??,按此规律所作的第 n 个菱形的面积为___________.

w

w w .x k b 1.c o m

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
?1 0 13.计算: ( ) ? 4sin 60? ? (? ? 3.14) ? 12 .

1 3

?3 x ? 1 ? 2( x ? 1), ? 14.解不等式组 ? x ? 3 并把解集在数轴上表示出来.新| 课| 标| 第 |一 |网 ? 2 ≥ 1, ?

15.已知:如图, CA 平分 ?BCD , 点 E 在 AC 上, BC ? EC , AC ? DC . D 求证: ?A ? ?D .
A E

16. 已知 a ? 3a ? 2 ? 0 , 求代数式 (
2

3 1 a ? )? 的值. a ?9 a ?3 a ?3
2

2

B C

17.如图,已知 A(?2, ?2) , B ( n, 4) 是一次函数 y ? kx ? b 的图象和反比例函数 y ? 图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求 ?AOB 的面积.

m 的 x

18.某商店销售一种旅游纪念品,3 月份的营业额为 2000 元,4 月份该商店对这 种纪念品打 8 折销售,结果销售量增加 30 件,营业额增加 800 元,求该种纪念 品 3 月份每件的销售价格是多少?
四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.已知:如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E, BD ? DC , ?ABD ? 45? , ?ACD ? 30? ,

A E B

D

AD ? CD ? 2 3 ,求 AC 和 BD 的长 .

C

20.如图, 已知 △ABC , AC 为直径的 ? O 交 AB 于点 D , E 为 以 点

? 的中点, AD
B

连结 CE 交 AB 于点 F ,且 BF ? BC . (1)判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2) ? O 的半为 2, cos B ? 若
Om

3 ,求 CE 的长. Ww W.x kB 1.c 5

E F A O

D

C

21.某课外实践小组的同学们为了解 2012 年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区 部分家庭,并将调查数据进行如下整理, 月均用水量 x (t) 0? x ?5
5 ? x ? 10 10 ? x ? 15 15 ? x ? 20 20 ? x ? 25 25 ? x ? 30

频数(户) 6

频率 0.12 0.24 0.32 0.20

频数(户)

m
16 10 4 2

16 12 8 4 0 5 10 15 20 25 30
月用水量

n
0.04

请解答以下问题: (1)表中 m ? ,n ? ; (2)把频数分布直方图补充完整; (3)求该小区用水量不超过 15t 的家庭占被调查家庭总数的百分比; (4)若该小区有 1500 户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约 有多少户? 22. 如图 1,在四边形 ABCD 中, AB ? CD , E、F 分别是 BC、AD 的中点,连结 EF 并延长,分别与 BA、CD 的延长线交于点 M 、N ,则 ?BME ? ?CNE (不需证明) . BD ,取 BD 的中点 H ,连结 HE、HF ,根据三角形中位 小明的思路是:在图 1 中,连结 线定理和平行线性质,可证得 ?BME ? ?CNE . AC ? AB , 点在 AC 上,AB ? CD , 、F 分别是 BC、AD E D 问题: 如图 2, △ ABC 中, 在 的中点,连结 EF 并延长,与 BA 的延长线交于点 G ,若 ?EFC ? 60° ,连结 GD ,判断 △ AGD 的形状并证明.x k b 1.c o m

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知关于 x 的方程 mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 ? 0 (1)求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根. (2)若关于 x 的二次函数 y ? mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均 为正整数,且 m 为整数,求抛物线的解析式. 24.如图 1,将三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶 点 A 重合.三角板的一边交 CD 于点 F ,另一边交 CB 的延长线于点 G. (1)求证: EF ? EG ; (2) 如图 2,移动三角板, 使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,其他条件不变, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)如图 3,将(2)中的“正方形 ABCD ”改为“矩形 ABCD ” ,且使三角板 的一边经 过点 B ,其他条件不变,若 AB ? a , BC ? b ,求

EF 的值. EG

y

25.如图,已知抛物线 y ? ax ? bx ? 3 与 y 轴交
2

C E A

于点 A ,且经过 B(1,0)、C (5,8) 两点,点 D 是抛 物线顶点, E 是对称轴与直线 AC 的交点, F 与 E 关于点 D 对称. (1)求抛物线的解析式; (2)求证: ?AFE ? ?CFE ; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P ,使 ?AFP 与 ?FDC 相似.若有,请求出所有符合条 件的点 P 的坐标;若没有,请说明理由.

B O D x

w W w.x K b 1. c o m

F

顺义区 2013 届初三第一次统一练习 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 9 10 11 12
w w w .x k b 1.c o m

1 A

2 C

3 D

4 B

5 D

6 A

7 B

8 D

3a(b ? 2)2

3 7

2

3 ( 3) 2 n?1 , 2 2

三、解答题 13.解:原式= 3 ? 4 ? =2

3 ?1 ? 2 3 2

????????????????4 分 ?????????????????? 5 分

14. 解:解不等式 3x ? 1 ? 2( x ? 1) ,得 x ? 3 . ????????????? 1 分

x?3 ≥ 1,得 x ≥ ?1 . 2 ∴不等式组的解集为 ?1 ≤ x ? 3 .
解不等式 在数轴上表示其解集为如图所示
?1 ≤ x ? 3

????????????? 2 分 ????????????? 4 分

?5 ? 4 ?3 ? 2 ? 1 0 1 2 3 4 5

?????????????5 分 15.证明:∵ CA 平分 ?BCD ∴ ?ACB ? ?DCE 在 ?ABC 和 ?DEC 中 ?????????????????1 分

? BC ? EC ? ∵ ??ACB ? ?DCE ? AC ? DC ?
∴ ?ABC ≌ ?DEC ∴ ?A ? ?D 16.解:原式= (

?????????????????3 分

????????????????? 4 分 ?????????????????5 分 ?????????2 分

3 a ?3 a ?3 ? )? 2 (a ? 3)(a ? 3) (a ? 3)(a ? 3) a

=

a a ?3 ? 2 (a ? 3)(a ? 3) a 1 a (a ? 3)

????? ??????????? 3 分

=

=

1 a ? 3a
2

?????????????????? 4 分

∵ a ? 3a ? 2 ? 0
2

∴ a ? 3a ? 2
2

∴原式=

1 2

??????????????????5 分
m 中,得 m ? 4 .新| 课| 标| 第 |一 |网 x

17.解: (1)将 A(?2, ?2) 代入 y ? ∴y?
4 . x

?????????????????????????1 分
4 中,得. n ? 1 x

将 B ( n, 4) 代入 y ?

????????????2 分
??2k ? b ? ?2, 中,得 ?k ? b ? 4. ???3 分 ?

将 A(?2, ?2) , B(1, 4) 代入 y ? kx ? b
? k ? 2, 解得 ?b ? 2. ?

∴ y ? 2x ? 2 .

?????????????????4 分

(2)设直线 AB 与 y 轴交于点 C 当 x ? 0 时, y ? 2 . ∴ OC ? 2 . ∴ S ?AOB ? S ?AOC ? S ?BOC ?

1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?1 ? 3 ?????????5 分 2 2

18.解:设该种纪念品 3 月份每件的销售价格为 x 元, ???????????1 分 根据题意,列方程得

2000 2000 ? 800 ? ? 30 ??????????????????3 分 x 0.8 x 解之得 x ? 50 . ??????????????????????4 分 x ? 50 是所得方程的解. 经检验
答:该种纪念品 3 月份每件的销售价格是 50 元. ??????????5 分 解法二:设 3 月份销售这种纪念品 x 件,则 4 月份销售( x +30)件 ????1 分 根据题意,列方程得

4 2000 2000 ? 800 ? ? ?????????????????3 分 5 x x ? 30 解之得 x ? 40 . ??????????????????4 分 经检验 x ? 40 是所得方程的解 2000 ? 50 (元)????5 分 答:该种纪念品 3 月份每件的销售价格是 40

19 解:∵ BD ? DC ∴ ?BDC ? 90? x k b 1.c o m ∵ ?ACD ? 30? , AD ? CD ? 2 3 , ∴ ?DEC ? 60?, ?DAC ? ?ACD ? 30?,

DE ? CD ? tan 30? ? 2 3 ?

3 ?2 3

∴ EC ? 2 DE ? 4 , ?ADE ? 30? ????????????????1 分 ∴ AE ? DE ? 2 ????????????????????? 2 分∴ AC ? AE ? EC ? 2 ? 4 ? 6 ??????????????????3 分 过点 A 作 AM ? BD ,垂足为 M ∵ ?AEB ? ?DEC ? 60? ∴ AM ? AE ? sin 60? ? 2 ?

3 ? 3 2
? ??????????????????4 分 1

1 M E? A E o s 6? ? 2 c 0 ? 2 ?ABD ? 45? ∵
∴ BM ? AM ? 3

∴ BD ? BM ? ME ? DE ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 20.⑴ BC 与⊙O 相切 证明:连接 AE , ∵ AC 是 ? O 的直径 ∴ ?E ? 90
?

??????????5 分

∴ ?EAD ? ?AFE ? 90? ∵ BF ? BC ∴ ?BCE ? ?BFC 又 ∵ E 为 ? 的中点 AD ∴ ?EAD ? ?ACE ??????????1 分 ∴ ?BCE ? ?ACE ? 90? 即 AC ? BC 又∵ AC 是直径 新 课 标 第 一 网 ∴ BC 是 ? O 的切线 ??????????2 分 (2)∵ ? O 的半为 2 ∴ AC ? 4 , ∵ cos B ?

B E F A O C D

3 5
?

由(1)知, ?ACB ? 90 ,

∴ AB ? 5 , BC ? 3 ∴ BF ? 3 , AF ? 2 ?????????? 3 分 ∵ ?EAD ? ?ACE , ?E ? ?E ∴ ?AEF ∽ ?CEA ,

EA AF 1 ? ? EC CA 2 ∴ EC ? 2 EA ,
∴ 设 EA ? x, EC ? 2 x

??????????4 分

由勾股定理 x ? 4 x ? 16 , x ? ?
2 2

4 5 (舍负) 5

∴ CE ?

8 5 5

??????????5 分 ??????????2 分
频数(户)

21. 解: (1)表中填 m ? 12 ; n ? 0.08 . (2)补全的图形如下图.

16 12 8 4 0 5 10 15 20 25 30
月用水量

??????????3 分 (3) 0.12 ? 0.24 ? 0.32 ? 0.68 . 即月均用水量不超过 15t 的家庭占被调查的家庭总数的 68%. ??????????4 分 (4) (0.08 ? 0.04) ?1500 ? 180 . 所以,该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有 180 户. ??????5 分 22.判断 ?AGD 是直角三角形 证明:如图连结 BD ,取 BD 的中点 H ,连结 HF、HE ,????????1 分 ? F 是 AD 的中点, ∴ HF ∥ AB , HF ? ∴ ?1 ? ?3 . 同理, HE ∥ CD,HE ? ∴ ?2 ? ?EFC .

1 AB ,??????? 2 分 2 1 CD , 2

A

B

G 3 F 1 H 2 E

D C

? AB ? CD,

∴ HF ? HE , ∴ ?1 ? ? 2 . ????????????????3 分

? ?EFC ? 60° , ∴ ?3 ? ?EFC ? ?AFG ? 60° , ∴ ?AGF 是等边三角形.????????????4 分
? AF ? FD ,
∴ GF ? FD ,Ww W.x kB 1.c Om ∴ ?FGD ? ?FDG ? 30° ∴ ?AGD ? 90° 即 △ AGD 是直角三角形.??????????? 5 分 23. (1)证明:①当 m ? 0 时,方程为 ?2 x ? 2 ? 0 ,所以 x ? 1 ,方程有实数根.?? 1 分 ②当 m ? 0 时, ? ? ? ?(3m ? 2) ? ? 4m(2m ? 2)
2

= 9m ? 12m ? 4 ? 8m ? 8m
2 2

= m ? 4m ? 4
2

= (m ? 2)2 ? 0

????????????2 分

所以,方程有实数根 综①②所述,无论 m 取任何实数时,方程恒 有实数根 (2)令 y ? 0 ,则 mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 ? 0

????3 分

2 ????????5 分 m 二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为正整数,且 m 为整数, 所以 m 只能取 1,2
解关于 x 的一元二次方程 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 2 ? 所以抛物线的解析式为 y ? x ? 5x ? 4 或 y ? 2 x ? 8x ? 6 ??????7 分
2 2

24. (1)证明:∵ ?GEB ? ?BEF ? 90°,?DEF ? ?BEF ? 90°, ∴ ?DEF ? ?GEB. 又∵ ED ? BE, ∴ Rt△FED ≌ Rt△GEB. ∴ EF ? EG. ?????????????????????2 分 (2)成立. 证明:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 H 、I, 则 EH ? EI,?HEI ? 90° . ∵ ?GEH ? ?HEF ? 90°,?IEF ? ?HEF ? 90°, ∴ ?IEF ? ?GEH . ∴ Rt△FEI ≌ Rt△GEH . ∴ EF ? EG. ?????????????4 分

(3)解:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 M 、N ,则 ?MEN ? 90°,

EM ∥ AB,EN ∥ AD. EM CE EN ? ? . ∴ AB CA AD EM AD a ? ? . ?????????????5 分 ∴ EN AB b ∴ ?GME ? ?MEF ? 90°,?FEN ? ?MEF ? 90°, ∴ ?MEN ? ?GEM . ∴ Rt△FEN∽Rt△GEM . ww w.X kb1.coM EF EN b ? ? . ?????????????7 ∴ EG EM a
分 25.解: (1)将点 B(1,0)、C (5,8) 代入 y ? ax2 ? bx ? 3 得

y

N E

C

?a ? b ? 3 ? 0 ? ?25a ? 5b ? 3 ? 8
解之得 ?

????????1 分

?a ? 1 , ?b ? ?4

A

M B

所以抛物线的解析式为 y ? x2 ? 4x ? 3 ????????2 分 (2)由(1)可得抛物线顶点 D(2, ?1)
[来源:学*科*网]

O D

x

????????3 分 直线 AC 的解析式为 y ? x ? 3
F

由 E 是对称轴与直线 AC 的交点,则 E (2,5) 由 F 与 E 关于点 D 对称 ,则 F (2, ?7) ????????4 分 证法一: 从点 A, C 分别向对称轴作垂线 AM , CN ,交对称轴于 M , N 在 Rt ?FAM 和 Rt ?FCN 中

?AMF ? ?CNF ? 900 ,

AM 2 1 3 CN ? ? ? ? MF 10 5 15 NF

所以 Rt ?FAM ∽ Rt ?FCN 所以 ?AFE ? ?CFE ?????????????5 分 证法二:直线 AF 的解析式为 y ? ?5x ? 3 点 C (5,8) 关于对称轴的对称点是 Q(?1,8)

将点 Q(?1,8) 代入 y ? ?5x ? 3 可知点 Q 在直线 AF 所以 ?AFE ? ?CFE (3)在 ?FDC 中,三内角不等,且 ?CDF 为钝角 10 若点 P 在点 F 下方时, 在 ?AFP 中, ?AFP 为钝角 Ww W.x kB 1.c Om 因为 ?AFE ? ?CFE , ?AFE ? ?AFP ? 1800 , ?CFE ? ?CDF ? 1800 所以 ?AFP 和 ?CDF 不相等 所以,点 P 在点 F 下方时,两三角形不能相似 ???????? 6 分 若点 P 在点 F 上方时, 由 ?AFE ? ?CFE ,要使 ?AFP 与 ?FDC 相似

20

只需

AF PF AF PF ? ? (点 P 在 DF 之间)或 (点 P 在 FD 的延长线上) CF DF DF CF
???????????????8 分

解得点 P 的坐标为 (2, ?3) 或 (2,19)

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