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2015年闸北区高三数学一模试卷(理)word


FunshineMaths 峰行数学
闸北区 2014 学年第一学期高三数学(理科)期末练习卷
2014.12.29
一、填空题 1. 若复数

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? 1 ? 2i



2. 若 f ( x ) 为 R 上的奇函数, 当 x ? 0

时, f ( x) ? log 2 (2 ? x) , 则 f( 0 ) ?( f 2 ) 3. 设定点 A(0,1) , 若动点 P 在函数 y ?

?

; ; 个 ;

x?2 则 | PA | 的最小值为 ( x ? 0) 图像上, x

4. 用数字“1,2”组成一个四位数,则数字“1,2”都出现的四位偶数有
* 5. 设 n ? N ,圆 Cn : ( x ? ) ? ( y ? 1) ?

1 n

2

2

4n ?1 ? 1 的面积为 Sn ,则 lim S n ? n ?? 4n ? 1

6. 在 Rt ?ABC 中, AB ? AC ? 3 ,M 、 N 是斜边 BC 上的两个三等分点,则 AM ? AN 的 值为 ;

7. 设函数 f ( x) ?

15 若存在 x0 ? (?1,1) 同时满足以下条件: ① 对任意的 x ? R , sin(? x) , 2
; ;

都有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立;② x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范围是
2

8. 若不等式 x ? x ?1 ? a 的解集是区间 (?3,3) 的子集,则实数 a 的取值范围为 9. 关于曲线 C : x ? y ? 1,给出下列四个结论:
4 3

① 曲线 C 是双曲线; ③ 关于坐标原点对称; 则其中正确结论的序号是

② 关于 y 轴对称; ④ 与 x 轴所围成封闭图形面积小于 2; ; (注:把你认为正确结论的序号都填上)

二、选择题 10. “ a ? 2 ”是“关于 x, y 的二元一次方程组 ? A. 必要不充分条件; C. 充要条件;

?ax ? 2 y ? 3 有唯一解”的( ? x ? (a ? 1) y ? 1



B. 充分不必要条件; D. 既不充分也不必要条件;

11. 已知等比数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,则下列一定成立的是( A. 若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; C. 若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ; B. 若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; D. 若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 ;



资料整理 谭峰

FunshineMaths 峰行数学
12. 对于集合 A ,定义了一种运算“ ? ” ,使得集合 A 中的元素间满足条件:如果存在元素

e ? A ,使得对任意 a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a ,则称元素 e 是集合 A 对运算“ ? ”的
单位元素;例如: A ? R ,运算“ ? ”为普通乘法,存在 1 ? R ,使得对任意 a ? A ,都有

1? a ? a ?1 ? a ,所以元素 1 是集合 R 对普通乘法的单位元素;下面给出三个集合及相应的
运算“ ? ” : ① A ? R ,运算“ ? ”为普通减法; ② A ? {Am?n | Am?n 表示 m ? n 阶矩阵, m ? N* , n ? N*} ,运算“ ? ”为矩阵加法; ③ A ? { X | X ? M } (其中 M 是任意非空集合) ,运算“ ? ”为求两个集合的交集; 其中对运算“ ? ”有单位元素的集合序号为( A. ①②; B. ①③; ) D. ②③;

C. ①②③;

三、解答题 13. 请仔细阅读以下材料:已知 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数; 求证:命题“设 a, b ? R + ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题; 证明:因为 a, b ? R + ,由 ab ? 1 得 a ?

1 a

1 b

1 ?0 b

又因为 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数

1 b 1 同理有 f (b) ? f ( ) a
于是有 f (a ) ? f ( )

① ②

由①+②得 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( )
+ 故命题“设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题

1 a

1 b

1 a

1 b

请针对以上阅读材料中的 f ( x ) ,解答以下问题:
+ (1)试用命题的等价性证明: “设 a, b ? R ,若 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ,则 ab ? 1 ”

1 a

1 b

是真命题; (2)解关于 x 的不等式: f (a
x ?1

; ) ? f (2x ) ? f (a1? x ) ? f (2? x ) (其中 a ? 0 )

资料整理 谭峰

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14. 如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC , 该曲线段是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? (0, ? )) , x ? [?4, 0] 的图像,图像的 最高点为 B(?1, 2) ,边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD ,且 CD ∥ EF ,游乐场的后 一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 DE ; (1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米,现准备从入口 G 修一条 笔直的景观路到 O ,求景观路 GO 的长; (3)如图 ,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ ,平行四边形的一边在 海岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,且 ?POE ? ? ,求平 行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 ? 的值;

15. 已知 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,椭圆 C 过点 (? 3,1) a 2 b2

且与抛物线 y 2 ? ?8x 有一个公共的焦点; (1)求椭圆 C 方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过右焦点 F2 ,且与椭圆交于 A, B 两点,求弦 AB 的长; (3) P 为直线 x ? 3 上的一点,在第(2)题的条件下,若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程;

16. 设数列 {an } 满足: ① a1 ? 1 ; ② 所有项 an ? N* ; ③ 1 ? a1 ? a2 ? … ? an ? an?1 ? …; 设集合 Am ? {n | an ? m, m ? N*} ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,换句话说, bm 是 数列 {an } 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值, 我们称数列 {bn } 为数列 {an } 的伴 随数列,例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3; (1)若数列 {an } 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 {an } ; (2)设 an ? 3n?1 ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 100 项之和; (3)若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 列 {bn } 前 m 项和 Tm ; 资料整理 谭峰

3 2 1 n ? n ? c (其中 c 为常数) ,试求数列 {an } 的伴随数 2 2


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