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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:2-4-2抛物线(Word有详解答案)


2.4.2

抛物线的简单几何性质

双基达标

?限时 20 分钟? ( ).

1. 经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是 A.6x-4y-3=0 C.2x+3y-2=0 B.3x-2y-3=0 D.2x+3y-1=0

1 1

解析 设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0, 抛物线 y2=2x 的焦点 F( , 0), 所以 3× -2×0 2 2 +c=0, 3 所以 c=- ,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.选 A. 2 答案 A 2. 过点(1, 0)作斜率为-2 的直线, 与抛物线 y2=8x 交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长为 A.2 13 C.2 17 B.2 15 D.2 19 ( ).

解析 不妨设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中 x1>x2.由直线 AB 斜率为-2, 且过点(1, 0)得直线 AB 的方程为 y=-2(x-1), 代入抛物线方程 y2=8x 得 4(x-1)2=8x, 整理得 x2-4x+1=0, 解得 x1=2+ 3, x2=2- 3, 代入直线 AB 方程得 y1=-2-2 3, y2=2 3-2.故 A(2+ 3,-2-2 3),B(2- 3,2 3-2). |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2=2 15. 答案 B 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2, 则该抛物线的准线方程为 A.x=1 C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 ( ).

p p 解析 抛物线的焦点为 F( ,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x=y 2 2 p p + ,代入 y2=2px 得 y2=2p(y+ )=2py+p2,即 y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得 2 2

y1+y2 =p=2(y1,y2 分别为点 A,B 的纵坐标),所以抛物线方程为 y2=4x,准线方程为 x 2 =-1. 答案 B 4.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛物线 方程为________. 解析 ∵过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍. ∴所求抛物线方程为 x2=± 16y. 答案 x2=± 16y → → 5.已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA·AF=-4, 则点 A 的坐标是________. y02 解析 ∵抛物线的焦点为 F(1,0),设 A( ,y0), 4
2 y02 → y0 → 则OA=( ,y0),AF=(1- ,-y0), 4 4

→ → 由OA·AF=-4,得 y0=± 2, ∴点 A 的坐标是(1,2)或(1,-2). 答案 (1,2)或(1,-2)

6.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为 4; (2)顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴. p p 解 (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知:顶点到准线的距离为 ,故 =4,p=8.因 2 2 此,所求抛物线的标准方程为 y2=± 16x 或 x2=± 16y. x2 y2 (2)双曲线方程 16x2-9y2=144 化为标准形式为 - =1,中心为原点,左顶点为(-3, 9 16 0), 故抛物线顶点在原点, 准线为 x=-3.由题意可设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0), p 可得 =3,故 p=6.因此,所求抛物线的标准方程为 y2=12x. 2

综合提高(限时 25 分钟)
7.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA| =2|FB|, 则 k= ( ).

1 A. 3

B.

2 3

2 C. 3

2 2 D. 3

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易知 x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,
?y=k(x+2), ? 由? 2 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, ?y =8x, ?

∴x1x2=4, p ∵|FA|=x1+ =x1+2, 2 p |FB|=x2+ =x2+2,且|FA|=2|FB|, 2 ∴x1=2x2+2. 由①②得 x2=1, 2 2 ∴B(1,2 2),代入 y=k(x+2),得 k= .故选 D. 3 答案 D





8.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自 M,N 向准线 l 作垂线, 垂足分别为 M1, N 1, 则∠M1FN1 等于 A.45° B.60° C.90° ( D.120° ).

解析 如图,由抛物线的定义, 得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|. ∴∠MFM1=∠MM1F, ∠NFN1=∠NN1F. 设准线 l 与 x 轴的交点为 F1, ∵MM1∥FF1∥NN1, ∴∠MM1F=∠M1FF1, ∠NN1F=∠N1FF1. 而∠MFM1+∠M1FF1+∠NFN1+∠N1FF1=180°, ∴2∠M1FF1+2∠N1FF1=180°,即∠M1FN1=90°. 答案 C 9.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物线 方程是________. 解析 该等边三角形的高为 3 3 1 3 1 .因而 A 点坐标为?± , ?或?± ,- ?.可设抛物线方 2 2? ? 2 2? ? 2

3 3 程为 y2=2px(p≠0).A 在抛物线上,因而 p=± .因而所求抛物线方程为 y2=± x. 12 6 3 答案 y2=± x 6 10.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析 抛物线的方程为 y2=4x, 设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),
?y12=4x1, ? 则有 x1≠x2,? 2 ? ?y2 =4x2.

两式相减得,y12-y22=4(x1-x2), y1-y2 4 ∴ = =1, x1-x2 y1+y2 ∴直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 答案 y=x 11.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15,求抛物线 的方程. 解 设抛物线的方程为 y2=2px,
?y2=2px, ? 则? 消去 y,得 ?y=2x+1, ?

4x2-(2p-4)x+1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), p-2 1 x1+x2 = ,x1x2= . 2 4 |AB|= 1+k2|x1-x2|= 5 (x1+x2)2-4x1x2 = 5 则 p-2 2 1 ( ) -4× = 15. 2 4 p2 -p= 3,p2-4p-12=0, 4

p=-2 或 6.∴y2=-4x 或 y2=12x. 12.(创新拓展)如图,已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A、B 两点都在抛 物线上,且∠AOB=90°.

(1)证明直线 AB 必过一定点; (2)求△AOB 面积的最小值. 1 (1)证明 设 OA 所在直线的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OB 的方程为 y=- x, k
?y=kx, ?x=0, ? ? 由? 2 解得? 或 ?y =2x, ?y=0, ? ?

?x=k , ? 2 ?y=k,
2

2

2 2 即 A 点的坐标为( 2, ). k k 1 ? ?y=-kx, 同样由? 解得 B 点的坐标为(2k2,-2k). ? ?y2=2x, 2 +2k k ∴AB 所在直线的方程为 y+2k= (x-2k2), 2 2 -2k k2 1 化简并整理,得( -k)y=x-2. k 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数,当 x=2 时,恒有 y=0. 故直线过定点 P(2,0). (2)解 由于 AB 所在直线过定点 P(2,0),所以可设 AB 所在直线的方程为 x=my+2.

?x=my+2, ? 由? 2 消去 x 并整理得 y2-2my-4=0. ?y =2x, ?

∴y1+y2=2m,y1y2=-4. 于是|y1-y2|= (y1-y2)2= (y1+y2)2-4y1y2= (2m)2+16=2 m2+4. 1 S△AOB= ×|OP|×(|y1|+|y2|) 2 1 1 = |OP|·|y1-y2|= ×2×2 m2+4=2 m2+4. 2 2 ∴当 m=0 时,△AOB 的面积取得最小值为 4.


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