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用“补集思想”解题


用“补集思想”解题
联系电话:13613990208 或 037768813258 地址:河南省唐河县第一高级中学 王金峰 邮编 473400 email: tanghewjf@163.com 在集合运算中,大家都知道这样一个性质: A ? (CU A) ? U ,这个性质在解题中非常有用。 例 1、已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若 A∩B≠φ ,求实数 a 的取值范围。 分析:本题若直接去解,情形较复杂,也不容易求得正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,同 样也可以求解。 2 解:易解得 A={y|y>a +1 或 y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当 A∩B=φ 时 a 的 范围。如图 由?
2 2 2 2

?a ? 2 ?a ? 1 ? 4
2

,得 ?

?a ? 2 ?a ? 3或a ? ? 3

a 2

4 a2+1

∴a ? ? 3或 3 ? a ? 2. 即 A∩B=φ 时 a 的范围为 a ? ? 3 或 3 ? a ? 2 .而 A∩B≠φ 时 a 的范围显然是其补集,从而,易知所 求范围为 a | a ? 2或 ? 3 ? a ? 3 . 评注:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其 解,这就是“补集思想” 。 例 2、若下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,试求 实数 a 的取值范围。 分析:本题的正面有七种情形需要考虑,而其反面只有一种,即“三个方程均无实根” 。故先考虑其反 面是捷径。

?

?

1 ? 3 ?? 2 ? a ? 2 ?? 1 ? (4a ) ? 4(?4a ? 3) ? 0 ? ? 1 ? 2 2 ? ?a ? ?1或a ? 解:若三个方程均无实根,则有 ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 3 ? ? 2 ?? 3 ? (2a ) ? 4(?2a ) ? 0 ?? 2 ? a ? 0 ? ?
2

??

3 ? 3 ? ? a ? ?1 。设 A= ? x ? a ? ?1? 2 ? 2 ?

于是三个方程至少有一个方程有实根的实数 a 的取值范围为

? ? 3 CU A ? ?a a ? ? 或a ? ?1? 2 ? ?
例 3、若 x、y、z 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

,求证:a、b、c 中至

少有一个大于 0. 分析:本题直接证明不仅情形较多,而且难于找到思路。若我们能够证明其反面不能成立,则就能肯 定其正面成立。 证明:假设 a、b、c 均小于等于 0,则 a+b+c≤0,

又 a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π -3>0 恒成立, ∴假设错误,故原命题成立,即 a、b、c 中至少有一个大于 0. 评注:本题实际是一种反证法,由此可以知道,反证法的理论依据其实就是这种“补集思想” 。 总之, “补集思想”在数学中的应用很广,在今后的学习中我们还将多次应用,希望同学们要熟练地 应用它,这将会给你的解题带来很大的帮助。


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