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§3.1 导数的概念及其运算


步步高大一轮复习讲义

导数的概念及其运算

山东金榜苑文化传媒集团

知识网络
函数的平均变化率 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线的斜率

导数概念

运动的平均速度

曲线的割线的斜率

导 数 及 其 应 用

r />
基本初等函数求导

导 数

导数计算 导数四则运算法则 函数的单调性研究 函数的极值与最值 导数应用 曲线的切线 变速运动的速度 生活中最优化问题

一般步骤:1.建模,列关系式; 2.求导数,解导数方程; 3.比较区间端点函数值与极值,找到 最大(最小)值.

要点梳理

忆一忆知识要点

?y 若Δx=x2-x1,Δy=f(x2 )-f(x1),则平均变化率可表示为___. ?x

1. 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为____________, x2 ? x1

2. 函数y=f(x)在 x=x0处的导数 (1) 定义 f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) lim 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率___________ ?x ?0 ?x ?y ? lim _______为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 ?x ? 0 ? x

y? |x ? x0 .

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即 f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x
主页

要点梳理
(2)几何意义

忆一忆知识要点

函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)的几何意义是在曲线 切线的斜率 ( x0,f ( x0 )) y=f(x)上点___________处的____________.相应地,切

y ? y0 =f ?( x0 )( x ? x0 ) 线方程为____________________.
3.函数 f(x) 的导函数

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim 称函数______________________ 为f(x)的导函 ?x ?0 ?x

数,导函数有时也记作y′.
主页

要点梳理

忆一忆知识要点

4.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 ① c? ? 0 f(x)=c

f(x)=xn f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx

② ( x n )? ? nx n?1 ③ (sin x )? ? cos x ④(cos x )? ? ? sin x

? ? a x ln a(a ? 0) ⑤(a )
x

⑥ (e x )? ? e x
⑦ (loga x )? ?
主页

⑧ (ln x )? ? 1 x

1 (a ? 0且a ? 1) x ln a

要点梳理

忆一忆知识要点

5.导数运算法则 (1) ( f ( x ) ? g( x ))? ? f ?( x ) ? g?( x ) (2) ( f ( x ) ? g( x ))? ? f ?( x ) ? g( x ) ? f ( x ) ? g ?( x ) f ( x) f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g ?( x ) (3) ( )? ? g( x ) g2 ( x) (4) (cf ( x ))? ? cf ?( x )

主页

要点梳理

忆一忆知识要点

6. “过某点的切线”与 “在某点处的切线”的区别; ①过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一 定在已知曲线上; ②在点P处的切线,必以点P为切点. ③解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点 坐标为P(x0, y0),然后求其切线斜率k=f '(x0),写出 其切线方程.

主页

要点梳理
7. 切线与公共点

忆一忆知识要点

y

l2

M
O

l1

N

P

x

若直线与曲线有不止一个公共点, 则直线可能是曲线的切线.
若直线与曲线有唯一公共点, 则直线与曲线不一定相切;
主页

基础自测

题号

答案
3
2
?2
(1, 0)

1 2 3

4
5
主页

B

题 型一
【例 1】求函数 y ?

利用导数的定义求函数的导数

x 2 ? 1在 x0 到 x0 +Δ x 之间的平均变化率.
2 x0 ?x ? ?x 2 ( x0 ? ? x ) 2 ? 1 ? x0 2 ? 1

解: ( x0 ? ?x )2 ? 1 ? x0 2 ? 1 ?
? ( x0 ? ? x ) 2 ? 1 ? x0 2 ? 1 ( x0 ? ? x ) ? 1 ?
2

x0 ? 1
2

?

2 x0 ? ?x ?y ? ? . ?x ( x0 ? ?x )2 ? 1 ? x0 2 ? 1

探究提高
求函数 f(x)平均变化率的步骤: ①求函数值的增量 ?f? ? (fx(2x2?) ?(f 1 ) 1 ) ①求函数值的增量 ?f f ) f x( x ( ? f ?f f ? (fx( x2 ) ?( f 1 )x1 ) . 2)? f x ②计算平均变化率 ?x ②计算平均变化率 ?x ? x2 x2 x1 x1 . ? ? 解这类题目仅仅是简单套用公式,解答过程相对简单,只要 注意运算过程就可以了. 主页

变式训练 1

利用导数的定义求函数的导数: 1 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数;(2)f(x)= . x+2 x 1 1 1 1 -1 -1 1+Δx -1 -1 Δy f(1+Δx)-f(1) 1+Δx Δy 解:(1) Δy f(1+Δx)-f(1) = 1+Δx f(1+Δx)-f(1) Δy Δx= f(1+Δx)-f(1) = 1+Δx Δx 解:(1) = 解:(1) = = Δx 解:(1)= = Δx Δx Δx Δx Δx 1- Δx Δx ΔxΔx 1+Δx 1-(1+Δx) 1- 1+Δx 1-(1+Δx) = 1- 1+Δx 1-(1+Δx) 1-Δx 1+Δx =Δx 1-(1+Δx) 1+Δx) 1+Δx = 1+Δx(1+ = = = Δx 1+Δx= Δx 1+Δx(1+ 1+Δx) = Δx 1+ΔxΔx Δx 1+Δx(1+-1 1+Δx) Δx 1+Δx 1+Δx(1+ 1+Δx) -Δx -Δx -1 = = , -Δx -1 = = 1+Δx+1+Δx , -Δx -1 Δx( = Δx( 1+Δx+1+Δx) = 1+Δx+1+Δx, 1+Δx+1+Δx) = = Δx( 1+Δx+1+Δx) 1+Δx+1+Δx,1 1+Δx+1+Δx -1 Δy Δx( 1+Δx+1+Δx) -1 Δy 1 ∴f′(1)= lim Δy lim = → =- 1 . -1 2. Δx→0 Δx = lim 1+Δx+1+Δx =- . Δx 0 ∴f′(1)= lim -1 Δy 1 ∴f′(1)= lim0 Δx= lim0 1+Δx+1+Δx=- 2 Δx→ Δx→ →0 = lim →0 Δx Δx Δx ∴f′(1)= lim =- 2 . 1+Δx+1+Δx 1 →0 Δx →0 1 2 Δx Δx 1+Δx+1+Δx 1 - 1 1 1 x+2 - Δy f(x+Δx)-f(x) x+2+Δx -1 1 Δy f(x+Δx)-f(x) x+2+Δx x+2 (2) Δy f(x+Δx)-f(x) x+2+Δx x+2 = = - Δx (2) Δx = = = (2) Δx = 主页 Δx x+2+ΔxΔx x+2 Δx Δy f(x+Δx)-f(x)

1 1 - 1 Δy f(x+Δx)-f(x) x+2+Δx 1x+2 - (2) = f(x+Δx)-f(x) = x+2+Δx 1x+2 ΔxΔy Δx Δx 1 (2) 1= = 1 Δxf(x+Δx)-f(x) x+2+Δx-x+2 Δx Δx - Δy x+2 = -f(x)(2)x+2+Δx Δx = = Δx (x+2)-(x+2+Δx) Δx -1 Δx -1 == (x+2)-(x+2+Δx) = = , Δx(x+2)(x+2+Δx) (x+2)(x+2+Δx), (x+2)(x+2+Δx) Δx(x+2)(x+2+Δx)

(x+2)-(x+2+Δx) -1 = = , x+2+Δx) Δx(x+2)(x+2+Δx) (x+2)(x+2+Δx) -1

= , x+2+Δx) (x+2)(x+2+Δx) -1 Δy 1 -1 Δy = lim ∴f′(x)= lim ∴f′(x)= lim ΔyΔx=Δx→0 (x+2)(x+2+Δx)=-(x+2)2. lim =- Δx→0 →0 Δx →0 (x+2)(x+2+Δx) 1 -1 Δx Δx (x+
∴f′(x)= lim →
Δx 0

-1 y 1 = lim =- 2. →0 (x+2)(x+2+Δx) x Δx (x+2)
主页

Δx

= lim →

Δx 0

=- 2. (x+2)(x+2+Δx) (x+2)

题 型二
x

导数的运算

【例 2】求下列函数的导数:

?x2+1+ 13?; (1)y=e · x; ln (2)y=x? x x? ? ? x x ? 1 -1? (3)y=x-sin cos ; (4)y=( x+1)? 1 ?. 2 2x x ?x1x x x x 11 11·=e? (ln x+ ). 11 解:(1)y′=(e·ln x)′=eln x+e ·x x (ln 11 ). x x xx x ln x+e x x lnln 解:(1)y′=(eln· x)′=elnx+e11 x=e (ln x+1). x 解:(1)y′=(e · x)′=e ln x+e· xxx x (ln x+ x). xx · x)′=e x x x·=e 解:(1)y′=(elnx)′=exln x+ex·=e =e x+ x+x 解:(1)y′=(e · x)′=e ln · 解:(1)y′=(ex· x)′=e ln x+e xxxx (ln x+ ).x). ln ·=e(ln x+x ln =e (ln xx). 3 112,∴y′=3x222 23. 1 2 - (2)∵y=x+1+ 2,∴y′=3x2- 23. 3 3 +1+ 1,∴y′=3x2-2 3. x 1 (2)∵y=x 1 (2)∵y=x +1+ xx 3 3+1+ 1 ,∴y′=3x2- 2x 3 (2)∵y=x3+1+2x22,∴y′=3x2- .x . (2)∵y=x+1+ 2 ,∴y′=3x- 3 (2)∵y=x +1+ x2,∴y′=3x22- 33.. x xx x x x x (3)先使用三角公式进行化简,得 (3)先使用三角公式进行化简,得 (3)先使用三角公式进行化简,得 (3)先使用三角公式进行化简,得 (3)先使用三角公式进行化简,得 (3)先使用三角公式进行化简,得 (3)先使用三角公式进行化简,得 xxcos xx=x-1sin x, y=x-sin cosx =x-1sin x, x xcosx x=x-11 2 x, y=x-sinx x y=x-sin cos2x =x-1 sin2x, x 2 cos 2 22 1 2sin x, y=x-sin cos2 =x- 1 sin y=x-sincos =x- x, y=x-sin 2 21 2=x-2sin 1x, 2 ? 1 sin 2 ? 2 121 2 x 2sin ?x1 1 sin x?)′=x′- (sin x)′=1-1cos x. 1 ? y? ? ?x- sin?x? 1 ? ( x- ∴y′= 1 1sin ?2 ′=x′- (sin x)′=1-1 cos x. 1 1cos x. ∴y′= 1 22 ′=x′- 1 x)′=1- ∴y′=x-? sin2?x ? ?? 1 (sin2x)′=1- 11 22 ?x- ∴y′=? ?x-2 sin x ′=x′- (sin x)′=1- cos x. ?x-?12 xx?′=x′- 2(sin x)′=1- cos x. ? ∴y′= sin x ?′=x′- 12 2 (sin 2 2cos x. ?? 2 ∴y′=?x- sin ′=x′- (sin x)′=1- cos x. 2 ∴y′= ? 主页 2

2

1 ? x ? 1 ?1 (4) y ? x ? x x ?

?x ? x ,

1 2

?1 2

3 1 1 x? 2 ? 1 x? 2 ? ? 1 x ? 1 x ? ? ( x ? 1) ? x . ? y? ? ? 2 2 2 x 2 x2 2 x2

探究提高
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行 化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少 差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导

前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有
时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.

主页

变式训练 2
求下列各函数的导数: x+x5+sin x (1)y= ; x2 ? x? 2 x (3)y=-sin ?1-2cos 4?; 2? ? cos 2x (5)y= . sin x+cos x
1 2

(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); 1 1 (4)y= + ; 1- x 1+ x

x ? x 5 ? sin x =x ? 2 ? x 3 ? sin x , 解: ? y ? (1) x2 x2 ?3 ? y? =( x 2 )? ? ( x 3 )? ? ( sin2x )? x 5 3 x ? 2 ? 3 x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ?2 cos x. =? 2
3

(2) y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11. 主页

(3) ? y ? ? sin x ( ? cos x ) ? 1 sin x, 2 2 2 ? y? ? ( 1 sin x )? ? 1 cos x . 2 2 11 11 2 2 2 (4)∵y= + = = 2, , (4)∵y= 11 x++ 1 1 x= 1-x,, (4)∵y= 1- x 1+ (4)∵y=1- + 1+ x 1-x = 1- x x 1+ x x 1-x 1-x 1- 1+ 22 ? -2(1-x)′ ?? 22 ? ′=-2(1-x)′ = 2 2 -2(1-x)′ 2 2 2. ?′= (1-x)2 = (1-x) ∴y′=? ? ?′=-2(1-x)′= 2. . 2. ∴y′= ?1-x ?′= ∴y′= 1-x = ∴y′=?1-x ? (1-x)2 2 2 (1-x) 2 ? ? 1-x ?? (1-x) (1-x) (1-x) (1-x) cos 2x (5) y= cos 2x =cos x-sin x, cos 2x cos 2x x=cos x-sin x, (5) y= sin x+cos =cos x-sin x, (5) y= x+cos x =cos x-sin x, (5) y= sin x+cos x sin x+cos x ∴y′=-sin x-cos x. ∴y′=-sin x-cos x.x. ∴y′=-sin x-cos

∴y′=-sin x-cos x.

主页

题 型三

导数的几何意义

1 3 4 【例 3】已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程.

1 13 3 4 4 1x x +上,且 y′=x22 2, 解:(1)∵P(2,4)在曲线 y= 1 + 4 解:(1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 4上,且 y′=x , 解:(1)∵P(2,4)在曲线 y=3 3 x3+3上,且 y′=x 2, , 解:(1)∵P(2,4)在曲线 y= 3 3 3 3上,且 y′=x 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为:y′| =x= ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为:y′| 2=4. ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为:y′|xx=2=2=4. ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为:y′|x =4. 2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 即 4x-y-4=0. 即 4x-y-4=0. 即 4x-y-4=0.
主页

题 型三

导数的几何意义

1 3 4 ?x0,1x3+4?, (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A 3 0 3? 3 3 ? 则切线的斜率为:y′|x=x0=x22 2 0. 则切线的斜率为:y′|x=x0=x2 则切线的斜率为:y′|x=x x=x0 则切线的斜率为:y′|x=x0=x02..0. 则切线的斜率为:y′|x= 0 =x 0 1 3 4? 2 1 3 3 ∴切线方程为 y-?3x0+3 4 ? 220(x-x0), 2 ?1x33+4??=x 2 ?? ?1+4?=x 0(x-x0), ∴切线方程为 y- ∴切线方程为 y-?3x0 +=x 0(x-x0 ∴切线方程为 y-?3? 00x03? =x00(x-x0),), ∴切线方程为 3 ?=x ?3 3? 3 ? 2 3 4 2 4 即 y=x22x-2 230+ . 2 · 2 x 4 即y=x00·x-x0++4. y=x 0x- 3 0x3 3 x- x3 + .. 即 y=x0 3 即 y=x0·· 3 0 0 3 即 3 33 2 22 3 4 4 3 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x22-22x332+, 4 P(2,4)在切线上,∴4=2x x0 4 ∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0-30 + 3 3, 0 0 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0 x x3 , ∵点33P(2,4)在切线上,∴4=2x00-3-0+0+ , ∵点 3 2 即 x3-3x22+4=0,∴x3+x22-4x2+4=0, 即 x00-3x2+4=0,∴x30+x2-4x203 3 3 3 0 0 0 0 0 0 +4=0, 0 0 0 0 0
2 2 ∴x20(x00+1)-4(x00+1)(x00-1)=0, ∴x0(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0, 0

∴(x00+1)(x00-2)22=0,解得 x00=-1 或 x00=2, ∴(x0+1)(x 0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x00,y00),则切线的斜率为:x22=1,x00=± 1. (3)设切点为(x0,y 0),则切线的斜率为:x00=1,x0=±1. 0 主页 5 5

题 型三

导数的几何意义

(3)设切点为(x0,y 0),则切线的斜率为:x22=1,x 0=±1. (3)设切点为(x00,y00),则切线的斜率为:x0=1,x00=±1. 1. (3)设切点为(x 0,y0),则切线的斜率为:x2=1,x 0=± 1. 02 (3)设切点为(x ,y ),则切线的斜率为:x0 =1,x =± 0 5? ?1,5??, 切点为(-1,1)或??1,3 ? 5 ? 5?, 切点为(-1,1)或 ?1,3 , 切点为(-1,1)或 1,3 , 切点为(-1,1)或? ?? 3? ?? 5 5 =x-1, ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y-5 ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y- 3=x-1, =x-1, ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y-5=x-1, ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y-3 3 3 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0.

探究提高

利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐

标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其 它的公共点. 主页

变式训练 3 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1, 1),且在点 Q(2,-1)处

与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值.
解:∵y′=2ax+b, 解:∵y′=2ax+b, 解:∵y′=2ax+b, 解:∵y′=2ax+b, 解:∵y′=2ax+b, 解:∵y′=2ax+b, ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=xx=22=4a+b. ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|2= 2=4a+b. ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′| = =4a+b. ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=4a+b. ∴抛物线在Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1. ∴4a+b=1. ∴4a+b=1. ∴4a+b=1. ∴4a+b=1. 又∵P(1, 1) ,,,,Q(2,-1)在抛物线上, 又∵P(1, 1) , Q(2,-1)在抛物线上, 又∵P(1, 1) Q(2,-1)在抛物线上, 又∵P(1, 1) Q(2,-1)在抛物线上, 又∵P(1, 1) Q(2,-1)在抛物线上, ∴a+b+c=1, ∴a+b+c=1, ∴a+b+c=1, ∴a+b+c=1, ∴a+b+c=1, 4a+2b+c=-1. 4a+2b+c=-1. 4a+2b+c=-1. 4a+2b+c=-1. 4a+2b+c=-1.
a=3, ??a=3, ?a=3, ?a=3, ?? a=3, ?? a=3, ? b=-11, 联立①②③解方程组,得??b=-11, 联立①②③解方程组,得 ?b=-11, 联立①②③解方程组,得 ?b=-11, ? 联立①②③解方程组,得 b=-11, 联立①②③解方程组,得 b=-11, ?? c=9. ??c=9. ?c=9. ??c=9. ?c=9.

① ①① ① ① ② ②② ② ②
③③ ③ ③ ③

?c=9.

∴实数 a, b, 的值分别为 3, -11, -11、9. ∴实数 a, b, cc的值分别为 3,3,-11, 9.9. ∴实数 a, b, cc的值分别为3、 -11, 9. ∴实数 a, b, 的值分别为 3, -11, 9. ∴实数 a, b, c 的值分别为 3, -11, 9.

主页

1.一审条件挖隐含 (12分)设函数y=x2 -2x+2的图象为C1 ,函数y=-x2 +ax +b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.
C1 与 C2 有交点(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) →过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系) →两切线的斜率互为负倒数(导数的几何意义) →利用导数求两切线的斜率: →k1=2x0-2,k2=-2x0+a(等价转换) →(2x0-2)(-2x0+a)=-1(交点(x0,y0)适合解析式)
?y0=x2-2x0+2 ? 0 →? ,即 2x2-(a+2)x0+2-b=0 0 2 ?y0=-x0+ax0+b ?

审题路线图

① ②

5 →a+b= (消元) 2 5 5 25 →ab=a?2-a?=-?a-4?2+ ? ? ? ? 16 5 25 →当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16

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2 解:(1)对于CC:y=x22-2x+2,有 y′=2x-2, C11:y=x 2-2x+2,有 y′=2x-2, :y=x 22-2x+2,有 y′=2x-2, 解:(1)对于 解:(1)对于 C 1 :y=x -2x+2,有 y′=2x-2, 解:(1)对于 解:(1)对于 C111:y=x -2x+2,有 y′=2x-2, 2 对于CC:y=-x22+ax+b,有 y′=-2x+a, C22:y=-x 2+ax+b,有 y′=-2x+a, :y=-x 22+ax+b,有 y′=-2x+a, 对于 对于 C 2 :y=-x +ax+b,有 y′=-2x+a, 对于 对于 C222:y=-x +ax+b,有 y′=-2x+a,

设 C1与 C2的一个交点为(x 00,y00), 设 与 的一个交点为(x ,y ), 设 C111 与 C222 的一个交点为(x0,y 0), 设 C 与 C 的一个交点为(x 0,y 0), 设 CC11与 CC22的一个交点为(x00,y00), 由题意知过交点(x 00,y00)的两条切线互相垂直. 由题意知过交点(x ,y )的两条切线互相垂直. 由题意知过交点(x 0,y 0)的两条切线互相垂直. 由题意知过交点(x 0,y 0)的两条切线互相垂直. 由题意知过交点(x00,y00)的两条切线互相垂直. ∴(2x 00-2)(-2x00+a)=-1, ∴(2x -2)(-2x +a)=-1, ∴(2x 0-2)(-2x 0+a)=-1, ∴(2x 0-2)(-2x 0+a)=-1, ∴(2x00-2)(-2x00+a)=-1, 22 2 即4x22-2(a+2)x 0+2a-1=0 4x02-2(a+2)x 0+2a-1=0 00-2(a+2)x0+2a-1=0 即 即 4x0-2(a+2)x +2a-1=0 即 4x 即 4x0 0-2(a+2)x 00+2a-1=0 0 又点(x 00,y00)在 C1与 C2上, 又点(x ,y )在 与 上, 又点(x 0,y 0)在 C111 与 C222 上, 又点(x 0,y 0)在 C 与 C 上, 又点(x00,y00)在 CC11与 CC22上, 2 2 2 0-2x +2 ?yy0=x22-2x 0+2 ?y0=x 02-2x 0+2 ?? 0=x0 ? ? ?? y=x00-2x000+2 ?? y +2 ? ?? 000=x0 -2x0 ? 故有 ? 故有 故有?? 故有 ? 2 2 故有??y =-x222 20+ax0+b ?yy0=-x+ax000+b ?y0=-x00+ax +b ?? 0 ?? ?? =-x0 0+ax+b 0 y ?? 000 =-x0+ax 0 +b
2 2 2-(a+2)x 202-(a+2)x0+2-b=0 ?2x2-(a+2)x 0+2-b=0 ?2x +2-b=0 ?2x 0-(a+2)x00+2-b=0 ?2x 0 ?2x000-(a+2)x00+2-b=0 5 5 55. 由①②消去xx0,可得 a+b= 5.... 00,可得a+b= 0,可得 a+b= 由①②消去 由①②消去 x ,可得 a+b=2 由①②消去 x 由①②消去 x0 0,可得 a+b=22 22 主页

① ① ① ① ①

② ② ② ② ②

审题路线图
55 (2)由(1)知:b= -a, (2)由(1)知:b= 5-a, 2 (2)由(1)知:b=2 -a, 5 5 ? 2 ? 5?5 25 -a =- a- 2?2+ 25 ∴ab=a?2? 5-a?=-?a- 5+ 25. ∴ab=a ?2 -a?=-?a-4 ?2+ . . ? ∴ab=a? 2 ? ? ? ? 4?4? 16 16 ? ? ?25 ? 16 55 ∴当 a= 时,ab 最大= 25. . ∴当 a= 5时,ab 最大= 25. 4 4 时,ab 最大=16 16 ∴当 a= 4 16

本题的切入点是:两曲线有交点(x0,y0),交点处的切线互

相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.

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感悟提高
方法与技巧

1.在 对 导数 的 概念 进 行理 解 时 , 特别 要 注意 f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0 处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导 数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即 (f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的 基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而 且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化 简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运 算失误.
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感悟提高
失误与防范

1.利用导数定义求导数时,要注意到x与Δx的 区别,这里的x是常量,Δx是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分 子的符号,防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过 P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括 了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有 一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

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课时规范训练:P.1-2

作业纸:

聪 明 在 于 勤 奋

天 才 在 于 积华 累罗 , 。 庚

——

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预祝各位同学, 2013年高考取得好成绩!

A组

专项基础训练题组

一、选择题

题号 答案
二、填空题

1 C

2 B

3 A

4. ? 2
5. 5 x ? 16 y ? 3 ? 0 6. 12 x ? 3 y ? 8 ? 0

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三、解答题
7.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1平行于直 线4x-y-1=0, 且点 P0 在第三象限. (1)求P0的坐标; (2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线 l 的方程. 解:(1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 解:(1)由 y=x33+x-2,得 y′=3x2+1, 解:(1)由 y=x+x-2,得 y′=3x2+1,
2 +x-2,得 y′=3x22+x-2,得 y′=3xx=± 由已知令 3x3x23+1=4,解之得 21. 1. 1. 由已知令 +1=4,解之得 x=±+1, 由已知令 3x +1, 解:(1)由 y=x +1=4,解之得 x=±

3

当当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. x=1 +1, 1. +1=4,解之得3x2+1=4,解之得 x=± -2,得 y′=3x2时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 由已知令 x=± 1.

(2)∵直线 l⊥l P ,l1 的斜率为 4, (2)∵直线 l⊥l1 1 的斜率为 4, (2)∵直线在第三象限,∴切线 P0 第三象限,∴切线1,l,l1 的斜率为 4, 的坐标为(-1,-4). 又∵点 P0 l⊥l0 的坐标为(-1,-4). 1 0;当 x=-1 时,y=-4.1 1 ∴直线 l 的斜率为- 的斜率为 4, . 1 ∴直线 l⊥l (2)∵直线 的坐标为(-1,-4). ⊥l1,l1 的斜率为的斜率为-4. . 象限,∴切线 lP的斜率为- ∴直线 l 04, 1,l14 14 1 ∵l . 过切点 ,点 P 的坐标为(-1,-4), ∴直线 l l1 的斜率为 4, P0P0,点0P0 的坐标为(-1,-4), ∵l 斜率为- 过切点 的斜率为-4. 主页

又∵点 P0 P 在第三象限,∴切线 的坐标为(-1,-4). 又∵点 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 在第三象限,∴切线 P 的坐标为(-1,-4). y=0;当 x=1P00在第三象限,∴切线0P0P0 的坐标为(-1,-4). 当 x=-1 1. =4,解之得 x=±时,y=-4.

(2)∵直线 l⊥l1,l 的斜率为 4, (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, (2)∵直线 l⊥l 1,l 的斜率为 4, (2)∵直线 l⊥l1,l1 11的斜率为4, 11 11 . ∴直线 的斜率为- . ∴直线 l 的斜率为- . ∴直线 的斜率为-4 ∴直线 l l的斜率为-44. 4 ∵l 过切点 P0,点 PP的坐标为(-1,-4), ∵l 过切点 P0,点 P 的坐标为(-1,-4), ∵l ∵l 过切点 P0,点 P0 00的坐标为(-1,-4), 0,点 0 的坐标为(-1,-4), 1 111 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), ∴直线 的方程为 y+4=- (x+1), ∴直线 的方程为 y+4=- (x+1), ∴直线 l l的方程为 y+4=-44(x+1), 44 即 x+4y+17=0. 即 x+4y+17=0. 即 x+4y+17=0. 即 x+4y+17=0.

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三、解答题
8.如右图所示,已知A(-1,2)为抛物线C:y=2x2上的 点,直线l1过点A,且与抛物线C相切,直线l2:x=a (a<-1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D. (1)求直线l1的方程; (2)求△ABD的面积S1.

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解: (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 ll11与抛物线 C 的切点, 解: (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 与抛物线 C 的切点, (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 与抛物线 解: (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 lll1 与抛物线 C 的切点, 解: ∵y′=4x,∴直线 l1 的斜率 k=-4, C 的切点, 解: (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 1l1与抛物线 C 的切点, 解: (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 1 与抛物线 C 的切点, ∵y′=4x,∴直线 ll11的斜率 k=-4, ∵y′=4x,∴直线 的斜率 k=-4, ∵y′=4x,∴直线 1 的斜率 k=-4, ∵y′=4x,∴直线 ll111的斜率 k=-4, ∵y′=4x,∴直线 ll 的斜率 k=-4, ∵y′=4x,∴直线 所以直线 l的方程为 的斜率 k=-4, 1 的方程为 y-2=-4(x+1), 所以直线 ll11 的方程为 y-2=-4(x+1), 所以直线 的方程为 y-2=-4(x+1), 所以直线 1 的方程为 y-2=-4(x+1), 所以直线 ll111的方程为 y-2=-4(x+1), 所以直线 ll 的方程为y-2=-4(x+1), 所以直线 y-2=-4(x+1), 即4x+y+2=0. 4x+y+2=0. 即 4x+y+2=0. 即 即 4x+y+2=0. 即 4x+y+2=0. 即 4x+y+2=0. 即 4x+y+2=0. (2)点A 的坐标为(-1, 2), A 的坐标为(-1, 2), (2)点 A 的坐标为(-1, 2), (2)点 A 的坐标为(-1, 2), (2)点 A 的坐标为(-1, 2), (2)点 A 的坐标为(-1, 2), (2)点 A 的坐标为(-1, 2), (2)点 2 由条件可求得点 B 的坐标为(a, 2a22), ), 由条件可求得点 B 的坐标为(a,2),2 由条件可求得点 B 的坐标为(a, 2a 22a 由条件可求得点 B 的坐标为(a, 2a 2), 由条件可求得点 B 的坐标为(a, 2a ), 由条件可求得点 B 的坐标为(a, 2a ), 由条件可求得点 B 的坐标为(a, 2a ), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), ∴△ABD 的面积为 ∴△ABD 的面积为 ∴△ABD 的面积为 ∴△ABD 的面积为 ∴△ABD 的面积为 ∴△ABD 的面积为 ∴△ABD 的面积为 11 1 1×|2a22-(-4a-2)|×|-1-a| S11=11 1×|2a22-(-4a-2)|×|-1-a| S = ×|2a 22-(-4a-2)|×|-1-a| = ×|2a S11=2×|2a 2-(-4a-2)|×|-1-a| SS=22×|2a -(-4a-2)|×|-1-a| S111=2×|2a -(-4a-2)|×|-1-a| = -(-4a-2)|×|-1-a| 22 2 3 3 3 3 =|(a+1)33|=-(a+1)33... 3 =|(a+1) |=-(a+1) 3. |=-(a+1) =|(a+1) |=-(a+1) 3.3 =|(a+1) 33|=-(a+1) . =|(a+1) |=-(a+1) 3.. =|(a+1) |=-(a+1) =|(a+1) ? ?(a ? 1)
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解: (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 l1 与抛物线 C 的切点,

B组 一、选择题

专项能力提升题组

题号 答案
二、填空题

1 B

2 D

3 B

4. ? 2, 2? ? ?
5. x ? y ? 2 ? 0
6. ( 3 , 13 ) 2 4
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5π 4.设函数 f ( x ) ? sin ? x 3 ? 3 cos ? x 2 ? tan ? , 其中 ? ? [0, ],

3

2

12

则导数 f ?(1) 的取值范围是

.

f ?( x) ? x 2 ? sin ? ? x ? 3 cos ? .
? f ?(1) ? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? π ), 3 π 又? ? [0, 5 π ]. ?π ≤ ? ?π ≤ 3 , 12 3 3 4 ? 2 ≤ sin(? ? π ) ≤ 1, ? 2 ≤ f ?(1) ≤ 2. 2 3

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b 7.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 x 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式;

三、解答题

7 (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 7 4 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= 7 成的三角形面积为定值,并求此定值. y=x-3. 4 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 b 7x-3. 1 4 解:(1)方程 7x-4y-12=0 ′(x)=a+ 2, 当 x=2 时,y= .又 f 可化为 y=4x-3. b 12 当 x=2 时,y= 1.又 f ′(x)=a+ 2bx , 2 .又 f ′(x)=a+ b2, x 当 x=2 时,y=1 b 1 当 x=2 时,y=2.又 f ′(x)=a+x2, b = 2 x 2a- 1 , ?a=1, 2a-b =1 2 2 ? ?2a-b=2, ?a=1, 2 1, ? ? 于是 解得 于是? 解得??a=1, 2=2, ? ?b=3. 2a- b 7 7 b2 =2 , ??a=1, b=3. ?? ? a+ 于是 a+ = , 解得? 于是 ? b 4 7 4 解得?b=3. ? 4 4 ? a+b=7, ? ?b=3. 3 4=4, a+ 故f(x)=x-3.4 . f(x)=x-x 4 故 x 3 故 f(x)=x-3. 主页 x

? ?? ? ?? ? ? ?

(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ x x2 x 知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0= (1 ? 32 )(3 ? x0 ) , x 知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0= (10? 3 2 )( x ? x0 ) , 知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0= (1 ? x 2 )( x ? x0 ) , x00 3 ) ? (1 ? 3 )( x ? x ) . 即 y ? ( x0 ? 0 3 x3 ) ? (1 ? 0 23 )( x ? x ) . x3 即 y ? (x ? 0 (1 即 y ? ( x00? x0) ?66 ? x 22)( x ? x00) . 6 令 x=0,得 y=-6 6,得交点 AA(0, ?6 6 ). y=- x00 令 x=0,得 y=- ,,得交点 A(0, 令 x=0,得 y=-xxx0,得交点 (0, ? ? x). ). 令 x=0,得 x0 x0x0 x 000 6 0 令 x=0,得 y=-6 , 令 x=0,得 y=-x=0 的交点 A(0, ? 6 ). ). x, 从而得切线与直线 x00 0,得交点 B(2x0, 0). 令 y=x,得 y=x=2x0,得交点 B(2x0, 2x2x0 ). y=x,得 y=x=2x ,得交点 B(2x 2x y=x=2x 令 y=x,得 0 x00, 6 0 6 11A6 ?? 1 从而得切线与直线 x=0 的交点 ? (0,? 6 ). 从而得切线与直线 x=0 的交点?A(0,2x ).x00|=6. ?-? ?|2x ). - 6|2x0|=6. 所以围成的三角形的面积为 S= B(2x 所以围成的三角形的面积为 S= x0 ?|2x 令 y=x,得 y=x=2x0,得交点2 2 0, 0 所以围成的三角形的面积为 S=? ?-x0? x0 0|=6. 2? x0? 1? 6 ? 令 y=x,得 y=x=2x0,得交点 B(2x0,|=6.). y=x 所围成的三角形的面 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形 所以围成的三角形的面积为|S= |-x |2x x=0, 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 2x). y=x 所围成的三角形 令 y=x,得 ? 1 | ? 60,得交点 B(2x0,02x00 S y=x=2x | ? 2 x2? ? 6.? 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=0, 0 0 2 x6. 1? 66 ? 为定值,且此定值为 0 6. 1? - x=0,|=6. 所围成的三角形的面积 所以围成的三角形的面积为 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 为定值,且此定值为 为定值,且此定值为 6. S= 2? xx0?|2x|=6. 所以围成的三角形的面积为 S= - ?|2x00y=x 2? 0? 故曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=0,y=x所围成的 为定值,且此定值为 6. 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=0, 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=0, y=x所围成的三角形的 y=x 所围成的三角形的 三角形的面积为定值,且此定值为6. 为定值,且此定值为 6. 为定值,且此定值为 6. 主页

3 3 x2 3 2 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+

教师备课题库

知识网络

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知识网络
导数的概念

平均变化率与瞬时变化率 平均速度与瞬时速度 导数的几何意义 基本初等函数导数公式

导数 导 数 及 其 应 用
定积分

导数的计算

导数的四则运算

复合函数求导
函数的单调性

导数的应用 定积分的概念
微积分基本定理

函数的极值与最值

生活中的优化问题举例

定积分的简单应用 主页

知识网络
平均速度 瞬时速度 平均变化率 瞬时变化率 导数 基本初等函数导数 公式导数运算法则 导数与函数单调性 导数与极值(最值) 割线斜率 切线斜率

微积分基本定理
曲边梯形的面积 定积分 变速直线运动的路程

定积分在物理、几何中的应用 主页

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例1.求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点 处的切线互相垂直. 证明:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中 一个交点处的切线互相垂直即可.
? x 2 ? y 2 ? 5, ? ? x ? 3, 解方程组 ? 2 得? 2 ? 4 x ? 9 y ? 72. ? ? y ? 2.

得P(3, 2).

不妨证明过P点的两条切线互相垂直. 3 x . 2-y2=5得, y ? x 2 ? 5, ? y? ? ? |x?3 ? ; ? k1 ? y 由x 2 2 x ?5 同理由 4x2+9y2=72

所以两条切线互相垂直.

? k2 ? y? |x?3 ? ? 2 . ? k1 ? k2 ? ?1. 3
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y ? 8 ? 4 x 2 , ? y ? ? ?4 x . ,得 9 9 8 ? 4 x2
9

例2.求抛物线 y=x2 过点 P ( 5 , 6) 的切线方程. 2
解:设此切线过抛物线上的点( x0 , x ),
2 0

y

? f ?( x ) ? 2 x,

? k ? f ?( x0 ) ? 2 x0 ,
解得 x0 ? 2或3.

2 x0 ? 6 ? ? 2 x0 , 5 x0 ? 2

P
O

即切点为(2, , , 4) (3 9).
所以切线方程分别为 y ? 4 x ? 4 和 y ? 6 x ? 9. x

“在某点处的切线”与“过某点的切线”意义不 同,注意审题,后者一定要先“设切点的坐标” .
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【1】求曲线 y ? 1 x 3 + 4 过 点P (2,4) 的切线方程.
解:设切线过曲线上的点( x0 , y0 ),
3 3
? y? ? ( 1 x 3 + 4 )? ? x 2 , 3 3

? k ? y? |x ? x0 ? x0 2 , 即切线的斜率是x02 .
2 3 即 y ? x0 ? x ? 2 x0 ? 4 . 3 3
3 2 y ? ( 1 x0 ? 4 ) ? x0 ( x ? x0 ), 所以切线方程为 3 3

又切线方程过点P(2, 4),
3 ? x0 ? 3 x02 ? 4 ? 0, 解得x0 ? 2 或 ? 1. ? k ? 4, 或1.

所以切线方程分别为 y ? 4 ? 4( x ? 2), y ? 4 ? ( x ? 2). y ? 4 x ? 4 和 y ? x ? 2. 化简得
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【2】曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程
y ? ? 1 x 或 y ? 2x 是————————. 4

解: f'(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k=f'(0)=2, 切线方程为 y=2x.

(2)当切点不是原点时,设切点是(x0, y0),
3 2 2 y0 ? x0 ? 3 x0 ? 2 x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3 x0 ? 6 x0 ? 2, ① 则有 y0 2 又k ? ? x0 ? 3 x0 ? 2, ② x0 3 , k ? y0 ? ? 1 . 由①②得 x0 ? 2 x 4

y ? ? 1 x. ∴所求曲线的切线方程为 4
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0

例 3.

k ? f ?(2) ? 13.

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例 3.

主页

例 3.

主页

例 3.

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1 . (2012· 步 高 原 创 题 ) 若 函 数 f ( x) ? log3 x ? 2 , 则 步

?x?0

lim

f (1 ? 2?x) ? f (1) 的值为( ?x
A. log3 e B. ln 3

D)
C. ?2 ln 3 D. ?2log3 e

? f ?( x) ? 1 log3 e , ? f ?(1) ? log3 e . x f (1 ? 2?x) ? f (1) f (1 ? 2?x) ? f (1) lim ? ? (1) f (1 ? 2?x)?2flim ?x?0 ?x ?0 从而 lim?x ?2?x ?x?0 ?x

f (1 ? 2?x) ? f (1) ? ?2 lim ?x ?0 ? ?2?x 3 e. ?2log
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? ?2 f ?(1)

? 【2】函数 f ( x ) = x( x - 1)( x - 2) 鬃 ( x - 50) 在

y ? 50! x x=0 处的切线方程为______________.
51

( A) 解法一:?yy? x51 ? ?? ((?1) ??(?2) ????((?50)xx, y ? x51 ? ? ? (? 1) (?2) ?? ?50) x, .( A) 解法一:? ? x51 ? ? ? ? ?50)

??y??? (51x50??? (? 50),, ? x ? ? ??y1)?512)50 ? ? ?50 , ( ? ? x ? ? ? 50 x ∴ y?? , ? 50! 在原点处的切线方程为 y ? 50 x . ? 51x50 ? ?∴50 xx??00? 50! .. 在原点处的切线方程为 y ? 50!!x . ?y
x?0

f (fx( x) ?(0) ? lim[( x ? 1)( x ? 2) ?? ? ( x ? 50 ) ? f f (0) ?(0) lim 解法二:f f?(0) ?? lim ? lim[( x ? 1)( x ? 2) ?? ? ( x ? 50)] x0 0 ? x? x ? 0x ? 0 x? x?0 0 f ( x) ? f (0) ? lim[( x ? 1)( x ? 2) ?? ? ( x ? 50)] ) ? lim ? f?(0)? 50!.x ?050!. 在原点处的切线方程为50!? 50! x . 在原点处的切线方程为 y ? y x . x?0 x ? 0 ? f ?(0) ?
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? 50! . 在原点处的切线方程为 y ? 50! x .

0) ? 50!. 在原点处的切线方程为 y ? 50! x .

【3】 对正整数 n , 设曲线 y ? x n (1 ? x ) 在 x ? 2 处的切线

an } 的前 n 项和的公式 与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 { n?1
是____________. 2 ?2
n?1

y? ? nx n?1 ? (n ? 1) x n ? k ? y?

? ?2n?1 ( n ? 2). x?2

n n?1 又切线过(2, -2n), ? y ? 2 ? ?2 ? n ? 2? ( x ? 2). an n ? ? 2n. 令 x ? 0 ? an ? (n ? 1)2 , n?1 n 2(1 ? 2 ) ? Sn ? ? 2n?1 ? 2. 1? 2

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【4】点P在曲线y=x3-x+2上移动时, 过点P 的曲线的切线的倾斜角的取值范围是( C )
A.[0, 3π ] 4 C.[ 3π , π) 4 B.[0, π ) ? ( π , 3π ] 2 2 4 D. [0, π ] ? [ 3π , π) 2 4

k ? 3 x 2 ? 1 ≥ ?1
tan? ≥ ?1, ? ? [0, ? ),

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5. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的 值为( B ).
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0, y0), 则 y0=1+x0, y0=ln(x0+a).
又 y? ? 1 , ? y? | x ? x ? 1 ? 1, x0 ? a x?a
0

即x0+a=1. 又y0=ln(x0+a), ? y0 ? 0, x0 ? ?1.

? a ? 2.
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6.P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, P 到直线
2

2 y ? x ? 2 的距离的最小值是_______.
9. 2

9.? 2 x ? 1 ? 由2 x ? 1 ,? 1,2 x ? ? 1. 切点为(1,1), 由 得 x 1 ? 1, 得 x ? 1. 切点为(1 ? 2 y, ? 2 x y

x

x

x

|1 ? 1 ? 2 | |1 ? 1 ? 2 | ? 2. 它到直线 y ? x ? d ? 它到直线 y ? x ? 2 的距离为2 的距离为 d ?? 2. 2 2

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7. 若曲线 y ? x

?1 2

在点 (a , a

?1 2

) 处的切线与两个坐标围成

的三角形的面积为 18,则 a ? ( C ) (A)16 (B)32 (C)64 (D)8
3 3 1 3 ? ? ?1 ? 1 ?3 3 1 ?3 3 1 ?3 3 y '' ? ? 1 1 2?,2? k ? ? 1 1 2? 2 ? ? x 2 ,? k ? ? a 2 ,切线方程是 y ? a ? 2? 1? ? 11 2?( x ? a) , x a ,切线方程是 y ? a 2 2? ? a 2 ( x ? a) , y y ' ? ? x ,? k ? ? a ,切线方程是 y ? a ? ? aa 2 ( x ? a) , 2 2 2 22 22 22 1 ? 3 ?1 1 x ? 0, y ? a 22 令 x ? 0 , y ? 3 3 2? ,令 y ? 0 , x ? 3a , ? 0, x ? 3 , 令 x ? 0 , y ? aa ,令 y y ? 0 , x ? aa , 3 令 ,令 2 22 1 ? 1 3 ?1 1 Ss ? ? 3a ? a 2 2? 18 ,解得 a ? 64 . ? 所以三角形的面积是 Ss ? 1 13a ? 3 3 2? ? 18 ,解得 a ? 64 . ?? 所以三角形的面积是 Ss ?2 ? ? 3a 2 aa ? 18 ,解得 a ? 64 . ? 所以三角形的面积是 22 22

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8.如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 A B C ,其中 A , , 的坐标分别为(0,4), BC (2,0),(6,4),则 lim
?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) ?2 ? ____ . ?x

f (1 ? ?x ) ? f (1) ? f ?(1) ? ?2 lim ?x ?x?0

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9.设 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,有下列命题: ①存在函数 f ( x ) ,使函数 y ? f ( x) ? f '( x) 为偶函数; ③存在函数 f ( x)( f '( x) ? 0), 使y ? f ( x)与y ? f '( x) 的图象关于 x 轴对称.

②存在函数 f ( x)( f '( x) ? 0) ,使 y ? f ( x)与y ? f '( x) 的图象相同;

其中真命题的序号是____________. 12.①②③ 对于①,存在 f ( x) ? x 2 ? 2 x, 则有 y ? x 2 ? 2 ; 2 2 12.①②③ 对于①,存在 f (2x) ? x ? 2 x, 则有2 y ? x ? 2 ; 对于①,存在 f ( x) ? x ? 2 x, 则有 y ? x ? 2 ; x x x 对于②,取 f ( x ) ? e x , 则 y ? e x与y ? e x 的图象相同; 对于②,取 f ( x ) ? e , 则 y ? e 与y ? e 的图象相同;

①②③

对于③,取 f ( x ) ? e , 则 y ? e 与y ? ?e 对于③,取 f ( x ) ? e , 则 y ? e 与y ? ?e 关于 x 轴对称. 关于 x 轴对称.
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?x ?x

?x ?x

?x ?x

的图象 的图象

10.给出定义: 若函数 f ( x ) 在 D 上可导, f ?( x ) 存在, 即 且导函数 f ?( x ) 在 D 上也可导,则称 f ( x ) 在 D 上存在二阶导函数,记 f ??( x) ? ( f ?( x))? , 若 f ??( x) ? 0 在 D 上恒成立,则称 f ( x ) 在 D 上为凸函数.以下四个函数在

(0, π ) 上不是凸函数的是( 2
(A) f ( x) ? sin x ? cos x (C) f ( x) ? ? x3 ? 2 x ?1

). (B) f ( x) ? ln x ? 2 x (D) f ( x) ? ? xe? x

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(A) 若 f ( x) ? sin x ? cos x , 则 f ??( x) ? ? sin x ? cos x ,在 (0, π ) 上,恒有 f ??( x) ? 0 ;

2

(B)若 f ( x) ? ln x ? 2 x , 则 f ??( x) ? ? 1 ,在 (0, π ) 上,恒有 f ??( x) ? 0 ; 2

x

2

(C)若 f ( x) ? ? x3 ? 2 x ?1 , 则 f ??( x) ? ?6 x ,在 (0, π ) 上,恒有 f ??( x) ? 0 ;

2

(D)若 f ( x) ? ? xe ,
?x 则 f ??( x) ? (2 ? x)e ,在 (0, π ) 上,恒有 f ??( x) ? 0 ,故选 D.

?x

2

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走进高考
1. (2008 辽宁) P 为曲线 C : y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点, 设 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角 ? 的取值范围是 [0, π ] ,则点 P 横坐标的取值范围是(

4

A ).

A. [?1, ? 1 ]

2

B. [?1,0]

C. [0,1]

D. [ 1 ,1]

2

解析 设切点 P 的横坐标为 x0 ,且

y ' ? 2 x0 ? 2 ? tan ? ,

0 ≤ 2 x0 ? 2 ≤1. ∴ x0 ?[?1, ? 1 ]. ? x0 ?[?1, ? 12 ]. 2

?? ? [0, π ], ? ∵ ? ? [0, 4 ] ,∴ 0 ≤ 2 x0 ? 2 ≤1 , 4

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走进高考
2.(2009 陕西)设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为

xn ,令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为

-2

.

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ? ? ? ? ... ? lg ? ?2 2 3 99 100 100

y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 令y=0得切点的横坐标:xn ?

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3.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交 点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为 (A)

1 n

(B)

1 n ?1

(C)

n n ?1

(D) 1

答案:B 解析: 对 y ? xn?1 (n ? N * )求导得y' ? (n ? 1) xn ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的 斜率 k ? n ? 1 ,在点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 y ?1 ? k ( xn ?1) ? (n ? 1)( xn ?1) , 不 妨 设

y ? 0,
选 B.

xn ?

n n ?1 则

1 2 3 n ?1 n 1 x1 ? x2 ?? ? xn ? ? ? ? ... ? ? ? , 故 2 3 4 n n ?1 n ?1

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4.(2010 江西)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出 水面,记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S (t ) (S (0) ? 0) ,则导函数

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y ? S ?(t ) 的图象大致为( y
? ?

y

A ).
?

y

y

o

o

t

t
?

o

t

o

t

(A)

(B)

(C)

(D)

最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数 取零,排除C; 总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除B; 考察A, D的差异在于两肩位置的改变是否平滑, 考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中 断,选择A.
解析

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5.(2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y ?

4 上, ? 为曲线在点 ex ? 1

- π π π 最值的求法,π π 3解题的难点是求 y′= x 3π ?e + (A)[ 0, ) (B)[ , ) (C)( , ] (D)[ , π) 4 4 2 x 2 4 4e x 4 4 4e 的范围,本题利用两次换元,也可利用下 4 ? ?? 6.(D) y ? ?? ? 2 x x 6.(D) y ? ? ? 4ex 2 x 4 x ? 2e x ?1 , xe x 1 2 ? 4 ee 1 ? 解析 y ? ? ? 2 x e 4 x? 2e? ? 1x 方法,y′=- ? 2 ? x,∵e + ? ≥2, 4e x ex ? ? e ? 2e ? 1 , e ? 2 ? 1 x 1 e 2x x 4e x 4 e + x+2 x e ? ? 2e ? 1 x e? ? 2 ? 1 ? ? 2x ? , ex e x e ? 2e ? 1 1 e x ?e2 ? 1 1 x ? e xx≤ y4 ? 0≤1,∴-1≤y′<0. ∴0< , ? e ? x ≥ 2, ??1 ? e x? ≥ 2, ??1 ≤ y? ? 0 , e x 1 e e + x+2 e ≥ 2, ??1 ≤ y? ? 0 , x ? 1 ≥ 2, ??11 ≤ytan ? ,0 ?1 ≤ tan ?? 0 ,?? ? [ 3? , ? ≤ ??0 x ? 即 ?? ? [ 3 ? , ? ) . 即? , 4 e

【阅后报告】 本题考查了求函数的导数 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 ( D ).

an ? ? 0 ,?? ? [ 3π , π)? 3 .? ) . 4 ?1 ≤ tan ? ? 0 ,?? ? [ , 4 主页

4

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x -4ex -4exxx x 4 44 -4e x -4e 44 【解 【解 2】∵y=,∴y′= x 2】∵y= x .xx 解析 2x -4e ... 【解 2】∵y=exxx ,∴y′=?ex +1?222 . 【解 2】∵y= x+1 ,∴y′= x 2 2 e +1 e +1 ,∴y′= +1? 【解 2】∵y= x+1,∴y′=?e +1? 2 eexx+1 ?e +1??e x+1? ?e xx xx xxx xxx 且 t>1, 令 ex+1=t,则 e =t-1=t-1且 t>1, 令 ee+1=t,则 ee=t-1 且 t>1, 令 e e+1=t,则 e ex=t-1且 t>1, 令 +1=t,则 =t-1 且 t>1, 令 x+1=t,则 -4t+4 4 4 4 4 -4t+4 . 4 4 -4t+4 4 4 -4t+4 ∴y′= 2 ∴y′= -4t+4 2224 t ... 2 ∴y′= =22-=t2- t 4. ∴y′= tt22t 2 = t 2- t t = 2- t ∴y′= t 2 =t - t t t 1 11 0<m<1, 11 再令 t =m,则 再令 t =m,则 0<m<1, 再令 t =m,则 0<m<1, 再令 t =m,则 0<m<1, 再令 t =m,则 0<m<1, ? ? 1???? 1????? ??2 11-1,m∈(0,1). 22 ∴y′=4m2-4m=4?m-2??m- 1???2?2? -1,m∈(0,1). ??? ? 222 ? ? ?? ∴y′=4m -4m=4????m-2???2?2-1,m∈(0,1). ∴y′=4m -4m=4???m-2? ?2?2-1,m∈(0,1). ∴y′=4m -4m=4 m- -1,m∈(0,1). ? ∴y′=4m2-4m=4? 2??? ? ??? ? ?? 2? 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 容易求得-1≤y′<0, 3 33 33 ∴-1≤tan α<0,得 π≤α<π. 4 ∴-1≤tan α<0,得 4π≤α<π. ∴-1≤tan α<0,得 π≤α<π. ∴-1≤tan α<0,得 4 π≤α<π. ∴-1≤tan α<0,得 4 π≤α<π. 4

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数学是人类最高超的成就, 也是人类心灵最独特的创新。 音乐能激发或抚慰情怀, 绘画使人赏心悦目, 诗歌能动人心弦, 哲学使人获得智慧, 科学可改善物质生活, 但数学能给予以上的一切。


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