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高一数学必修一函数及其表示-函数的概念


1.2 函数及其表示
§1.2.1 函数的概念
【教学目的】 1、使学生理解函数的概念,明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2、理解函数符号的含义,能根据函数表达式求出定义域、值域; 3、使学生能够正确使用“区间” 、 “无穷大”的记号; 4、使学生明白静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应, 那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数,并将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量 x 的值 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题 1: y =1( x ∈ R )是函数吗? 问题 2: y = x 与 y = 〖投影〗观察对应:

x2 是同一函数吗? x

〖分析〗观察分析集合 A 与 B 之间的元素有什么对应关系?

1

二、讲授新课 函数的概念 (一)函数与映射 〖投影〗函数:设 A,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个 数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数,记作 y = f ( x) , x ∈A。其中 x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫做函数 y = f ( x) 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{ f ( x) | x ∈A},叫做函数 y = f ( x) 的值域。 函数符号 y = f ( x) 表示“ y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f ( x) 。 函数的三要素:对应法则 f 、定义域 A、值域{ f ( x) | x ∈A} 注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 映射:设 A, B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x , 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射. 如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中元素 y ,那么集合 A 中的元素 x 叫集合 B 中元素 y 的原象,集 合 B 中元素 y 叫合 A 中的元素 x 的象. 映射概念的理解 (1)映射 f : A ? B 包含三个要素:原像集合 A,像集合 B(或 B 的子集)以及从集合 A 到集合 B 的对应 法则 f .两个集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则 f 可用文字表述,也可以用符号表 示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的; (2)任意性:集合 A 中的任意一个元素都有像,但不要求 B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合 A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射 f : A ? B 集合 A,B 可为任何集合,其元素可以是物, 人,数等 对于集合 A 中任一元素 a ,在集合 B 中都 有唯一确定的像 对集合 B 中任一元素 b ,在集合 A 中不一 定有原像 函数 y ? f ( x), x ? A, y ? B 函数的定义域和值域均为非空的数集 对函数的定义域中每一个 x ,值域中都有 唯一确定的值与之对应 对值域中每一个函数值,在定义域中都有 确定的自变量的值与之对应

函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗 (1)函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应 f :A→B。这里 A,B 为非空的数集。 (2) A: 定义域,原象的集合;{ f ( x) | x ∈A}:值域, 象的集合,其中{ f ( x) | x ∈A}?B; f : 对应法则, x ∈A, y ∈B (3)函数符号: y = f ( x) , y 是 x 的函数,简记 f ( x) 〖回顾〗 (二)已学函数的定义域和值域:
2

1、一次函数 f ( x) = ax + b ( a ≠0):定义域 R ,值域 R 2、反比例函数 f ( x) =

k ( k ≠0):定义域{ x | x ≠0},值域{y | y≠0} x
4 ac ? b 2 } ; 4a

3、二次函数 f ( x) = ax 2+ bx + c ( a ≠0):定义域 R ,值域:当 a >0 时, {y|y≥

4 ac ? b 2 } 。 4a (三)函数的值:关于函数值 f ( a ) 例析:若 f ( x) = x 2+3 x +1,求 f ( 2) 。
当 a <0 时, {y|y≤ 解: f ( 2) =22+3×2+1=11 〖注意〗 (1)在 y = f ( x) 中 f 表示对应法则,不同的函数其含义不一样; (2) f ( x) 不一定是解析式,有时可能是“列表” 、 “图象” ; (3) f ( x) 与 f ( a ) 是不同的,前者为变数,后者为常数, f ( a ) 是 f ( x) 的一个特殊值。 (四)区间的概念 〖投影〗设 a 、 b 是两个实数,而且 a < b ,我们规定: (1)满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[ a , b ]; (2)满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为( a , b ) ; (3)满足不等式 a ≤ x < b 或者 a < x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为 [ a, b) 、

( a, b] ;
(4)实数集 R 可以用区间表示为(-∞,+∞) ;满足不等式 x ≥ a , x > a , x ≤ b , x < b 的 实数 x 的集合可以分别表示为[ a ,+∞ ) , ( a ,+∞) , (-∞, b ] , (-∞, b ) 。 〖注意〗注意集合与区间之间的关系:区间是数集,表示区间端点的两个实数不能相等,但数集中不等 式两端的两个实数可以相等,如 a ≤ x ≤ a 。 三、实例提升 〖例析〗例 1、设集合 M={ x |0≤ x ≤2},N={ y |0≤ y ≤2},从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示:

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 ② ③ 。 〖解析〗根据对应的含义和函数的概念,可以看出②③能表示 M 到 N 的函数关系。 〖例析〗例 2、求下列函数的定义域:

1 2? x 〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式 y = f ( x) ,而没有指明它的定
① f ( x) ? ② f ( x ) = 3x ? 2 ; ③ f ( x) = x ? 1 + 义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合。 解:①∵ x -2=0,即 x =2 时,分式 而 x ≠2 时,分式

1 ; x?2

1 无意义, x?2

1 有意义 x?2

∴这个函数的定义域是{ x | x ≠2}。
3

2 时,根式 3x ? 2 无意义 3 2 而 3 x +2≥0,即 x ≥ ? 时,根式 3x ? 2 才有意义 3 2 ∴这个函数的定义域是{ x | x ≥ ? }。 3
②∵3 x +2<0,即 x < ? ③∵当 x +1≥0 且 2- x ≠0, 即 x ≥-1 且 x ≠2 时,根式 x ? 1 和分式

1 同时有意义 2? x

∴这个函数的定义域是{ x | x ≥-1 且 x ≠2} 另解:要使函数有意义,必须: x +1≥0 且 2- x ≠0? x ≥-1 且 x ≠2 ∴这个函数的定义域是:{ x | x ≥-1 且 x ≠2} 〖强调〗解题时要注意书写过程,注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知,求函数的定义域就是根据 使函数式有意义的条件, 布列自变量应满足的不等式或不等式组, 解不等式或不等式组就得到所求的 函数的定义域。 求函数的定义域的常见类型: (1)当 f ( x) 为整式时,定义域为 R ; (2)当 f ( x) 为分式时,定义域为使分母不为 0 的 x 的集合; (3)当 f ( x) 为 n 次根式中的偶次根式时,定义域为使被开方式非负的 x 的集合; (4)当 f ( x) 是由几个式子组成时,定义域是使各个式子都有意义的 x 的取值的集合。 〖例析〗例 3、已知函数 f ( x) =3 x 2-5 x +2,求 f (3) , f (? 2 ) , f (a ? 1) 。 〖解析〗解: f (3)=3×32-5×3+2=14;

f (? 2 ) =3×(- 2 )2-5×(- 2 )+2=8+5 2 ; f (a ? 1) =3( a +1)2-5( a +1)+2=3 a 2+ a 。 〖例析〗例 4、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数?
(1) y ? ( x ) 2 ; (2) y ? 3 x 3 ; (3) y ? x 2 〖解析〗解: (1) y = x , x ≥0, y ≥0,定义域不同且值域不同,不是同一个函数; (2) y = x , x ∈ R , y ∈ R ,定义域值域都相同,是同一个函数; (3) y =| x |= ?

? x( x ? 0) , y ≥0;值域不同,不是同一个函数。 ?? x( x ? 0)

〖例析〗例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数?

( x ? 3)( x ? 5) x?3 (2) y1 ? x ? 1 x ? 1
(1) y1 ?

y2 ? x ? 5

(定义域不同) (定义域不同)

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)

f 2 ( x) ? 2 x ? 5 (3) f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 (定义域、值域都不同) 〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。

四、演练反馈 1、函数 f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是(



4

A. (? ,?? )

1 3

B. ( ? ,1)

1 3

C. ( ? , ) )

1 1 3 3

D. ( ?? ,? )

1 3

2、下列各组,函数 f ( x) 与 g ( x) 表示同一个函数的是( A. f ( x) =1, g ( x) = x
0 0

C . f ( x ) = x 2, g ( x ) = ( x ) 4 3、已知函数 f ( x) =2 x -3,求: (1) f (0) , f ( 2) , f (5) ;

x2 B. f ( x ) = x , g ( x ) = x 3 3 D. f ( x ) = x , g ( x ) = ( x ) 9

(2) f [ f ( x)] ; (3)若 x ∈{0,1,2,3},求函数的值域。 4、若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 个, B 到 A 的映射有 个,

A 到 B 的函数有



演练反馈答案:1、B 2、D

3、 (1) f (0) =-3, f ( 2) =1, f (5) =7; (2) f [ f ( x)] =4 x -9; (3)值域为{-3,-1,1,3} 4、81,64,81

五、课堂小结 本节课学习了以下内容:函数是一种特殊的对应 f :A→B,其中集合 A,B 必须是非空的数集; y ? f ( x) 表示 y 是 x 的函数;函数的三要素是定义域、值域和对应法则,定义域和对应法则一经确 定,值域随之确定;判断两个函数是否是同一函数,必须三要素完全一样,才是同一函数; f ( a ) 表 示 f ( x) 在 x = a 时的函数值,是常量;而 f ( x) 是 x 的函数,通常是变量。 【教后札记】

本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念,主要包括函数的概念、三 要素的理解,难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函 数的传统定义,并学习了几类简单的函数,所以在高中重新定义函数时,学生并不陌 生,重要的是让学生认识到它的优越性,从根本上揭示了函数的本质——由定义域、 值域、对应法则三要素构成的整体,通过例题解析让学生充分理解函数的概念。

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〖板书〗函数的概念 (一)函数与映射 函数的三要素:对应法则 f 、定义域 A、值域{ f ( x) | x ∈A} 注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 (二)已学函数的定义域和值域: 1、一次函数 f ( x) = ax + b ( a ≠0):定义域 R ,值域 R 2、反比例函数 f ( x) =

k ( k ≠0):定义域{ x | x ≠0},值域{y | y≠0} x
4 ac ? b 2 } ; 4a

3、二次函数 f ( x) = ax 2+ bx + c ( a ≠0):定义域 R ,值域:当 a >0 时, {y|y≥

4 ac ? b 2 } 。 4a 〖板书〗 (三)函数的值:关于函数值 f ( a ) 例析:若 f ( x) = x 2+3 x +1,求 f ( 2) 。 解: f ( 2) =22+3×2+1=11
当 a <0 时, {y|y≤ 〖板书〗 (四)区间的概念 (1)满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[ a , b ]; (2)满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为( a , b ) ; (3)满足不等式 a ≤ x < b 或者 a < x ≤ b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为 [ a, b) 、

( a, b] ;
(4)实数集 R 可以用区间表示为(-∞,+∞) ;满足不等式 x ≥ a , x > a , x ≤ b , x < b 的 实数 x 的集合可以分别表示为[ a ,+∞ ) , ( a ,+∞) , (-∞, b ] , (-∞, b ) 。

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