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2015高考(理)二轮复习试题:第2章 函数与方程


精品题库试题

理数 1.(2014 山东,8,5 分)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( )

A. [答案] 1.B

B.

C.(1,2)

D.(2,+∞)

[解析] 1.f(x)=

如图,作出 y=f(x)的图象,其中 A(2,1),则 kOA=

.

要使方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数 f(x)与 g(x)的图象有两个不同的交点,由图可

知,

<k<1.

2.(2014 课表全国Ⅰ ,11,5 分)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0, 则 a 的取值范围是( ) A.(2,+ ∞) [答案] 2.C [解析] 2.(1)当 a=0 时,显然 f(x)有两个零点,不符合题意. B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

(2)当 a≠0 时, f '(x)=3ax2-6x,令 f '(x)=0,解得 x1=0,x2=

.

当 a>0 时,

>0,所以函数 f(x)=ax3-3x2+1 在(-∞,0)与

上为增函数,在

上为减

函数,因为 f(x)存在唯一零点 x0,且 x0>0,则 f(0)<0,即 1<0,不成立.

当 a<0 时,

<0,所以函数 f(x)=ax3-3x2+1 在

和(0,+∞)上为减函数,在

上为

增函数,因为 f(x)存在唯一零点 x0,且 x0>0,则 f 又因为 a<0,故 a 的取值范围为(-∞,-2).选 C.

>0,即 a·

-3·

+1>0,解得 a>2 或 a<-2,

3.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,7)已知函数 恰好有三个不同的公共点,则实数 的取值范围是( )

的图像与 轴

(A) [答案] 3. C

(B)

(C)

(D)

[解析] 3. 时, , 所以函数

, 当



时, 可得 , 极大值为

; 当

的极小值为

, 由题意可得

, 解得

.

4. (2014 山西太原高三模拟考试(一),12) 已知方程 同的解 , ( < ),则下面结论正确的是( )

在(0,+∞)上有两个不

[答案] 4. C

[解析] 4. 由题意可得

上有两个不同的解 , ( < ),结合数形结合可得直

线

与曲线

相切于点

, 且

, 则根据导数的几何意义

可得切线的斜率为

,根据两点间的斜率公式可得

,由此可得

,即

,两边同除

可得 s

2

故选 C.

5. (2014 福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在 , 且当 在区间 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

上的函数

满足

,

时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数 上的零点个数为 ( )

[答案] 5. B

[来源:学科网 ZXXK]

[解析] 5. 因为定义在

上的函数

满足

,

,

所以函数

是偶 函数,且关于

对称,

又因为函数

的定义域是

, 所以

,令





极小值 由表中数据可知 的单调减区间为

[来源:Zxxk.Com]

,单调增区间为





时,函数

的极小值为



所以



时取得极大值

,且函数



上是增函数,

所以当

时由 3 个交点;

时只有一个交点,

故函数

在区间

上的零点个数为 4.

6. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),11) 已知函数

其中 为自然对数的底数,若关于 的方程 个实数解,则实数 的取值范围为( )

有且只有一

A. [答案] 6. B

B.

C.

D.

[解析] 6. 先令 一个解,即 应满足 选 B. ; 当

,则 的图像与

,所以

,从而方程

只有 时, .

的图像只有一个交点. 由数形结合可知:当

时交点有且只有一个; 综上所述, 实数 的取值范围为

7. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 8) 下列命题中假命题的是(



A. ?



,使

B.

,函数

都不是偶函数

C. ?

,使

D. ? >0, 函数 [答案] 7.B

有零点

[解析] 7.当

时,

为偶函数,所以是假命题.

,

,

显然为真.

8. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试,8) 已知函数 的零点分别为 小关系是( ) 的大

A. [答案] 8.A

B.

C.

D.

[解析] 8. 由已知 , ,

分别是





的根, 作出 .



的图像,如图所示,由图像可得

9. (2014 广东广州高三调研测试,8) 对于实数 和 ,定义运算“*” :

*



*

,且

关于 的方程为

恰有三个互不相等的实数根





, 则



取值范围是(



A.

B.

C.

D. [答案] 9.A

[解析] 9. 由已知可得

,作出

的图像,不妨设

,由

图像可得

,且

,由重要不等式



又当

时,

,所以

,从而

.

10.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,7)函数

的所有零点之和等于(



A. 2 [答案] 10. C

B. 4

C.6

D. 8

[解析] 10. 函数

的图像关于直线 的一条对称轴, 函数

对称,直线

也是函数

的最小正周期为 2,且在区间

上有一个半周期,所以其与函数 图像都关于直线 对称,所以它们的和为

在区间 .

上有 3 个交点,又因为他们的

11.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,7)已知函数 有零点的实数 的取值范围是( )

,则使函数

A.

B.

C. [答案] 11. C

D.

[解析] 11. 令 , 所以函数 有零点,只需使 在 (0, + .

,当



;当



为增函数, 所以

. 所以欲使

12. (2014 湖北八校高三第二次联考数学 (理) 试题, 10) 函数 直线 与函数 的图像相交于四个不同的点,从小到大,交点横坐标依次记为



,下列说法错误的是( )

A.

B.

C.

D.若关于 的方程 [答案] 12. D

恰有三个不同实根,则

取值唯一

[解析] 12. 根据函数解析可得函数图像如图所示,

由图像可知,选项 D 的说法错误.

13. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,3) 函数 ( )

的零点所在区间是

A.

B.

C.

D. [答案] 13. B

[解析] 13.



上单调递增,又



,所以选 B.

14.(2014 周宁、政和一中第四次联考,2) 函数 ( ) B. C.(0,1) A. [答案] 14. B

的零点所在的区间是 D.(1,2)

[解析] 14. 作函数



的图象,如图,由图知,函数

的零点所在的区

间是

.

15.(2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 12) 若关于 的方程 五个互不相等的实根,则 的取值范 围是( )



A.

B.

C. [答案] 15. D

D.

[解析] 15.

函数

是偶函数,

依题意,函数

的图象与

的图象有五个不同的交点,如图,

由图知,当

时,函数



的图象有两个交点,

由直线

与曲线

相切,

则方程

有等根,即



满足条件,

根据偶函数图象的对称性知

也满足条件,

故所求的 的取值范围是

. , 满足 , 且在区 , 则

16. (2014 天津七校高三联考, 8) 已知定义在 上的奇函数 间[0,2]上是增函数, 若方程 =( ) (A) 0 (B)8 (C) -8 (D)16

在区间[-8,8]上有四个不同的根

[答案] 16. C [解 析] 16. 依题意,此函数是周期函数,又是奇函数,且在 函数示意图,,由 图知,四个交点中两个的横坐标之和为 上是增函数,综合条件得出

,另两个横坐之和为



故四个交点的横坐标之和

.

17. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 9) 函数 程 有五个不同的实数解,则 的取值范围是()

若关于 的方

A. [答案] 17.B

B.

C.

D.

[解析] 17.如图,方程要有五个不同的解,必须 为 只有 2 个解,所以

,所以

,从而 .

,因

要有 3 个解,由数形结合可得:

18. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,10) 已知

和 )

是定义在 上的两个函数,则下列命题正确的的是( (A)关于 的方程 (B)关于 的方程 (C)当 时,对 恰有四个不相等的实数根的充要条件是 恰有四个不相等的实数根的充要条件是





成立

(D)若 [答案] 18. D





成立,则

[解析] 18. 故函数

函数 的图象关于直线 对称,即① 正确;

的图象如图所示,

由图象知, 关于 的方程

恰有四个不相等的实数根的充要条件是

, 故② 正确;



时,



时,



时,





时,不存在

,使得

成立,故③ 错误;

时, 若 , , 成立,则

, ,故④ 正确.

故正确的命题是 D.

19.(2014 广州高三调研测试, 8) 对于实数 a 和 b,定义运算“*” : * 设 ,则 * ,且关于 的方程为 ) 恰有三个互不相等的实数根 ,

, ,

的取值范围是(

A. [答案] 19. A

B.

C.

D.

[解析] 19. 由



,由定义





,即

由于函数



的最大值是 ,由图知,关于 的方程为 ,设 ,则 ,由 ,则

恰有三个互不相 ,

等的实数根 , ,







,即

.



的取值范围是

.

20.(2014 江苏,13,5 分)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,

f(x)= 围是________.

.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范

[答案] 20.

[解析] 20.当 x∈[0,3)时, f(x)= 在[-3,4]上的图象,如图.

=

,由 f(x)是周期为 3 的函数,作出 f(x)

由题意知方程 a=f(x)在[-3,4]上有 10 个不同的根.

[来源:学科网 ZXXK]

由图可知 a∈

.

21.(2014 辽宁,16,5 分)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大

时,

-

+

的最小值为________.

[答案] 21.-2 [解析] 21.设 2a+b=t,则 2a=t-b,由已知得关于 b 的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0 有解,即 6b2-3tb+t2-c=0 有解. 故 Δ=9t2-24(t2-c)≥0,

所以 t2≤

c,

所以|t|max=

,此时 c=

t2,b=

t,2a=t-b=

,

所以 a=

.



-

+

=

-

+

=8

=8

-2≥-2.

22.(2014 天津,14,5 分)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实 数根,则实数 a 的取值范围为________.

[答案] 22.(0,1)∪(9,+∞) [解析 ] 22.记 g(x)=a|x-1|,则 g(x)的图象过定点(1,0). 原方程恰有四个互异的实数根,则 f(x)与 g(x)的图象恰有四个不同交点,故 a>0.分以下三种情 况:

i)四个交点的横坐标均小于 1.由 a<1(a>9 舍去).故 0<a<1 时恰有四个交点.

得 x2+(3-a)x+a=0,由 Δ1=(3-a)2-4a>0 得

ii)三个交点的横坐标小于 1,一个交点的横坐标大于 1.则 y=a(1-x)与 y=-x2-3x(-3<x<0)相切, 且 y=a(x-1)与 y=x2+3x(x>1)也相切,解得 a=1 且 a=9,此种情形不存在.

iii)两个交点的横坐标小于 1,另两个交点的横坐标大于 1,由



x2+(3-a)x+a=0,由 Δ2=(3-a)2-4a>0 得 a>9(a<1 舍去).故 a>9 时恰有四个交点. 综上,a∈(0,1)∪(9,+∞). 23. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,15) 已知

, 是 .

有且仅有一个零点时,则 的取值范围

[答案] 23.



[解析] 23. 令

,因为

是定义域的减

函数,而

是定义域的增函数,所以当



为减函数,其值域





, 欲使函数

只有一

个零点,只需使函数

的图像与函数

的图像有一个交点即可,因此可得



.

24. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考, 13) [答案] 24.0 个

的零点个数是.

[解析] 24. 函数

的图象如图,由图知零点的个数是 0 个.

25. (2014 北京东城高三第二学期教学检测,11) 若函数 值范围为_______.

有零点,则 的取

[答案] 25.



[解析] 25. 由已知

,所以

不是零点。从而函数

有零点等价于方程

有解. 设

,故 的范围是函数

的值域.



易得



单调递减,

单调递减,

单调递增.

又当

时,

,当

时,

为最小值,所以

.



的值域是

,从而



26.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试, 14) 已知函数 f(x) =sin2x+2c os2x+m 在区间[0, ] 上的最大值为 3,则 (Ⅰ )m= ; .

(Ⅱ )对任意 a∈R,f(x) 在[a,a+20π]上的零点个数为 [答案] 26. (1)0;(2)40 或 41

[解析] 26. (1)



因为:

,所以,

,所以





.

(2)由(1) 或三个零点,区间

,周期

,在长为

的闭区间内有两个

的长度为十个周期,故零点个数为 40 个或 41 个.

27. (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),13) 若关于 的方程 实数根,则 的取值范围是 .

有四个不同的

[答案] 27.

[解析] 27.

由方程

有四个不同的实数根,

是其中 1 个根,



时,方程

有三个不同的实根,即函数



应有 3 个不同的交

点,如图,

显然不成立,当

时,



的图象有一个交点,

只需



的图象有 2 个交点即可,

联立方程组

,消去 得

,由



解得



(舍去),

即当

时,



的图象有 2 个交点,

综上所述, 的取值范围是

.

28. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 16) 定义在 上的函数 的单调增区间为 根,则实数 的取值范围是__________. , 若方程 恰有 6 个不同的实

[答案] 28.

[解析] 28.

,又函数

的递增区间为



,即



,又

恰有 6 个不同的实根,

等价于

恰有 6 个不同的实根,即



要使 也就是方程

恰有 6 个不同的实根, 各有 3 个不同的实根,

, 当 当 当 得 得 时,函数 或

, 单调递增, 单调递减, ,当 时,函数 取得极小值 ,

,此时函数 ,此时函数 取得极大值

此时必有

,即



,故 满足

. ,都有 在 上

29. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 定义在 上的偶函数, ,且当 有三个零点,则 的取值范围是 时, . . 若函数

[答案] 29. [解析] 29.由函数 成立,则 , 是偶函数,则 ,即 ,令 ,又对 都有 , 是周期为 2 的函数,又当

时,

又 图象,若



,由 不满足条件,当

得 时,要函数

,分别作 在





上有三个零点,则

,即

.

30. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 给定下列四个命题:



,使

成立;



,都有



③ 若一个函数没有减区间,则这个函数一定是增函数; ④ 若一个函数在 其中真命题个数是 [答案] 30. 1 为连续函数,且 . ,则这个函数在 上没有零点.

[解析] 30. ① 方程

无整数解,假命题;② 由

,则

恒成

立,所以② 是真命题;③ 这个函数可能是常数函数,故是假命题;④ 可能有零点,故错误. 故真命题个数是② ,正确的个数是 1 个. 31.(2014 天津,20,14 分)设 f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数 y=f(x)有两个零点 x1,x2,且 x1<x2. (Ⅰ )求 a 的取值范围;

(Ⅱ )证明

随着 a 的减小而增大;

(Ⅲ )证明 x1+x2 随着 a 的减小而增大. [答案] 31.查看解析 [解析] 31.(Ⅰ )由 f(x)=x-aex,可得 f '(x)=1-aex, 下面分两种情况讨论:

① a≤0 时, f '(x)>0 在 R 上恒成立,可得 f(x)在 R 上单调递增,不合题意. ② a>0 时,由 f '(x)=0,得 x=-ln a. 当 x 变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-ln a) -ln a (-ln a,+∞) 0 -ln a-1 ↘

f '(x) + f(x) ↗

这时, f(x)的单调递增区间是(-∞,-ln a);单调递减区间是(-ln a,+∞). 于是,“函数 y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立: (i)f(-ln a)>0;(ii)存在 s1∈(-∞,-ln a),满足 f(s1)<0;(iii)存在 s2∈(-ln a,+∞),满足 f(s2)<0. 由 f(-ln a)>0,即-ln a-1>0,解得 0<a<e-1.而此时,取 s1=0,满足 s1∈(-∞,-ln a),且 f(s1)=-a<0;取

s2=

+ln

,满足 s2∈(-ln a,+∞),且 f(s2)=

+

<0.

所以 a 的取值范围是(0,e-1).

(Ⅱ )证明:由 f(x)=x-aex=0,有 a=

.设 g(x)=

,由 g'(x)=

,知 g(x)在(-∞,1)上单调递增,

在(1,+∞)上单调递减.并且,当 x∈(-∞,0]时,g(x)≤0;当 x∈(0,+∞)时,g(x)>0.由已知,x1,x2 满足 a=g(x1),a=g(x2). 由 a∈(0,e-1),及 g(x)的单调性,可得 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞). 对于任意的 a1,a2∈(0,e-1),设 a1>a2,g(ξ1)=g(ξ2)=a1,其中 0<ξ1<1<ξ2; g(η1)=g(η2)=a2,其中 0<η1<1<η2. 因为 g(x)在(0,1)上单调递增,故由 a1>a2,即 g(ξ1)>g(η1),可得 ξ1>η1;类似可得 ξ2<η2.又由

ξ1,η1>0,得

<

<

.

所以

随着 a 的减小而增大.

(Ⅲ )证明:由 x1=a

,x2=a

,可得 ln x1=ln a+x1,ln x2=ln a+x2.故 x2-x1=ln x2-ln x1=ln

.



=t,则 t>1,且

解得 x1=

,x2=

.

所以 x1+x2=

.(*)

令 h(x)=

,x∈(1,+∞),则 h '(x)=

.

令 u(x)=-2ln x+x-

,得 u'(x)=

.当 x∈(1,+∞)时,u'(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调

递增,故对于任意的 x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,由此可得 h'(x)>0,故 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因此,由(*)可得 x1+x2 随着 t 的增大而增大. 而由(Ⅱ ),知 t 随着 a 的减小而增大,所以 x1+x2 随着 a 的减小而增大.

32. (2014 山西太原高三 模拟考试(一),21) 已知函数



.

(I)若函数

在区间(0,

)无零点,求实数 的最小值;

(Ⅱ )若对任意给定的 求实数 的取值范围. [答案] 32.查看解析 [解析] 32.

,在

上方程

总存在两个不等的实根,

33. (2014 广东汕头普通高考模拟考试试题,21)已知函数

.

(Ⅰ ) 求函数

的单调区间;

(Ⅱ ) 试探究函数 点;若不存在,请说明理由;

在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零

(Ⅲ ) 若 值范围. [答案] 33.查看解析

,且



上恒成立,求实数 的取

[解析] 33.(Ⅰ ) 由





时,则



函数

在区间

单调递增;



时,

,



函数

的单调增区间为

,单调减区间为



综合① ② 的当

时,函数

的单调增区间为





时,函数

的单调增区间为

,单调减区间为

. (5 分)

(Ⅱ ) 函数

定义域为













,(7 分)



故函数



上单调递减,在

上单调递增,

,(8 分)

有由(1)知当

时,对

,有









且 趋向 0 时,

趋向



随着 而 数

的增长,

的增长速度越来越快, 会超过并远远大于 且 趋向 时, 趋向

的增长速度, ,得到函

的增长速度则会越来越慢。故当 的草图如图所示,

故① 当

时,函数

有两个不同的零点;

② 当

时,函数

有且仅有一个零点;

③ 当

时,函数

无零点;(10 分)

(3)由(2)知当

时,

,故对



先分析法证明:

要证

只需证

即证

构造函数

故函数



单调递增,





成立. (12 分)

① 当

时,由(1)知,函数



单调递增,则



上恒成立.

② 当

时,由(1)知,函数



单调递增,在

单调递减,

故当

时,

,所以

,则不满足题意.

综合① ② 得,满足题意的实数 的取值范围

. (14 分)

34. (2014 广东广州高三调研测试,20) 设函数 .



(Ⅰ ) 若曲线



在它们的交点

处有相同的切线,求实数 , 的值;

(Ⅱ ) 当 取 值范围;

时, 若函数

在区间

内恰有两个零点, 求实数 的

(Ⅲ ) 当



时,求函数

在区间

上的最小值.

[答案] 34.查看解析

[解析] 34.解:(Ⅰ ) 因为





所以



.

因为曲线



在它们的交点

处有相同切线,

所以

, 且

.



, 且

,

解得



. (3 分)

(Ⅱ ) 当

时,



所以

.



,解得



.

当 变化时,



的变化情况如下表:

0 ↗ 极大值 的单调递增区间为 ↘ ,

0 极小值 ↗ . (5 分)

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

所以函数

,单调递减区间为



在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

从而函数

在区间

内恰有两个零点,当且仅当





,解得

.

所以实数 的取值范围是

. (8 分)

(Ⅲ ) 当



时,

.

所以函数

的单调递增区间为



,单调递减区间为

.

由于



,所以

. (9 分)

① 当

,即

时,

.

② 当

时,

.

③ 当

时,

在区间

上单调递增,

.

综上可知,函数

在区间

上的最小值为

(14 分)

35. (2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题, 21) 已知函数



(I) 求函数

的零点的个数;

(Ⅱ ) 令 值范围;

,若函数

在(0,

) 内有极值,求实数 a 的取

(Ⅲ ) 在( Ⅱ ) 的条件下,对任意 [答案] 35.查看解析 [解析] 35.

,求证:

36.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,22) 定义在 R 上的函数 足:

及二次函数







(I)求



的解析式;

(II)



(III)设 [答案] 36.查看解析

,讨论议程

的解的个数情况.

[解析] 36. (Ⅰ )

,①





由① ② 联立解得:

.

………………………………………………………………2 分

是二次函数, 且

, 可设

,



, 解得

.

. ………………………………………………………………4 分

(Ⅱ ) 设

,

,

依题意知: 当

时,

, 在

上单调递减,

………………………………………………………………6 分



上单调递增,

解得:

实数 的取值范围为

. ……………………………9 分

(Ⅲ ) 设

, 由( Ⅱ ) 知,

的图象如图所示:



, 则



, 即

时,

,

有两个解,

有 个解;



, 即

时,



,

有 个

解; ……………………………………………………………………………………………………………11 分



, 即

时,

,

有 个解;

当 综上所述:

, 即

时,

,

有 个解. ……13 分



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解. …………………………………………………………………14 分

37. (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),21) 设函数 (Ⅰ )求函数 的单调区间

.

(Ⅱ ) 若函数

有两个零点 , ,且

,求证:

[答案] 37.查看解析

[解析] 37. (Ⅰ ) 当 时, ,函数 在 上单调递增, , (4 分)



所以函数

的单调递 增区间为



时,由

,得

;由

,得

所以函数的单调增区间为

,单调减区间为



(6 分)

(Ⅱ ) 因为

是函数

的两个零点,有





两式相减得



所以



又因为

,当

时,

;当

时,

故只要证

即可,即证明

, (10 分)

即证明



即证明





. 令



则 所以 在

,因为 是增函数;又因为 (13 分)

,所以

,当且仅当 时,

时, 总成立.

,所以当

所以原题得证.

38. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一),21 )已知函数

,设

(Ⅰ )求函数

的单调区间;

(Ⅱ )若以函数 求实数 的最小值;

图象上任意一点

为切点的切线的斜率

恒成立,

(Ⅲ )是否存在实数 ,使得函数

的图象与函数

的图象恰有四

个不同交点?若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,说明理由. [答案] 38.查看解析

[解析] 38. (Ⅰ )

, ∵ 由 ∴ ,由 得 得 ,∴ ,∴ 在 在 上是增函数.

上是减函数. . (4 分)

的单调递减区间为

,单调递增区间为

(Ⅱ )由





恒成立,



恒成立.

∵当

时,

取得最大值 ,∴

, 的最小值为 .

(8 分)

(Ⅲ ) 若 即

的图像与 有四个不同的根,亦即 .

的图像恰有四个不同交点, 有四个不同的根. 令

则(x) = 当 变化时 、 的变化情况如下表: (- ,-1) 的符号 的单调性 由上表知: + ↗ , (-1,0) ↘

.

(0,1) + ↗ ,

(1, ↘



画出草图和验证



可知,当

时,



恰有四个不同交点.

∴当 不同交点.

时,

的图像与

的图像恰有四个

39. (2014 广州高三调研测试, 20) 设函数



.

(Ⅰ )若曲线



在它们的交点

处有相同的切线,求实数 , 的值;

(Ⅱ )当 范围;

时,若函数

在区间

内恰有两个零点,求实数 的取值

(Ⅲ )当



时,求函数

在区间

上的最小值.

[答案] 39.查看解析

[解析] 39.

解析

(Ⅰ )因为





所以



.

因为曲线



在它们的交点

处有相同切线,

所以

, 且





, 且

,

解得

.

(3 分)

(Ⅱ )当

时,



所以

.



,解得

.

当 变化时,

的变化情况如下表:

0 ↗ 所以函数
[来源:Z。xx。k.Com]

0 极小值 ↗ .

极大值 ↘ 的单调递增区间为

,单调递减区间为



在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

从而函数

在区 间

内恰有两个零点,当且仅当



解得

.

所以实数 的取值范围是

.

(8 分)

(Ⅲ )当



时,

.

所以函数

的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

由于 ① 当

, ,即 时,

,所以

.

. ② 当 时,

.

(12 分)

③ 当

时,

在区间

上单调递增,

.

综上可知,函数

在区间

上的最小值为

(14 分)


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