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2.4 二项分布 课件


第二章 概 率 2.4 二项分布

【复习】 两点分布(也称0—1分布): 设某种农作物的种子发芽率为85﹪ 用变量X=0表示不发芽,变量X=1表示发芽。 则变量X的分布列为:
X P
0 15﹪ 1 85﹪

几何分布: 贝努利试验:每一次试验只有两种结果,即某事件A 要么发生,要么不发生。并且每次发生的概率都是相

同的。设某事件A发生的概率p,在n次贝努利试验中, 事件A在第k次发生。X表示试验次数。则变量X的分布 列为:

P( X ? k ) ? (1 ? p)k ?1 p 其中: k ? 1, 2,3, 4, ???
2

【复习】

超几何分布
一般地,设有 N 件产品,其中有 M 件次品( M ? N ),现从 中任取 n 件( n ? N ),用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件
k M n ?k N ?M n N

C C P( X ? k ) ? 数,那么: C

,其中 k 为非负整数。

如果随机变量 X 的分布列由上式确定,则称 X 服从参数为 N , M , n 的超几何分布。

3

【新课引入】
引例 某射击运动员进行了 4 次射击,假设每次击中目标的 3 概率均为 4 ,且各次击中目标与否是相互独立的。用 X 表示 4 次射击中击中目标的次数,求 X 的分布列。

先阅读本节教材“思考交流 1” 。
1 4 1 1 3 3 1 P ( X ? 0) ? C ( ) P ( X ? 1) ? C X ? 0,1, 2,3, 4 , 4( ) ( ) , 4 4 4
0 4

1 2 3 2 3 1 1 3 3 4 3 4 P( X ? 2) ? C ( ) ( ) , P ( X ? 3) ? C4 ( ) ( ) , P( X ? 4) ? C4 ( ) 4 4 4 4 4
2 4

即:4 次射击中目标次数 X 的分布列为:
1 4? k 3 k P( X ? k ) ? C ( ) ( ) , k ? 0,1, 2,3, 4 4 4
k 4
4

【新课讲解】

一、 n 次独立重复试验
1. n 次独立重复试验的定义: 一般指在同样条件下可以重复进行的,各次之间相互独 立的一种试验。

2. n 次独立重复试验的特点: ⑴每次试验只有两种相互独立的结果,分别可以称为“成 功”和“失败” ; ⑵每次试验“成功”的概率为 p ,每次试验“失败”的概 率为 1 ? p ; ⑶各次试验之间是相互独立的。
5

【新课引入】
引例 某射击运动员进行了 4 次射击,假设每次击中目标的 3 概率均为 4 ,且各次击中目标与否是相互独立的。用 X 表示 4 次射击中击中目标的次数,求 X 的分布列。
0 1 4 1 1 3 3 1 P ( X ? 0) ? C ( ) P ( X ? 1) ? C X ? 0,1, 2,3, 4 , 4 4( ) ( ) 4 , 4 4

2 1 2 3 2 3 1 1 3 3 4 3 4 P( X ? 2) ? C4 ( ) ( ) , P ( X ? 3) ? C4 ( )( ) , P( X ? 4) ? C4 ( ) 4 4 4 4 4

1 3 4 ( 观察:二项式 4 ? 4 ) 的二项展开式: 1 3 0 1 4 1 1 3 3 2 1 2 3 2 3 1 3 3 4 3 4 ( ? ) 4 ? C4 ( ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( )( ) ? C4 ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
k 1 4? k 3 k P ( X ? k ) ? C ( ) 相当于二项展开式的什么? 4( ) 思考: X 的分布列 4 4

6

【新课讲解】

二、二项分布
1.二项分布的定义: 在 n 次独立重复试验中,某事件 A 在每次试验中“成功” 的概率为 p 。若变量 X 表示在 n 次试验中事件 A “成功”的 次数。
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k , k ? 0,1, 2,3, ???n

如果 X 的分布列如上所述 ,则称 X 服从参数为 n, p 的二 项分布。简记为: X ~ B(n, p)

7

试验成功的概率
k n

实验失败的概率
k n ?k

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)

(其中k= 0,1,2,· · · ,n )
试验成功的次数 实验总次数

与二项式定理有联系吗?

【新课讲解】

二、二项分布
2.二项分布的说明: ⑴二项分布的分布列:
k P( X ? k ) ? Cn (1 ? p)n?k pk , k ? 0,1, 2,3, ???n
n [ p ? (1 ? p )] 恰好是二项式 的第 k ? 1 项.

⑵凡 X ~ B(n, p) 是指某事件在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次(次数),不一定在最后一次,也不一定在指定次。 同时这个事件在每一次的试验中发生的概率相等 , 否则不 服从二项分布.
9

【范例讲解】

例 1:有 N 件产品,其中有 M 件次品.现从中取出 n 件,用 X 表示 n 次抽取中含 有次品的个数.( n ? M , n ? N ? M , M ? N ) ⑴采取放回式抽样,求 X 的分布列; ⑵采取不放回式抽样,求 X 的分布列;

M 答:⑴采取放回式抽样:“放回式抽样”能保证每一次抽到次品的概率都为 N

则: X ~ B(n, p) 。 n 次抽取中含有次品的个数 X
k P( X ? k ) ? Cn (1 ? p)n?k pk

的分布列为:

,k

? 0,1, 2, ???n

⑵采取不放回式抽样: X 不服从二项分布,而是服从超几何分布.
k n ?k CM CN ?M P( X ? k ) ? n , k ? 0,1, 2, ???n CN
10

【新课讲解】

二、二项分布
2.二项分布的说明⑶: 在 n 次独立重复试验中: “事件 A 恰好发生 k 次”与“事

件 A 发生 k 次,且最后一次一定是事件 A 发生”的区别: ①事件 A 恰好发生 k 次的概率:(二项分布 )
k P(X ? k ) ?C n (1 ? p) n ?k p k , k ? 0,1,2,3, ???n

②事件 A 发生 k 次,且最后一次(第 n 次)必是事件 A 发生的概率:
k ?1 k? 1 n ?k k? 1 k n ?k P( X ? k ) ? Cn ? p ? (1 ? p ) ? p ? C p (1 ? p ) , ?1 n?1

k ? 1,2,3, ???n
11

【新课讲解】

二、二项分布
2.二项分布的说明⑷: “在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次”与“事件 A 在某指定的 k 次发生”的区别: ①事件 A 恰好发生 k 次的概率:(二项分布)
k P( X ? k ) ? Cn (1 ? p)n?k pk , k ? 0,1, 2,3, ???n

②事件 A 在某指定的 k 次发生的概率: 如:袋中有 N 个白球, M 个红球,一次摸出一个球,直到 第二次摸出白球为止时的摸球次数 X
1 k ?2 1 k ?2 2 P( X ? k ) ? Ck p ? (1 ? p ) ? p ? C (1 ? p ) p , k ? 2,3, ???N ?1 k ?1

12

【范例讲解】
例 2.某公司安装了 3 台报警器,它们彼此独立工作,且发生 险情时每台报警器报警的概率均为 0.9 。求险情发生时下列 事件的概率: ⑴3 台都没有报警; ⑵恰有 1 台报警; ⑶恰有 2 台报警; ⑷3 台都报警; ⑸至少有 2 台报警; ⑹至少有 1 台报警。
解:设 X 表示遇到险情时 3 台报警器中报警的台数, X ? 0,1, 2,3 由二项分布定义可知:

X ~B (3,,0.9)
13

【范例讲解】
k 3?k k X 的分布列为: P( X ? k ) ? C3 0.1 0.9 , k ? 0,1, 2,3 0 3?0 0 P ( X ? 0) ? C 0.1 0.9 ? 0.001 ⑴3 台都没有报警; 3 1 3?1 1 ⑵恰有 1 台报警; P( X ? 1) ? C3 0.1 0.9 ? 0.027 2 3?2 2 ⑶恰有 2 台报警; P( X ? 2) ? C3 0.1 0.9 ? 0.243 3 3?3 3 P ( X ? 3) ? C 0.1 0.9 ? 0.729 ⑷3 台都报警; 3

⑸至少有 2 台报警; P( X ? 2) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? 0.972 ⑹至少有 1 台报警。 P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 0.999

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【范例讲解】
例 3. 某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留 两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率

王新敞
奎屯

新疆

解:设 X 表示 5 次预报中准确预报的次数。

X ? 0,1, 2,3, 4,5 则:

X ~B (5,0.8) 。

(1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率;
4 P( X ? 4) ? C5 0.25?40.84 ? 0.41

(2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率
P( X ? 4) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5) ? 0.74

王新敞
奎屯

新疆

15

【范例讲解】 例 4. 某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都
1 是 4 ,求 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率

是多少?(结果保留两个有效数字)
解:记事件 A 表示 “1 小时内,1 台机器需要人照管” ,1 小时内 5 台机器
1 X ~ B (5 , , ) 需要照管相当于 5 次独立重复试验.则: 4
王新敞
奎屯 新疆

1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率为:

1 5 3 5 P( X ? 0) ? C (1 ? ) ? ( ) 4 4
0 5

1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率为:

1 4 1 3 3 5 P( X ? 1) ? C (1 ? ) ? ? ( ) ? 4 4 4 4,
1 5

所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为:
王新敞
奎屯 新疆

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? 0.37
16

【练习】
练习 1. 某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若 使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击几次?
解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次 记事件
王新敞
奎屯 新疆

A为

“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 .

∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验,
n P ? 1 ? P ( X ? 0) ? 1 ? 0.75 A ∴事件 至少发生 1 次的概率为 .
n 1 ? 0.75 ? 0.75 , 由题意,令

3 n 1 ( ) ? ∴ 4 4
∴ n 至少取 5.

1 3 1 ( )n ? n ? 4 ? 4.82 3 ∴ 4 4 lg 4 lg

17

【练习】
练习 2. 求 10 层楼从底层到顶层停不少于 3 次的概率是多少? 停几次概率最大?

解: 依题意, 从低层到顶层停不少于 3 次, 应包括停 3 次, 停 4 次, 停 5 次,??,直到停 9 次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
王新敞
奎屯 新疆

3 1 3 1 6 4 1 4 1 5 5 1 5 1 4 P ? C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) ( ) ? 2 2 2 2 2 2 3 4 5 ? (C9 ? C9 ? C9 ?

9 ? C9 ( )9

1 2

9 9 0 1 2 9 ? ? C9 )( ) 9 ? ? 2 ? ( C ? C ? C ) ( ) 9 9 9 ? ? 2 2

1

1

1 233 ? (29 ? 46)( )9 ? 2 256

设从低层到顶层停 k

k 1 k 1 9? k k 1 9 C ( ) ( ) ? C ( ) 9 9 次,则其概率为 2 2 2



k 9 k C ( ) C k ? 5 k ? 4 9 ∴当 或 时, 9 最大,即 2 最大,

1

233 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 256 ,停 4 次或 5 次概

率最大.
18

1.二项分布

小结

(1)每次实验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“ 成

功” 和“ 失败” ; (2)每次实验“ 成功” 的概率均为p,“ 失败” 的概率 均为1-p;

(3)各次实验是相互独立的.

用X 表示这n次试验中成功的次数,则 k k n? k P ( X ? k ) ? Cn ( k ? 0,1, 2, n) p(1 ? p)
若一个随机变量X的分布列如上所述,称X 服从参数 为n, p的二项分布,简记为X B( n, p).

2.利用二项分布解决实际问题

20


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