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黑龙江省哈尔滨市第九中学2016届高三数学第四次模拟考试试题 文


哈尔滨市第九中学 2015---2016 年学年度下学期高三学年第四次 模拟考试数学学科试卷(文科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分共 2 页) 第I卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的).

1 ( i 是虚数单位)的虚部是 1? i 1 A.

1 B. i C. D.2 i 2
1.复数 2.设集合A ???x| lg?10 ??x ????0?,集合B ??x| 2 ?
2

x

1 ?,则A ??B ? 2

A. ???3,1?????B. ???1,3???C. ???3,?1?????D. ?1,3? 3.已知 cos(

?

A.

10 13

12 ? cos 2a , a ? (0, ) ,, 则 ? ? 4 13 4 sin( ? a) 4 5 12 5 B. ? C. D. 13 13 13 ? a) ?
2

4.命题“若 x ??4 ,则 x ??2 且 x ???2”的否命题为 2 2 A.若 x ??4 ,则 x ??2 且 x ???2 B.若 x ??4 ,则 x ??2 且 x ???2 C.若 x ??4 ,则 x ??2 或 x ???2
2 2

D.若 x ??4 ,则 x ??2 或 x ???2

2

5.抛物线 y ??4a x ?a ??0??的焦点坐标是 A. ?0,a??????B. ?a,0??????C.(0, 6.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( A.7 C.3 B.9 D.11 )

1 ) 16a

D.(

1 , 0) 16a

7.已知甲,乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同, 平均数也相同,则图中的 m,

n比值

m ? n
B.

A.

2 9

1 3

C. 1

D.

3 8

8.设a, b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是 A. 存在唯一平面??,使得 a ????,且 b //? B. 存在唯一直线 l ,使得 l //
1

a ,且 l ??b
C. 存在唯一直线 l ,使得 l ??a ,且 l ??b ????,且 b ??? D. 存在唯一平面??,使得 a

? x ? y ?1 ? 0 ? 9.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ??2 x ??y 的最大值与最小值的 ? y?m ?
差为2,则实数 m的值为 A. 4 B.2 C.3 D. ?

1 2

10.一个空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接 球的表面积为 A. 24?????????????B. 6? C. 4??????????????D. 2? 11.为得到函数 y ??sin ? x ?

? ?

??

? 的图象,可将函数 y 3?

??sin x 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右平移 n 个单位长度( m , n 均为正数) ,则| m ??n|的最小值为 A.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

12.已知函数 f ??x???? a x log a x ,要使f ?x?恒有两个零点,则 a 的取值范围 是
1 1

A.

(1, e e )

B.?1, e???????C. ?1, e ??????D. 第Ⅱ卷(非 选择 题共 90 分)

2

(e e , e 2 )

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13.已知向量

是两个不共线的向量,若



共线,则

??=_______________ 14.已知 ?ABC 的顶点 A??5, 0?, B?5, 0?, ?ABC 的内切圆圆心在直线 x ??3 上, 则顶点 C 的轨迹方程为______________________________ 15.若函数 f ( x) ?? 2
| x ? a|

(a ??R) 满足f (2 ??x) ?f (2 ??x) ,且f ( x)在

?m, ????上单调递增,则实数 m
2

的最小值为_________________________ 16.已知数列 ?a n?的通项公式为 项和为 Sn,则 S 60 ??????????????????? 三、解答题(共 70 分) 17.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,点 (a, b) 在直线 2x cos B ??y cos C ??c cos B 上. 求证: (1) 求 cos B 的值; ,其前 n

(2) 若 a ??? 影.

? ??? ? ??? 2 3 ????, b ??2, 求角 A 的大小及向量 BC 在 BA 方向上的投 2

18.(本题满分 12 分) 某停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) ,现有甲、乙二 人在该停车场临时停车,两人停车都不超过 4 小时。 (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为

1 ,停车付费多于 14 元的概率为 2

1 3

,求甲临时停车付费恰为 6 元的概率;

(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付 费的和为 36 元的 概率。

19. (本题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ??ABC D 中,底面 ABC D是直角梯形, ?D AB ??90 , AD // BC ,
0

AD ??侧面PAB , ?PAB 是等边三角形, DA ??AB ??2 , BC
????

1 AD, E 是线段 AB 中点。 2

(1)求证: PE ??CD ; (2)求三棱锥 P-CDE 的表面积。

3

20. (本题满分 12 分) 已 知 平 面 上 的 动 点P( x, y)及 两 定 点A(?2,0), B(2,0), 直 线PA, PB斜 率 分 别 为k1 , k2且k1??k2???

3 ,设动点P的轨迹为曲线C. 4

(1)求曲线C的方程; (2)过点 T (4,0) 的直线与曲线C交于 M , N 两点,过点M作 M Q ??x轴 ,交曲线C于 点 Q . 求证:直线NQ过定点,并求出定点坐标。

21. (本题满分 12 分)

已知函数

, a, b ??R且a ??0

(1)若 a ??2, b ??1,求函数 f (x) 的极值;

(2)设 都有g(x) ??1 成立,求b的最大值

, (i)当 a ??1 时,对任意 x ??x0, ???,

(ii)设 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数,若存在 x ??1, 使 g(x) ??g?(x) ??0 成 立,求

b 的取值范围. a

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时
4

请在答题卡上填涂题号对应标记。 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆, AB ??BC , AD 是 BC 边上的高,

AE 是圆 O 的直径.过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F .
(1)求证: AC ??BC ??AD ??AE ; (2)若 AF ??2, CF ? 2 2 ,求 AE 的长 .

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 xOy 中 , 直 线

l 的 参 数 方 程 为

(t为参数) ,若以坐标原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线C的极坐标方程为 ??(1??cos 2??) ??8cos??. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ??0,b ??0, a ??b ??1, 求证:

1 1 1 ? ? ? 8; a b ab 1 1 (2) (1 ? )(1 ? ) ? 9 a b
(1)

九中四模数学答案(文科) 一. 1-12 CCADCD DAB B BA

x2 y 2 2 120 ? ? 1? x ? 3 ? 9 16 17. (1) ?a, b ? 在直线 2 x cos B ? y cosC ? c cos B 上,所以 2a cos B ? b cos C ? c cos B , 由正弦定理得 2 sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B , 1 所 以 2 sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin A 因 为 sin A ? 0 所 以 cos B ? ?6 2
二. 13-16 ?

1 2

分 (2 ) B ? 60 ,因为 a ?
?

1 2 3 , b ? 2, 由正弦定理得 sin A ? , A ? 30? 2 3
5

BC 在 BA 方向上的投影为 BC ? cos B ?


3 3
A,则 P(A)= 1 ?

??12

18.(1)设“甲临时停车付费恰 为 6 元”为事件

1 1 1 ? ? 2 3 6

??6

分 (2) 设“甲、乙两人的停车付费之和为 36 元” 为事件 B,设甲停车付费 a 元,乙停车 付 费 b 元 , 其 中 a,b=6,14,22,30, 则 甲 、 乙 两 人 的 停 车 费 用 构 成 的 基 本 事 件 为

? 6, 6? ? 6,14? ? 6, 22? ? 6,30? ?14,6? ?14,14? ?14, 22? ?14,30? ? 22,6? ? 22,14? ? 22, 22? ? 22,30? ?30,6? ?30,14? ?30, 22? ?30,30? ,共 16 个,
其中 ? 6,30? ?14, 22? ? 22,14? ? 30,6? 符合题意。 故甲、乙两人的停车付费之和为 36 元的概率 P(B)=

4 1 ? 16 4

??12 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ..?.6 分 ??1

19.(1)证明:因为 AD⊥侧面 PAB,PE ? 平面 PAB,所以 AD⊥PE. 又因为△PAB 是等边三角形,E 是线段 AB 的中点,所以 PE⊥AB. 因为 AD∩AB=A,所以 PE⊥平面 ABCD. 因为 AD∩AB=A,所以 PE⊥平面 ABCD. 而 CD ? 平面 ABCD,所以 PE⊥CD. (2) 2分 20.(1)由题知, x ? 2 ,且 k1 ?
2 2

3 3 15 ? 6? 2 2 2

y x?2

, k2 ?

y x?2

,则 k1 ? k 2 ?

y 3 ?? x?2 x?2 4 ?

y

x y ? ? 1? y ? 0? ??.4 分 4 3 (2)证明:设 NQ 与 x 轴交于 D(t ,0) ,则直线 NQ 的方程为 x ? my ? t ?m ? 0?
整理得曲线 C 方程为 记 N ( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,由对称性知 M ( x2 ,? y 2 ) ,由 ?

? 4 y 2 ? 6mty ? 3t 2 ? 12 ? 0 所以 ? ? 48 3m 2 ? 4 ? t 2 ? 0 6m t ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? 3m ? 4 ? 由 M , N , S 三点共线知 k NS ? k MS ,即 ? 2 x1 ? 4 x2 ? 4 ? y ? y ? 3t ? 12 1 2 2 ? 3m ? 4 ? 所以 y1 ?my2 ? t ? 4? ? y2 ?my1 ? t ? 4? ? 0 整理得 2my 1 y 2 ? ?t ? 4?? y1 ? y 2 ? ? 0
2

?3m

?

?

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 消x得 ?x ? m y ? t

?

所以 分

2m 3t 2 ? 12 ? 6m t?t ? 4? ? 0 即 24m?t ? 1? ? 0, t ? 1 所以直线 NQ 过定点 D?1,0? 3m 2 ? 4
?????.. 12

?

?

6

21. Ⅰ)当 所以 列表:



时, 。 .令

,定义域为 ,得 ,

。 ,

由表知 4分 (Ⅱ)① 因为

的极大 值是



的极小值是



. ......

,当 。

时,

因为 分 记 当 当 所以 8分



上恒成立,所以



上恒 成立......5

,则 时, 时, , ; 所以 , 在 的最大值为 在 上是减函数; 上是增函数; 。



......

②因为

,所以

。由

,得

, 整理得

...9 分.

因为 因为

,所以 ,

。设 恒成立,所以 在

,则 是增函数,所以 ,

7

所以 22.

,即 (1)

的取值范围为



.... ..12 分

连接 BE,由题意知△ABE 为直角三角形. 因为∠ABE=∠ADC=90°,∠AEB=∠ACB,所以△ABE∽△ADC.

AB AE = ,即 AB·AC=AD·AE. AD AC 又 AB=BC,所以 AC·BC=AD·AE. ????4 分 (2)因为 FC 是圆 O 的切线, 2 所以 FC =FA·FB. 又 AF=2,CF=2 2,所以 BF=4,AB=BF-AF=2. 因为∠ACF=∠FBC,又 ∠CFB=∠A FC,所以△AFC∽△CFB. AF AC AF·BC 2 所以 = ,得 AC= = 2,cos∠ACD= . FC BC FC 4
所以 所以 sin∠ACD= 所以 AE= 14 =sin∠AEB. 4 = 4 14 . 7
2

AB
sin∠AEB

????10 分

23.(1) 由 ? (1 ? cos2? ) ? 8 cos? 得 ?? sin ? ? ? 4? cos? 得直角坐标方程为 y ? 4 x
2

????4 分

(2) ?

? x ? t ? 3m ? y ? ? 3t ? 2m

2 (t为参数) 代入 y ? 4 x 得

3t 2 ? 4( 3m ? 1)t ? 4m2 ? 4 3m ? 0
由? ? 0得m ? ?

3 3
? 3? ? 1 ? ?, 0 , ? ,0 ? 与 y 轴交点 ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?

????7 分

则直线与 x 轴交点为 ? ? 则S ?

1 1 3 3 ? ? ? 2 3 3 18

????10 分

24.(1)由 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,

1 1 1 1 1 a?b 1 1 a?b a?b ? ? ? ? ? ? 2( ? ) ? 2( ? ) a b ab a b ab a b a b b a ? 2( ? ) ? 4 ? 4 ? 4 ? (当且仅当 8 a ? b时取等) 即证 a b 1 1 1 1 1 (2) (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? ? ? a b a b ab
所以

????5 分

8

1 1 1 ? ? ?8 a b ab 1 1 1 1 1 ?9 所以 (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? ? ? a b a b ab
由(1)知

????10 分

9


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