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等比数列课件


1

8

7

6

5

4

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 子放4颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推……
子放2颗麦粒

8 7 6 5 4 64个格子

你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 宰相的要求 吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

2

0

1

2 2 18446744073709551615

2

1

2

3

?? ?63 2

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

某种汽车购买时的价格是36万元,每年 的折旧率是10%,求这辆车各年开始时的价 格(单位:万元)。 各年汽车的价格组成数列:

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

(1)1,2,4,8,?.

(3)36,36×0.9,36×0.92,

36×0.93,…

共同特点:从第2项起,每一项与其前 一项的比都等于同一个常数.
6

定义:如果一个数列从第二起,每一项与它的前一项的
比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做公比,记为q(q≠0)

a n ?1 数学语言: ?q an
特征:(1)每项均不为0,且q≠0 (2)各项均为负数,或,均为正数,或, 正负相间

判断下列数列是否可能成为等比数列? 请说明理由.若可能公比是多少? (1)1、3、9、27…… (2)-1、2、-4、-8、16、-32…… (3)-1、1、-1、1、-1、1…… (4)1、4、16、64、256…… (5)1、0、1、0、1、0……

8

二、等比数列的通项公式:
? 法一:不完全归纳法

等 a2 ? a1 ? d 差 a ? a ? 2d 3 1 类比 数 列 a4 ? a1 ? 3d ……
由此归纳等差数列 的通项公式可得:

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

……

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1q
时 面 式 成 上 等 也 立

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d

其 a1与q均 为 , 中 不 零 当

n ?1
9

二、等比数列的通项公式:
? 法二:叠加法 累乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a a1
3

a2

?q

×) an ? q
an ?1

……

a4 ?q a3

共n – 1 项

an n ?1 ?q a1

10

等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 am ,求 an .
解:由等比数列的通项公式可知   an ? a1q n ?1   am ? a1q m ?1

an 两式相除,得 ? q n ? m am

?  an ? amq

n?m

试比较 a n =a1qn-1  与an ? amqn?m
11

思考:下面数列的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么?

(1)2,4,8,16,32,64.

an ? 2 ? 2 ? 2 1 1 n?1 1 n an ? ? ( ) ? ( ) 2 2 2
n

n ?1

(3)-1,-2,-4、-4, …

(5) 5,5,5,5,5,5,…
(6) 1,-1,1,-1,1,…

an ? 5 ?1 ? 5 n ?1 an ? (?1)

n ?1

12

思考:你能通过对公比 q 的不同取值的讨论, 对等比数列进行分类吗? 当 a1 ? 0, q ? 1 时,该数列为递增数列 当 a1? 0,0 ? q ? 1 时,该数列为递减数列
当 当 当

a1 ? 0, q ? 1
a ? 0,0 ? q ? 1

时,该数列为递减数列 时,该数列为递增数列 时,该数列为非零常数列

a1 ? 0, q ? 1



q ? 0

时,该数列为摆动数列
13

三.等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后组成的新的三个 数就会成为一个等比数列: (1)1,±3 9 , (3)-12, ,-3 ±6 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那 么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

即G ? ab
2
14

注意:(1)同号两数才有等比中项;

(2)等比中项有两个,它们互为相反数;
(3)若三个数成等比数列,则可设这三个

数分别为

a , a, aq q

已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,求a20. 解:由a15=a5 q10,得
a15 5 1 q ? ? ? a5 20 4
10

1 ?q ? ? 2
5

1 5 5 ? a20 ? a15 q ? 5 ? ? 或a20 ? ? 2 2 2
5

思考与讨论:对于例3中的数列,你发现a5,a10,a15,a20… 构成的数列有什么特征呢?你能说出其中的道理吗?你能由此推导 16 一个一般性的结论吗?

一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18, 求它的第1项和第2项.
解 :用{an} 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

3 16 q? a1 ? 2 解得 3 16 3 因此, a2 ? a1q ? ? ? 8 3 2
答:这个数列的第1项与第2项

a3 ? 12, a4 ? 18, ?a1q 2 ? 12 即? 3 ?a1q ? 18

an ? a1 ? qn?1
思考与讨论:对于例4 中的数列,你是否发现 a1a4 与 a2a3 相等 你能说出其中的道理吗? 你能由此推导出 一个一般性的结论吗?
17

16 分别是 与8. 3

1、在等比数列{an}中, 30 (1)若a4=5,a8=6,则a2a10=______,a6=______ 2、已知{an}是等比数列,an>0且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A ) A.5 B.10 C.15 D.20

思考题: 已知四个数,前三个数成等比数列,它们的和19, 后三个数成等差数列,它们的和12,求这四个数

20


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